Filtres : Transmittance Isochrone et Nature

Notions et Contenu

• La transmittance isochrone peut être déterminée à partir d'un schéma électrique pour un filtre du premier ordre.
• La transmittance isochrone doit être écrite sous sa forme canonique pour identifier les caractéristiques du filtre.
• La nature d'un filtre (passe-haut, passe-bas, passe-bande) et son ordre peuvent être identifiés à partir de sa fonction de transfert.
• Le choix de la nature d'un filtre dépend du rôle spécifié dans un cahier des charges (passe-haut, passe-bas, passe-bande).

Nature des Filtres d'Ordre 1 ou 2

• La nature d'un filtre peut être déduite de son diagramme de Bode (passe-haut, passe-bas, passe-bande).
• La nature d'un filtre est identifiable via sa courbe d'amplification en fonction de la fréquence (ou fréquence réduite pour filtre numérique) : passe-haut, passe-bas, passe-bande.
• Il est important de savoir élaborer un patron de filtre à partir d'un cahier des charges pour ensuite l'utiliser avec un logiciel de conception (passe-haut, passe-bas, passe-bande).

Diagramme de Bode

• Le gain (en dB) à une fréquence spécifique peut être déterminé à partir du diagramme de Bode d'un filtre.
• L'amplification peut être calculée à partir du gain (en dB) et vice versa.
• L'amplitude du signal de sortie d'un filtre peut être trouvée à partir de l'amplitude du signal d'entrée, de la fréquence, et du diagramme de Bode (amplitude et phase).
• Il est essentiel de différencier le gain statique, le gain à la fréquence propre et le gain en hautes fréquences.
• La ou les fréquences de coupure sont déterminées à partir de la courbe de gain ou d'amplification.
• Le diagramme asymptotique (gain et phase) peut être tracé depuis le diagramme de Bode pour déterminer la fréquence propre, la pente des asymptotes (en dB/décade et dB/octave), et l'ordre du filtre.
• Il faut vérifier si un filtre répond aux spécifications en comparant son diagramme de Bode au patron imposé.

Exercice 1 : Suppression du Bruit

• Un professionnel demande de supprimer une composante indésirable à 10 kHz d'un signal analogique.
• Il faut proposer au professionnel un type de filtre : passe-bas, passe-haut ou passe-bande, en argumentant le choix.
• Le cahier des charges du filtre inclut une fréquence de coupure supérieure à 4 kHz pour préserver les harmoniques d'intérêt.
• La transmittance isochrone H à 10 kHz ne doit pas dépasser 1/5 pour atténuer la composante de bruit par un facteur d'au moins 5.
• À basse fréquence, H doit valoir 1, impliquant aucune amplification ou atténuation du signal.

Réalisation d'un Filtre et Étude de sa Transmittance

• Un filtre est réalisé avec une résistance R et un condensateur C.
• Les valeurs fixées sont C = 20,0 nF et R = 1600 Ω.
• L'impédance complexe d'un condensateur est Zc = 1 / (j.C.ω).
• La fréquence de coupure fc à -3 dB d'un filtre est liée à la valeur maximale de H, notée Hmax, par la relation H(fc) = Hmax / √2.
• L'expression de la transmittance isochrone complexe H(jω) est H(jω) = 1 / (1 + j.R.C.ω).
• Selon l'expression de H(jω), il s'agit d'un filtre du 1er ordre.
• Le module |H(jω)|, noté H(ω), doit être déterminé à partir de l'expression de H(jω).
• Par un raisonnement approprié, il faut justifier qu'il s'agisse d'un filtre passe-bas.
• La pulsation propre ω0, avec ω0 = 1 / RC, correspond à la pulsation de coupure.

Étude Graphique

• Le diagramme de Bode du filtre de la figure 1 est établi par balayage en fréquence.
• La valeur de la pulsation de coupure wc du filtre réalisé doit être déterminée à l'aide de l'expression wc = 1 / RC, et la fréquence de coupure fc en est déduite.
• Il faut justifier graphiquement qu'il s'agit d'un filtre passe-bas à l'aide de la figure 3.
• La fréquence de coupure fc à -3 dB doit être déterminée graphiquement et justifiée sur la figure 3.
• Il est nécessaire de justifier graphiquement qu'il s'agit d'un filtre du premier ordre, en déterminant la pente de l'asymptote oblique.
• La valeur du gain à 10 kHz doit être déterminée.
• La valeur de la transmittance isochrone H à 10 kHz doit être déduite.
• L'amplitude du signal de sortie us(t) doit être déduite si le signal d'entrée ue(t) est sinusoïdal de fréquence 10 kHz et d'amplitude 1,5V.
• Une conclusion doit être tirée quant à savoir si le filtre atténue d'au moins un facteur 5 la composante du bruit et répond donc aux spécifications.
• L'adéquation entre le diagramme de Bode et le gabarit défini à la question 2c doit être vérifiée.
• Relever en quoi la courbe de gain de la figure 3 ne respecte pas le gabarit proposé à la question 2c.
• Proposer une modification pour répondre aux exigences du cahier des charges et expliquer.

Exercice 2 : Étude d'un Filtre à l'Aide de sa Transmittance

• La transmittance isochrone H d'un filtre est donnée en fonction de la fréquence f (échelle logarithmique).
• Il faut identifier la nature du filtre.
• La valeur de la transmittance maximale Hmax doit être déterminée.
• Les fréquences de coupure fc « à -3 dB » doivent être estimées graphiquement.
• La largeur de la bande passante Δf = fc2 − fc1 doit être calculée.
• Une tension e(t) = 12,0.sin(100.π.t) est appliquée à l'entrée.
• Déterminer l'amplitude Ê et la fréquence f de la tension d'entrée e(t).
• Déterminer graphiquement la transmittance isochrone du filtre à cette fréquence.
• L'amplitude Ŝ de la tension de sortie s(t) doit être déduite.