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Questions and Answers
Quelle est la formule utilisée pour calculer l'élasticité de f par rapport à y ?
Quelle est la formule utilisée pour calculer l'élasticité de f par rapport à y ?
- ef /y (x0 , y0 ) = f (x0 , y0 ) / y0
- ef /y (x0 , y0 ) = f(x0 , y0) / y0
- ef /y (x0 , y0 ) = f (y0) / y0
- ef /y (x0 , y0 ) = y0 × f (x0 , y0 ) (correct)
En quel point l'élasticité de f par rapport à y a-t-elle été calculée ?
En quel point l'élasticité de f par rapport à y a-t-elle été calculée ?
- (3, 2)
- (2, 1) (correct)
- (1, 2)
- (0, 1)
Quelle est la valeur de $ef /y (2, 1)$ obtenue ?
Quelle est la valeur de $ef /y (2, 1)$ obtenue ?
- 3
- 2 (correct)
- 1
- 4
Quelle relation est vérifiée par la fonction f en raison de son homogénéité de degré -23 ?
Quelle relation est vérifiée par la fonction f en raison de son homogénéité de degré -23 ?
Quelle est la valeur de $ef /x (2, 1)$ dans l'exercice ?
Quelle est la valeur de $ef /x (2, 1)$ dans l'exercice ?
Quel type de fonction est f si elle est homogène de degré -23 ?
Quel type de fonction est f si elle est homogène de degré -23 ?
Quelle expression représente $fy′ (2, 1)$ dans l'exercice ?
Quelle expression représente $fy′ (2, 1)$ dans l'exercice ?
Comment est calculé $ef /y (2, 1)$ dans l'exercice ?
Comment est calculé $ef /y (2, 1)$ dans l'exercice ?
Quel est le point critique de la fonction $f(x, y) = x^2 + y^2$ ?
Quel est le point critique de la fonction $f(x, y) = x^2 + y^2$ ?
Pour la fonction $f(x, y) = x^3 + x^2 - xy + y^2 + 4$, quelle est la dérivée partielle première par rapport à $x$ ?
Pour la fonction $f(x, y) = x^3 + x^2 - xy + y^2 + 4$, quelle est la dérivée partielle première par rapport à $x$ ?
Quelle est la nature du point critique A(0, 0) pour la fonction $f(x, y)$ mentionnée ?
Quelle est la nature du point critique A(0, 0) pour la fonction $f(x, y)$ mentionnée ?
Quels sont les points critiques trouvés pour la fonction $f(x, y) = x^3 + x^2 - xy + y^2 + 4$ ?
Quels sont les points critiques trouvés pour la fonction $f(x, y) = x^3 + x^2 - xy + y^2 + 4$ ?
Quelle valeur est utilisée pour le calcul du discriminant $(rt - s^2)$ à A(0, 0) ?
Quelle valeur est utilisée pour le calcul du discriminant $(rt - s^2)$ à A(0, 0) ?
Quel est le signe du discriminant pour le point critique B(-21, -14) ?
Quel est le signe du discriminant pour le point critique B(-21, -14) ?
Quel est l'extrême potentiel de la fonction $f(x, y) = xy(x + y - 1)$ ?
Quel est l'extrême potentiel de la fonction $f(x, y) = xy(x + y - 1)$ ?
Combien de points critiques admet la fonction $f(x, y) = x^4 - 2x^2 + y^3 - 6y^2 - 4$ ?
Combien de points critiques admet la fonction $f(x, y) = x^4 - 2x^2 + y^3 - 6y^2 - 4$ ?
Quelle est la forme de définition de Df pour la fonction $f(x, y) = rac{1}{ ext{xy}}$?
Quelle est la forme de définition de Df pour la fonction $f(x, y) = rac{1}{ ext{xy}}$?
Quel est l'expression correcte pour la dérivée partielle $f_x'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = 2x^{2}y^{3} + 3y + 1$?
Quel est l'expression correcte pour la dérivée partielle $f_x'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = 2x^{2}y^{3} + 3y + 1$?
Comment peut-on exprimer la dérivée partielle $f_y'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = rac{1}{xy}$ ?
Comment peut-on exprimer la dérivée partielle $f_y'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = rac{1}{xy}$ ?
Pour quelles conditions Df est défini pour la fonction $f(x, y) = rac{1}{x + y}$ ?
Pour quelles conditions Df est défini pour la fonction $f(x, y) = rac{1}{x + y}$ ?
Quelle propriété doit avoir une fonction $f$ pour qu'elle soit symétrique ?
Quelle propriété doit avoir une fonction $f$ pour qu'elle soit symétrique ?
Quelle est la formule correcte pour la dérivée partielle $f_y'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = ext{ln}(x^{2} + y^{2})$?
Quelle est la formule correcte pour la dérivée partielle $f_y'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = ext{ln}(x^{2} + y^{2})$?
Quel est l'ensemble de définition Df pour la fonction $f(x, y) = x^4 + y^{-4}$?
Quel est l'ensemble de définition Df pour la fonction $f(x, y) = x^4 + y^{-4}$?
Comment s'écrit la dérivée partielle $f_x'(x, y)$ pour la fonction $f(x, y) = e^{y}(x + y^2)$ ?
Comment s'écrit la dérivée partielle $f_x'(x, y)$ pour la fonction $f(x, y) = e^{y}(x + y^2)$ ?
Quelle est la valeur de $f_y'(3, 2)$ pour la fonction $f(x, y) = (x + y^2)e^{y}$ ?
Quelle est la valeur de $f_y'(3, 2)$ pour la fonction $f(x, y) = (x + y^2)e^{y}$ ?
Quelle est la forme de la matrice hessienne pour la fonction f(x, y, z) ?
Quelle est la forme de la matrice hessienne pour la fonction f(x, y, z) ?
Comment calcule-t-on le déterminant de la matrice hessienne H ?
Comment calcule-t-on le déterminant de la matrice hessienne H ?
Quel est le critère pour déterminer si (x0, y0, λ0) est un maximum de f ?
Quel est le critère pour déterminer si (x0, y0, λ0) est un maximum de f ?
Quelle est la valeur de la dérivée partielle seconde fz′′2 ?
Quelle est la valeur de la dérivée partielle seconde fz′′2 ?
Quel est la valeur de H pour le point critique A(25, 50) ?
Quel est la valeur de H pour le point critique A(25, 50) ?
Quelle est la représentation correcte des éléments de la matrice hessienne H ?
Quelle est la représentation correcte des éléments de la matrice hessienne H ?
Quelle assertion est correcte concernant les dérivées partielles secondes de f ?
Quelle assertion est correcte concernant les dérivées partielles secondes de f ?
Comment se comporte H lorsque H < 0 ?
Comment se comporte H lorsque H < 0 ?
Comment est définie la surface représentative de f ?
Comment est définie la surface représentative de f ?
Quelle forme a la fonction f définie par f(x, y) = x² + y² ?
Quelle forme a la fonction f définie par f(x, y) = x² + y² ?
Quel est le résultat de f(x, y) = x² - y² lorsque x = 2 et y = 1 ?
Quel est le résultat de f(x, y) = x² - y² lorsque x = 2 et y = 1 ?
Pour la fonction f(x, y) = (x² + y²)e^{-(x² + y²)}, quelle est la nature de la surface représentative ?
Pour la fonction f(x, y) = (x² + y²)e^{-(x² + y²)}, quelle est la nature de la surface représentative ?
Quelle est la nature de la fonction f(x, y) = ln(x + y - 1) dans le domaine de définition ?
Quelle est la nature de la fonction f(x, y) = ln(x + y - 1) dans le domaine de définition ?
Quelle forme prend la surface représentative de la fonction f(x, y) = e^{-(x² + y²)} ?
Quelle forme prend la surface représentative de la fonction f(x, y) = e^{-(x² + y²)} ?
Quelle est la dérivée partielle de f(x, y) = x²y au sujet de y ?
Quelle est la dérivée partielle de f(x, y) = x²y au sujet de y ?
Comment est représentée la fonction f(x, y) = x⁴ - 4x²y² + y⁴ ?
Comment est représentée la fonction f(x, y) = x⁴ - 4x²y² + y⁴ ?
Quel est le comportement de la fonction f(x, y) = e^{-(x² + y²)} à l'infini ?
Quel est le comportement de la fonction f(x, y) = e^{-(x² + y²)} à l'infini ?
Pour la fonction f(x, y) = x² + y², quelle est la nature de son minimum local ?
Pour la fonction f(x, y) = x² + y², quelle est la nature de son minimum local ?
Quelle condition est nécessaire pour que les dérivées partielles secondes d'une fonction de deux variables soient égales ?
Quelle condition est nécessaire pour que les dérivées partielles secondes d'une fonction de deux variables soient égales ?
Pour la fonction $f(x, y) = 2x^2y^2 + y^3 + 1$, quelle est la forme de la dérivée partielle par rapport à $y$ ?
Pour la fonction $f(x, y) = 2x^2y^2 + y^3 + 1$, quelle est la forme de la dérivée partielle par rapport à $y$ ?
Quel est le domaine de définition de la fonction $g(x, y) = ext{ln}(x + y)$ ?
Quel est le domaine de définition de la fonction $g(x, y) = ext{ln}(x + y)$ ?
Pour quelle fonction les dérivées partielles secondes $g_{xy}$ et $g_{yx}$ sont-elles négatives ?
Pour quelle fonction les dérivées partielles secondes $g_{xy}$ et $g_{yx}$ sont-elles négatives ?
Quelle est la forme de la dérivée partielle de $h(x, y) = xe^{xy}$ par rapport à $x$ ?
Quelle est la forme de la dérivée partielle de $h(x, y) = xe^{xy}$ par rapport à $x$ ?
Pour la fonction $k(x, y) = rac{xy^2}{ ext{sqrt{y}}}$, quelle est la forme de la dérivée partielle par rapport à $y$ ?
Pour la fonction $k(x, y) = rac{xy^2}{ ext{sqrt{y}}}$, quelle est la forme de la dérivée partielle par rapport à $y$ ?
Quelle affirmation est correcte concernant les formes des dérivées partielles secondes d'une fonction homogène ?
Quelle affirmation est correcte concernant les formes des dérivées partielles secondes d'une fonction homogène ?
Quelle est la conséquence de la condition $g_{xy} = g_{yx}$ pour une fonction de deux variables ?
Quelle est la conséquence de la condition $g_{xy} = g_{yx}$ pour une fonction de deux variables ?
Quel est le résultat de la dérivée partielle seconde de $k(x, y)$ par rapport à $x$ et $y$ ?
Quel est le résultat de la dérivée partielle seconde de $k(x, y)$ par rapport à $x$ et $y$ ?
Quelle est la forme de la dérivée partielle seconde de $h(x, y)$ par rapport à $y$ ?
Quelle est la forme de la dérivée partielle seconde de $h(x, y)$ par rapport à $y$ ?
Pour la fonction $f(x, y) = 2x^2y^2 + y^3 + 1$, quel est le domaine de définition ?
Pour la fonction $f(x, y) = 2x^2y^2 + y^3 + 1$, quel est le domaine de définition ?
Quelle est la valeur de $f_{xy}$ pour la fonction $f(x, y) = 2x^2 y^2 + y^3 + 1$ ?
Quelle est la valeur de $f_{xy}$ pour la fonction $f(x, y) = 2x^2 y^2 + y^3 + 1$ ?
Quel est le produit des dérivées partielles premières $k_x$ et $k_y$ pour la fonction $k(x, y)$ ?
Quel est le produit des dérivées partielles premières $k_x$ et $k_y$ pour la fonction $k(x, y)$ ?
Flashcards
Surface représentative de f(x, y)
Surface représentative de f(x, y)
L'ensemble des points (x, y, z) de l'espace à trois dimensions où z est égal à la valeur de la fonction f(x, y). En d'autres termes, c'est la représentation graphique de la fonction f(x, y) en trois dimensions.
Pourquoi utiliser une surface représentative?
Pourquoi utiliser une surface représentative?
Elle permet de visualiser la fonction en 3D et de comprendre comment elle varie en fonction de x et y.
Dérivée partielle de f(x, y) par rapport à x
Dérivée partielle de f(x, y) par rapport à x
La dérivée partielle de f(x, y) par rapport à x est le taux de variation de f(x, y) lorsque x varie et y est constant.
Dérivée partielle de f(x, y) par rapport à y
Dérivée partielle de f(x, y) par rapport à y
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Notation de la dérivée partielle par rapport à x
Notation de la dérivée partielle par rapport à x
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Notation de la dérivée partielle par rapport à y
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Calcul de la dérivée partielle par rapport à x
Calcul de la dérivée partielle par rapport à x
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Calcul de la dérivée partielle par rapport à y
Calcul de la dérivée partielle par rapport à y
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Utilité des dérivées partielles
Utilité des dérivées partielles
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Dérivées partielles premières
Dérivées partielles premières
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Domaine de définition (Df)
Domaine de définition (Df)
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Dérivée partielle de f par rapport à x (fx')
Dérivée partielle de f par rapport à x (fx')
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Dérivée partielle de f par rapport à y (fy')
Dérivée partielle de f par rapport à y (fy')
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Fonction symétrique
Fonction symétrique
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Dérivée partielle de f par rapport à x (fx') quand f = g(x) * h(y)
Dérivée partielle de f par rapport à x (fx') quand f = g(x) * h(y)
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Dérivée partielle de f par rapport à y (fy') quand f = g(x) * h(y)
Dérivée partielle de f par rapport à y (fy') quand f = g(x) * h(y)
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Règle du produit de dérivée (f.g)'
Règle du produit de dérivée (f.g)'
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Dérivée partielle de f par rapport à x (fx') quand f = g(x) + h(y)
Dérivée partielle de f par rapport à x (fx') quand f = g(x) + h(y)
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Dérivée partielle de f par rapport à y (fy') quand f = g(x) + h(y)
Dérivée partielle de f par rapport à y (fy') quand f = g(x) + h(y)
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Dérivée partielle de f par rapport à x (fx') quand f = k * g(x)
Dérivée partielle de f par rapport à x (fx') quand f = k * g(x)
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Élasticité de f par rapport à y
Élasticité de f par rapport à y
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Élasticité de f par rapport à y au point (2, 1)
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Élasticité de f par rapport à x au point (2, 1)
Élasticité de f par rapport à x au point (2, 1)
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Théorème de Schwarz
Théorème de Schwarz
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Dérivée partielle par rapport à x
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Dérivée partielle par rapport à y
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Dérivée seconde partielle par rapport à x
Dérivée seconde partielle par rapport à x
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Dérivée seconde partielle par rapport à y
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Dérivée seconde partielle croisée
Dérivée seconde partielle croisée
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Domaine d'une fonction
Domaine d'une fonction
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Domaine de f(x,y)=2x²y²+y³+1
Domaine de f(x,y)=2x²y²+y³+1
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Domaine de g(x,y)=ln(x+y)
Domaine de g(x,y)=ln(x+y)
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Dérivée partielle première de h(x,y)=x.e^(2y) par rapport à x
Dérivée partielle première de h(x,y)=x.e^(2y) par rapport à x
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Dérivée partielle première de h(x,y)=x.e^(2y) par rapport à y
Dérivée partielle première de h(x,y)=x.e^(2y) par rapport à y
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Dérivée seconde partielle de h(x,y)=x.e^(2y) par rapport à x
Dérivée seconde partielle de h(x,y)=x.e^(2y) par rapport à x
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Dérivée seconde partielle croisée de h(x,y)=x.e^(2y)
Dérivée seconde partielle croisée de h(x,y)=x.e^(2y)
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Dérivée partielle première de k(x,y)=√(xy) par rapport à x
Dérivée partielle première de k(x,y)=√(xy) par rapport à x
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Domaine de k(x,y)=√(xy)
Domaine de k(x,y)=√(xy)
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Point critique
Point critique
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Minimum local
Minimum local
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Maximum local
Maximum local
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Point selle
Point selle
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Test de la dérivée seconde pour les fonctions à deux variables
Test de la dérivée seconde pour les fonctions à deux variables
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Déterminant hessien rts
Déterminant hessien rts
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Maximum global
Maximum global
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Minimum global
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Dérivée partielle seconde croisée fxy’’
Dérivée partielle seconde croisée fxy’’
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Matrice hessienne
Matrice hessienne
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Hessien H de f
Hessien H de f
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H > 0 au point critique : Maximum local
H > 0 au point critique : Maximum local
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H < 0 au point critique : Minimum local
H < 0 au point critique : Minimum local
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Méthode de Lagrange
Méthode de Lagrange
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Fonction de Lagrange
Fonction de Lagrange
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Point critique de Lagrange
Point critique de Lagrange
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Study Notes
Fonctions de deux variables réelles
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Définition 1: Une fonction numérique à deux variables réelles est une application qui associe à chaque couple de nombres réels (x, y) un nombre réel f(x, y). Son ensemble de définition est l'ensemble des couples (x, y) pour lesquels la fonction est définie. La surface représentative de f est l'ensemble des points (x, y, z) dans l'espace tels que z = f(x, y).
-
Exemple 1: Une fonction exemple est f(x, y) = x² + y². Son domaine est R².
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Exercice 1: Déterminer les domaines de définition de fonctions spécifiques est demandé. Exemples:
- f₁(x, y) = xy / √(x-1) avec Df₁ = {(x, y) ∈ R² / x > 1}
- f₂(x, y) = ln(x + y - 1) avec Df₂ = {(x, y) ∈ R² / x + y - 1 > 0} ou y > 1 - x
- f₃(x, y) = (x² + y² - 4)^1/2 avec Df₃ = {(x, y) ∈ R² / x² + y² ≥ 4}
- f₄(x, y) = √(x² - y²) avec Df₄ = {(x, y) ∈ R² / x² ≥ y²} ou x ≥ y ou x ≤ -y.
Dérivées partielles premières
-
Définition 3: La dérivée partielle première de f par rapport à x, notée ∂f/∂x, est la limite du taux de variation de f par rapport à x lorsque y est constant. La dérivée partielle de f par rapport à y, notée ∂f/∂y, est la limite du taux de variation lorsque x est constant.
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Exemple 4: Pour f(x, y) = x² + 3xy³ + 2y, ∂f/∂x = 2x + 3y³ et ∂f/∂y = 9xy² + 2.
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Exercice 2: Calculer les dérivées partielles premières de fonctions est demandé comme dans le cas de f(x,y) = 2x²y³ + 3y + 1
Dérivées partielles secondes
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Définition 6: Les dérivées partielles secondes sont les dérivées partielles des dérivées partielles premières. On a les dérivées partielles secondes ∂²ƒ/∂x² , ∂²ƒ/∂y² et ∂²ƒ/∂x∂y. La notation ∂²ƒ/∂x∂y est l'usage de la dérivée partielle mixte.
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Théorème 1: Pour des fonctions avec dérivées secondes continues, on a ∂²ƒ/∂x∂y = ∂²ƒ/∂y∂x.
Extrema liés
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Définition 10: Un minimum local (ou maximum) d'une fonction de 2 variables est un point où la fonction est inférieure (ou supérieure) à toutes les valeurs voisines.
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Théorème 2: Si une fonction f admet un extremum en (x₀, y₀) et ses dérivées partielles premières existent, alors ∂f/∂x(x₀, y₀) = 0 et ∂f/∂y(x₀, y₀) = 0.
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Théorème 3: Conditions suffisantes pour qu'un point critique soit un extremum. On examine la nature des extrema en utilisant le déterminant de la hessienne et la dérivée seconde.
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Exemple 10, 11, 13: Des exemples et exercices sont donnés pour trouver les extrema liés en résolvant un système d'équations. Le multiplicateur de Lagrange est utilisé pour trouver des extrema sous une contrainte.
Autres Définitions et concepts
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Homogénéité: Une fonction f(x, y) est homogène de degré n si f(tx, ty) = tⁿf(x, y) pour tout t > 0.
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Élasticité: L'élasticité mesure la sensibilité d'une variable à une autre, notamment la sensibilité de f à x ou y.
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Relation d'Euler: Une relation qui est vérifiée pour les fonctions homogènes.
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