Fonction valeur absolue

Fonction valeur absolue

• La fonction valeur absolue, notée $f(x) = |x|$, donne la distance de $x$ à zéro.
• Elle est définie par $|x| = x$ si $x \geq 0$ et $|x| = -x$ si $x < 0$.
• Exemples : $|5| = 5$, $|-5| = 5$, $|0| = 0$.

Propriétés de la valeur absolue

• $|x| \geq 0$ : La valeur absolue est toujours non négative.
• $|-x| = |x|$ : La valeur absolue est symétrique.
• $|xy| = |x||y|$ : La valeur absolue du produit est le produit des valeurs absolues.
• $|x + y| \leq |x| + |y|$ : Inégalité triangulaire.

Représentation graphique

• Le graphe de $y = |x|$ forme un "V" avec le sommet à l'origine (0,0).
• La partie gauche est $y = -x$ pour $x < 0$, et la partie droite est $y = x$ pour $x \geq 0$.

Equations impliquant la valeur absolue

• Pour résoudre $|x| = a$, où $a \geq 0$, considérer deux cas: $x = a$ ou $x = -a$.
• $|x| = 3$ implique $x = 3$ ou $x = -3$.

Inéquations impliquant la valeur absolue

• Pour résoudre $|x| < a$, cela équivaut à $-a < x < a$.
• Pour résoudre $|x| > a$, cela équivaut à $x < -a$ ou $x > a$.
• $|x| < 2$ équivaut à $-2 < x < 2$.
• $|x| > 2$ équivaut à $x < -2$ ou $x > 2$.

Applications de la valeur absolue

• Utilisée en analyse, algèbre, géométrie, physique et ingénierie.
• La distance entre deux points $a$ et $b$ sur une ligne numérique est $|a - b|$.
• La distance entre 2 et 5 est $|2 - 5| = |-3| = 3$.
• En science et ingénierie, elle est utilisée pour exprimer l'erreur absolue.

Algorithmic Game Theory

• Étude des problèmes de décision multi-agents.
• Les agents agissent pour maximiser leur propre utilité.
• L'utilité d'un agent dépend des actions des autres agents.
• Exemples: enchères, routage réseau, réseaux sociaux, élections.

Selfish Routing

• Modele:
  • Réseau de n agents/joueurs
  • Chaque agent i contrôle le trafic $r_i$ de $s_i$ à $t_i$.
• Chaque agent veut minimiser son coût.

Définitions importantes

• Stratégie : Chemin de $s_i$ à $t_i$.
• Ensemble de stratégies : Tous les chemins de $s_i$ à $t_i$.
• Profil de stratégie : $P = (P_1, \dots, P_n)$, une stratégie par joueur.
• Coût : $c_e(f_e)$, coût par unité de flux sur l'arête $e$ avec la charge $f_e$.
• Le coût social : $\sum_{\text{edges } e} f_e \cdot c_e(f_e)$

Équilibre de Nash

• Un équilibre de Nash est un profil de stratégie $P = (P_1, \dots, P_n)$ tel qu'aucun joueur ne peut améliorer son coût en déviant unilatéralement.
• Formellement, pour tous les joueurs $i$ et toutes les stratégies $P_i'$, $c_i(P_i, P_{-i}) \le c_i(P_i', P_{-i})$
• $P_{-i}$ fait référence aux stratégies de tous les joueurs sauf $i$.
• $c_i(P_i, P_{-i})$ est le coût pour le joueur $i$ étant donné le profil de stratégie P.

Existence de l'équilibre de Nash

• Les équilibres de Nash existent toujours dans de nombreux jeux, par ex. jeux finis avec des stratégies mixtes.
• Les jeux de routage égoïste ont toujours un équilibre de Nash.

Prix de l'anarchie

• Mesure la dégradation du coût social due au comportement égoïste.
• Le prix de l'anarchie (PoA) est le rapport entre le coût social du pire équilibre de Nash et le coût social de la solution optimale: $\qquad PoA = \frac{\text{Coût social du pire équilibre de Nash}}{\text{Coût social de la solution optimale}}$
• Mesure l'inefficacité des équilibres de Nash.

Paradoxe de Braess

• Exemple concret du problème du routage:
  • 2 joueurs, chacun acheminant 1 unité de flux du point A au point B.
  • Réseau initial:
    • A -> C: le coût est $x$
    • A -> D: le coût est $1$
    • C -> B: le coût est $1$
    • D -> B: le coût est $x$.
• Équilibre de Nash unique:
  • Les deux joueurs empruntent le chemin A -> C -> B.
  • Le coût social est égal à $1 \cdot x + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot x = 2$
• Nouvelle Route:
  • Ajout d'une route C -> D gratuite avec un coût de 0.
  • Nouvel équilibre de Nash:
  • Les deux joueurs empruntent le chemin A -> C -> D -> B.
  • Le coût social est égal à $2 \cdot 1 = 2$
• Solution optimale:
  • Chaque joueur emprunte un chemin différent pour un coût total de 1 par joueur.
  • Les joueurs empruntent A -> D -> B et A -> C -> B
  • Le coût social est égal à $1 + 1 = 2$

Conclusion du routage égoïste

• La théorie des jeux fournit un cadre pour analyser les problèmes de décision multi-agents.
• Le routage égoïste est un exemple classique avec de nombreuses applications.
• Les équilibres de Nash capturent des résultats stables dans les jeux de routage égoïste.
• Le prix de l'anarchie mesure l'inefficacité des équilibres de Nash par rapport aux solutions optimales.
• Le paradoxe de Braess montre que l'ajout de ressources à un réseau peut parfois aggraver les performances en raison du comportement égoïste.

Aide-mémoire de calcul différentiel et intégral

• Le document présente les formules de base pour les dérivées et les intégrales ainsi que certaines techniques d'intégration.

Dérivées

• Formules de base (où $y = f(x)$ et $u = g(x)$):
  • $\frac{d}{dx}(c) = 0$ (La dérivée d'une constante est zéro)
  • $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ (Règle de puissance)
  • $\frac{d}{dx}(cf(x)) = cf'(x)$ (Règle de la constante multiple)
  • $\frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = f'(x) \pm g'(x)$ (Règle de la somme/différence)
  • $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ (Règle du produit)
  • $\frac{d}{dx}(\frac{f(x)}{g(x)}) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ (Règle du quotient)
  • $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x))g'(x)$ (Règle de la chaîne)

Cas de Dérivées courantes

• $\frac{d}{dx}(x) = 1$
• $\frac{d}{dx}(e^x) = e^x$
• $\frac{d}{dx}(a^x) = a^x\ln(a)$
• $\frac{d}{dx}(\ln(x)) = \frac{1}{x}, x > 0$
• $\frac{d}{dx}(\log_a(x)) = \frac{1}{x\ln(a)}$
• $\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)$
• $\frac{d}{dx}(\cos(x)) = -\sin(x)$
• $\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^2(x)$
• $\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x)$
• $\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x)$
• $\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^2(x)$
• $\frac{d}{dx}(\sin^{-1}(x)) = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}(\cos^{-1}(x)) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
• $\frac{d}{dx}(\tan^{-1}(x)) = \frac{1}{1+x^2}$

Intégrales

• Formules de base:
  • $\int dx = x + c$
  • $\int kf(x) dx = k\int f(x) dx$
  • $\int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$
  • $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c, n \neq -1$
  • $\int f'(g(x))g'(x) dx = f(g(x)) + c$

Integrales communes

• $\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + c$
• $\int e^x dx = e^x + c$
• $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + c$
• $\int \cos(x) dx = \sin(x) + c$
• $\int \sin(x) dx = -\cos(x) + c$
• $\int \sec^2(x) dx = \tan(x) + c$
• $\int \sec(x)\tan(x) dx = \sec(x) + c$
• $\int \csc(x)\cot(x) dx = -\csc(x) + c$
• $\int \csc^2(x) dx = -\cot(x) + c$
• $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + c$
• $\int \frac{1}{a^2 + x^2} dx = \frac{1}{a}\tan^{-1}(\frac{x}{a}) + c$
• $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2 - a^2}} dx = \frac{1}{a}\sec^{-1}(\frac{x}{a}) + c$

Techniques d'Intégration

• Integration par parties
• $\int u dv = uv - \int v du$
• Substitution trigonométrique

• Fractions Partielles
• Supposons que nous voulons intégrer $\frac{P(x)}{Q(x)}$ où le degré de $P(x)$ est inférieur au degré de $Q(x)$.
• Factoriser $Q(x)$ complètement et écrire la forme appropriée de la décomposition en fractions partielles. Résolvez pour les coefficients inconnus.
• Intégrez les fonctions rationnelles résultantes.

Serie d'Exercices d'Algèbre Linéaire

Indépendance linéaire de vecteurs

• La série commence par des exercices déterminant si des ensembles de vecteurs donnés sont linéairement indépendants.

Espaces vectoriels

• Il y a des preuves élémentaires relatives aux espaces vectoriels.
• Il y est énoncé si:
  • $v \in V$, alors $0 \cdot v = 0$.
  • $a \in \mathbb{R}$, alors $a \cdot 0 = 0$.
  • $a \in \mathbb{R}$ et $v \in V$ tels que $a \cdot v = 0$, alors $a = 0$ ou $v = 0$.

Sous-espaces vectoriels

• Vérification si des ensembles donnés sont des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel donné.

Intersection et union des sous-espaces vectoriels

• Preuve que l'intersection de deux sous-espaces vectoriels est aussi un sous-espace vectoriel.
• Vérification si l'union de deux sous-espaces vectoriels est toujours un sous-espace vectoriel.

Somme des sous-espaces vectoriels

• Définition et preuve que la somme de deux sous-espaces vectoriels est un sous-espace vectoriel.