Fonction Exponentielle : cours

• La fonction exponentielle, notée exp, est une fonction dérivable unique sur $\mathbb{R}$.
• Elle satisfait $\exp'(x) = \exp(x)$ et $\exp(0) = 1$.
• $\exp(1) = e \approx 2,718$

Propriétés de la fonction exponentielle

• Pour tous réels $x$ et $y$, $\exp(x + y) = \exp(x) \times \exp(y)$.
• $\exp(x - y) = \frac{\exp(x)}{\exp(y)}$.
• Pour tout entier $n$, $\exp(nx) = (\exp(x))^n$.
• $\exp(-x) = \frac{1}{\exp(x)}$.
• Pour tout réel $x$, $\exp(x) > 0$.

Étude de la fonction exponentielle

• La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$.
• Sa dérivée est elle-même, $(\exp(x))' = \exp(x)$.
• Étant donné que $\exp(x) > 0$ pour tout $x \in \mathbb{R}$, elle est strictement croissante sur $\mathbb{R}$.

Limites de la fonction exponentielle

• $\lim_{x \to -\infty} \exp(x) = 0$
• $\lim_{x \to +\infty} \exp(x) = +\infty$
• La courbe représentative est au-dessus de l'axe des abscisses et croît rapidement vers $+\infty$ lorsque $x$ augmente.

Croissances Comparées

• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x} = +\infty$
• $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^n} = +\infty$, pour tout entier $n$.
• $\lim_{x \to -\infty} xe^x = 0$
• $\lim_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$, pour tout entier $n$.
• $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$

La fonction $e^u$

• Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$, alors $e^u$ est définie et dérivable sur $I$, et $(e^u)' = u'e^u$.

Exemples de dérivées de fonctions composées

• $(e^{x^2})' = 2xe^{x^2}$
• $(e^{\sin(x)})' = \cos(x)e^{\sin(x)}$
• $(e^{-3x+1})' = -3e^{-3x+1}$

Équations et inéquations exponentielles

• Pour tous réels $a$ et $b$:
  • $e^a = e^b \Leftrightarrow a = b$
  • $e^a < e^b \Leftrightarrow a < b$
  • $e^a > e^b \Leftrightarrow a > b$

Exemples de résolution d'équations

• $e^{2x-1} = e^3 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \Leftrightarrow x = 2$
• $e^{x^2-x} = 1 \Leftrightarrow x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x(x-1) = 0$, donc $x = 0$ ou $x = 1$

Exemples de résolution d'inéquations

• $e^{x+1} > e^{-x} \Leftrightarrow x + 1 > -x \Leftrightarrow 2x > -1 \Leftrightarrow x > -\frac{1}{2}$
• $e^{-x^2} < e^{-1} \Leftrightarrow -x^2 < -1 \Leftrightarrow x^2 > 1 \Leftrightarrow x < -1$ ou $x > 1$