Podcast
Questions and Answers
Quelle est la formule utilisée pour calculer l'élasticité de f par rapport à y ?
Quelle est la formule utilisée pour calculer l'élasticité de f par rapport à y ?
En quel point l'élasticité de f par rapport à y a-t-elle été calculée ?
En quel point l'élasticité de f par rapport à y a-t-elle été calculée ?
Quelle est la valeur de $ef /y (2, 1)$ obtenue ?
Quelle est la valeur de $ef /y (2, 1)$ obtenue ?
Quelle relation est vérifiée par la fonction f en raison de son homogénéité de degré -23 ?
Quelle relation est vérifiée par la fonction f en raison de son homogénéité de degré -23 ?
Signup and view all the answers
Quelle est la valeur de $ef /x (2, 1)$ dans l'exercice ?
Quelle est la valeur de $ef /x (2, 1)$ dans l'exercice ?
Signup and view all the answers
Quel type de fonction est f si elle est homogène de degré -23 ?
Quel type de fonction est f si elle est homogène de degré -23 ?
Signup and view all the answers
Quelle expression représente $fy′ (2, 1)$ dans l'exercice ?
Quelle expression représente $fy′ (2, 1)$ dans l'exercice ?
Signup and view all the answers
Comment est calculé $ef /y (2, 1)$ dans l'exercice ?
Comment est calculé $ef /y (2, 1)$ dans l'exercice ?
Signup and view all the answers
Quel est le point critique de la fonction $f(x, y) = x^2 + y^2$ ?
Quel est le point critique de la fonction $f(x, y) = x^2 + y^2$ ?
Signup and view all the answers
Pour la fonction $f(x, y) = x^3 + x^2 - xy + y^2 + 4$, quelle est la dérivée partielle première par rapport à $x$ ?
Pour la fonction $f(x, y) = x^3 + x^2 - xy + y^2 + 4$, quelle est la dérivée partielle première par rapport à $x$ ?
Signup and view all the answers
Quelle est la nature du point critique A(0, 0) pour la fonction $f(x, y)$ mentionnée ?
Quelle est la nature du point critique A(0, 0) pour la fonction $f(x, y)$ mentionnée ?
Signup and view all the answers
Quels sont les points critiques trouvés pour la fonction $f(x, y) = x^3 + x^2 - xy + y^2 + 4$ ?
Quels sont les points critiques trouvés pour la fonction $f(x, y) = x^3 + x^2 - xy + y^2 + 4$ ?
Signup and view all the answers
Quelle valeur est utilisée pour le calcul du discriminant $(rt - s^2)$ à A(0, 0) ?
Quelle valeur est utilisée pour le calcul du discriminant $(rt - s^2)$ à A(0, 0) ?
Signup and view all the answers
Quel est le signe du discriminant pour le point critique B(-21, -14) ?
Quel est le signe du discriminant pour le point critique B(-21, -14) ?
Signup and view all the answers
Quel est l'extrême potentiel de la fonction $f(x, y) = xy(x + y - 1)$ ?
Quel est l'extrême potentiel de la fonction $f(x, y) = xy(x + y - 1)$ ?
Signup and view all the answers
Combien de points critiques admet la fonction $f(x, y) = x^4 - 2x^2 + y^3 - 6y^2 - 4$ ?
Combien de points critiques admet la fonction $f(x, y) = x^4 - 2x^2 + y^3 - 6y^2 - 4$ ?
Signup and view all the answers
Quelle est la forme de définition de Df pour la fonction $f(x, y) = rac{1}{ ext{xy}}$?
Quelle est la forme de définition de Df pour la fonction $f(x, y) = rac{1}{ ext{xy}}$?
Signup and view all the answers
Quel est l'expression correcte pour la dérivée partielle $f_x'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = 2x^{2}y^{3} + 3y + 1$?
Quel est l'expression correcte pour la dérivée partielle $f_x'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = 2x^{2}y^{3} + 3y + 1$?
Signup and view all the answers
Comment peut-on exprimer la dérivée partielle $f_y'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = rac{1}{xy}$ ?
Comment peut-on exprimer la dérivée partielle $f_y'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = rac{1}{xy}$ ?
Signup and view all the answers
Pour quelles conditions Df est défini pour la fonction $f(x, y) = rac{1}{x + y}$ ?
Pour quelles conditions Df est défini pour la fonction $f(x, y) = rac{1}{x + y}$ ?
Signup and view all the answers
Quelle propriété doit avoir une fonction $f$ pour qu'elle soit symétrique ?
Quelle propriété doit avoir une fonction $f$ pour qu'elle soit symétrique ?
Signup and view all the answers
Quelle est la formule correcte pour la dérivée partielle $f_y'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = ext{ln}(x^{2} + y^{2})$?
Quelle est la formule correcte pour la dérivée partielle $f_y'(x, y)$ de la fonction $f(x, y) = ext{ln}(x^{2} + y^{2})$?
Signup and view all the answers
Quel est l'ensemble de définition Df pour la fonction $f(x, y) = x^4 + y^{-4}$?
Quel est l'ensemble de définition Df pour la fonction $f(x, y) = x^4 + y^{-4}$?
Signup and view all the answers
Comment s'écrit la dérivée partielle $f_x'(x, y)$ pour la fonction $f(x, y) = e^{y}(x + y^2)$ ?
Comment s'écrit la dérivée partielle $f_x'(x, y)$ pour la fonction $f(x, y) = e^{y}(x + y^2)$ ?
Signup and view all the answers
Quelle est la valeur de $f_y'(3, 2)$ pour la fonction $f(x, y) = (x + y^2)e^{y}$ ?
Quelle est la valeur de $f_y'(3, 2)$ pour la fonction $f(x, y) = (x + y^2)e^{y}$ ?
Signup and view all the answers
Quelle est la forme de la matrice hessienne pour la fonction f(x, y, z) ?
Quelle est la forme de la matrice hessienne pour la fonction f(x, y, z) ?
Signup and view all the answers
Comment calcule-t-on le déterminant de la matrice hessienne H ?
Comment calcule-t-on le déterminant de la matrice hessienne H ?
Signup and view all the answers
Quel est le critère pour déterminer si (x0, y0, λ0) est un maximum de f ?
Quel est le critère pour déterminer si (x0, y0, λ0) est un maximum de f ?
Signup and view all the answers
Quelle est la valeur de la dérivée partielle seconde fz′′2 ?
Quelle est la valeur de la dérivée partielle seconde fz′′2 ?
Signup and view all the answers
Quel est la valeur de H pour le point critique A(25, 50) ?
Quel est la valeur de H pour le point critique A(25, 50) ?
Signup and view all the answers
Quelle est la représentation correcte des éléments de la matrice hessienne H ?
Quelle est la représentation correcte des éléments de la matrice hessienne H ?
Signup and view all the answers
Quelle assertion est correcte concernant les dérivées partielles secondes de f ?
Quelle assertion est correcte concernant les dérivées partielles secondes de f ?
Signup and view all the answers
Comment se comporte H lorsque H < 0 ?
Comment se comporte H lorsque H < 0 ?
Signup and view all the answers
Comment est définie la surface représentative de f ?
Comment est définie la surface représentative de f ?
Signup and view all the answers
Quelle forme a la fonction f définie par f(x, y) = x² + y² ?
Quelle forme a la fonction f définie par f(x, y) = x² + y² ?
Signup and view all the answers
Quel est le résultat de f(x, y) = x² - y² lorsque x = 2 et y = 1 ?
Quel est le résultat de f(x, y) = x² - y² lorsque x = 2 et y = 1 ?
Signup and view all the answers
Pour la fonction f(x, y) = (x² + y²)e^{-(x² + y²)}, quelle est la nature de la surface représentative ?
Pour la fonction f(x, y) = (x² + y²)e^{-(x² + y²)}, quelle est la nature de la surface représentative ?
Signup and view all the answers
Quelle est la nature de la fonction f(x, y) = ln(x + y - 1) dans le domaine de définition ?
Quelle est la nature de la fonction f(x, y) = ln(x + y - 1) dans le domaine de définition ?
Signup and view all the answers
Quelle forme prend la surface représentative de la fonction f(x, y) = e^{-(x² + y²)} ?
Quelle forme prend la surface représentative de la fonction f(x, y) = e^{-(x² + y²)} ?
Signup and view all the answers
Quelle est la dérivée partielle de f(x, y) = x²y au sujet de y ?
Quelle est la dérivée partielle de f(x, y) = x²y au sujet de y ?
Signup and view all the answers
Comment est représentée la fonction f(x, y) = x⁴ - 4x²y² + y⁴ ?
Comment est représentée la fonction f(x, y) = x⁴ - 4x²y² + y⁴ ?
Signup and view all the answers
Quel est le comportement de la fonction f(x, y) = e^{-(x² + y²)} à l'infini ?
Quel est le comportement de la fonction f(x, y) = e^{-(x² + y²)} à l'infini ?
Signup and view all the answers
Pour la fonction f(x, y) = x² + y², quelle est la nature de son minimum local ?
Pour la fonction f(x, y) = x² + y², quelle est la nature de son minimum local ?
Signup and view all the answers
Quelle condition est nécessaire pour que les dérivées partielles secondes d'une fonction de deux variables soient égales ?
Quelle condition est nécessaire pour que les dérivées partielles secondes d'une fonction de deux variables soient égales ?
Signup and view all the answers
Pour la fonction $f(x, y) = 2x^2y^2 + y^3 + 1$, quelle est la forme de la dérivée partielle par rapport à $y$ ?
Pour la fonction $f(x, y) = 2x^2y^2 + y^3 + 1$, quelle est la forme de la dérivée partielle par rapport à $y$ ?
Signup and view all the answers
Quel est le domaine de définition de la fonction $g(x, y) = ext{ln}(x + y)$ ?
Quel est le domaine de définition de la fonction $g(x, y) = ext{ln}(x + y)$ ?
Signup and view all the answers
Pour quelle fonction les dérivées partielles secondes $g_{xy}$ et $g_{yx}$ sont-elles négatives ?
Pour quelle fonction les dérivées partielles secondes $g_{xy}$ et $g_{yx}$ sont-elles négatives ?
Signup and view all the answers
Quelle est la forme de la dérivée partielle de $h(x, y) = xe^{xy}$ par rapport à $x$ ?
Quelle est la forme de la dérivée partielle de $h(x, y) = xe^{xy}$ par rapport à $x$ ?
Signup and view all the answers
Pour la fonction $k(x, y) = rac{xy^2}{ ext{sqrt{y}}}$, quelle est la forme de la dérivée partielle par rapport à $y$ ?
Pour la fonction $k(x, y) = rac{xy^2}{ ext{sqrt{y}}}$, quelle est la forme de la dérivée partielle par rapport à $y$ ?
Signup and view all the answers
Quelle affirmation est correcte concernant les formes des dérivées partielles secondes d'une fonction homogène ?
Quelle affirmation est correcte concernant les formes des dérivées partielles secondes d'une fonction homogène ?
Signup and view all the answers
Quelle est la conséquence de la condition $g_{xy} = g_{yx}$ pour une fonction de deux variables ?
Quelle est la conséquence de la condition $g_{xy} = g_{yx}$ pour une fonction de deux variables ?
Signup and view all the answers
Quel est le résultat de la dérivée partielle seconde de $k(x, y)$ par rapport à $x$ et $y$ ?
Quel est le résultat de la dérivée partielle seconde de $k(x, y)$ par rapport à $x$ et $y$ ?
Signup and view all the answers
Quelle est la forme de la dérivée partielle seconde de $h(x, y)$ par rapport à $y$ ?
Quelle est la forme de la dérivée partielle seconde de $h(x, y)$ par rapport à $y$ ?
Signup and view all the answers
Pour la fonction $f(x, y) = 2x^2y^2 + y^3 + 1$, quel est le domaine de définition ?
Pour la fonction $f(x, y) = 2x^2y^2 + y^3 + 1$, quel est le domaine de définition ?
Signup and view all the answers
Quelle est la valeur de $f_{xy}$ pour la fonction $f(x, y) = 2x^2 y^2 + y^3 + 1$ ?
Quelle est la valeur de $f_{xy}$ pour la fonction $f(x, y) = 2x^2 y^2 + y^3 + 1$ ?
Signup and view all the answers
Quel est le produit des dérivées partielles premières $k_x$ et $k_y$ pour la fonction $k(x, y)$ ?
Quel est le produit des dérivées partielles premières $k_x$ et $k_y$ pour la fonction $k(x, y)$ ?
Signup and view all the answers
Study Notes
Fonctions de deux variables réelles
-
Définition 1: Une fonction numérique à deux variables réelles est une application qui associe à chaque couple de nombres réels (x, y) un nombre réel f(x, y). Son ensemble de définition est l'ensemble des couples (x, y) pour lesquels la fonction est définie. La surface représentative de f est l'ensemble des points (x, y, z) dans l'espace tels que z = f(x, y).
-
Exemple 1: Une fonction exemple est f(x, y) = x² + y². Son domaine est R².
-
Exercice 1: Déterminer les domaines de définition de fonctions spécifiques est demandé. Exemples:
- f₁(x, y) = xy / √(x-1) avec Df₁ = {(x, y) ∈ R² / x > 1}
- f₂(x, y) = ln(x + y - 1) avec Df₂ = {(x, y) ∈ R² / x + y - 1 > 0} ou y > 1 - x
- f₃(x, y) = (x² + y² - 4)^1/2 avec Df₃ = {(x, y) ∈ R² / x² + y² ≥ 4}
- f₄(x, y) = √(x² - y²) avec Df₄ = {(x, y) ∈ R² / x² ≥ y²} ou x ≥ y ou x ≤ -y.
Dérivées partielles premières
-
Définition 3: La dérivée partielle première de f par rapport à x, notée ∂f/∂x, est la limite du taux de variation de f par rapport à x lorsque y est constant. La dérivée partielle de f par rapport à y, notée ∂f/∂y, est la limite du taux de variation lorsque x est constant.
-
Exemple 4: Pour f(x, y) = x² + 3xy³ + 2y, ∂f/∂x = 2x + 3y³ et ∂f/∂y = 9xy² + 2.
-
Exercice 2: Calculer les dérivées partielles premières de fonctions est demandé comme dans le cas de f(x,y) = 2x²y³ + 3y + 1
Dérivées partielles secondes
-
Définition 6: Les dérivées partielles secondes sont les dérivées partielles des dérivées partielles premières. On a les dérivées partielles secondes ∂²ƒ/∂x² , ∂²ƒ/∂y² et ∂²ƒ/∂x∂y. La notation ∂²ƒ/∂x∂y est l'usage de la dérivée partielle mixte.
-
Théorème 1: Pour des fonctions avec dérivées secondes continues, on a ∂²ƒ/∂x∂y = ∂²ƒ/∂y∂x.
Extrema liés
-
Définition 10: Un minimum local (ou maximum) d'une fonction de 2 variables est un point où la fonction est inférieure (ou supérieure) à toutes les valeurs voisines.
-
Théorème 2: Si une fonction f admet un extremum en (x₀, y₀) et ses dérivées partielles premières existent, alors ∂f/∂x(x₀, y₀) = 0 et ∂f/∂y(x₀, y₀) = 0.
-
Théorème 3: Conditions suffisantes pour qu'un point critique soit un extremum. On examine la nature des extrema en utilisant le déterminant de la hessienne et la dérivée seconde.
-
Exemple 10, 11, 13: Des exemples et exercices sont donnés pour trouver les extrema liés en résolvant un système d'équations. Le multiplicateur de Lagrange est utilisé pour trouver des extrema sous une contrainte.
Autres Définitions et concepts
-
Homogénéité: Une fonction f(x, y) est homogène de degré n si f(tx, ty) = tⁿf(x, y) pour tout t > 0.
-
Élasticité: L'élasticité mesure la sensibilité d'une variable à une autre, notamment la sensibilité de f à x ou y.
-
Relation d'Euler: Une relation qui est vérifiée pour les fonctions homogènes.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Related Documents
Description
Ce quiz explore les fonctions de deux variables réelles, y compris leur définition, leurs domaines de définition et des exemples pratiques. Les participants auront l'occasion d'appliquer ces concepts pour résoudre divers problèmes associés à la détermination des domaines ainsi qu'à l'utilisation de dérivées partielles. Testez vos connaissances sur ce sujet mathématique fascinant !
