Fibonacci- und Lucas-Zahlenfolgen

Successioni di Fibonacci e Numeri di Lucas

• Una successione definita per ricorrenza definisce ogni termine in base ai precedenti.
• Esempio: $a_0 = 1$, $a_{n+1} = 2a_n$ determina univocamente la successione.
• La successione di Fibonacci è definita da $F_0 = 0$, $F_1 = 1$, e $F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$ per $n \geq 1$.
• I primi termini di Fibonacci sono: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
• La successione di Lucas è definita da $L_0 = 2$, $L_1 = 1$, e $L_{n+1} = L_n + L_{n-1}$ per $n \geq 1$.
• I primi termini di Lucas sono: 2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199,...
• La formula di Binet esprime l'n-esimo numero di Fibonacci come: $F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}$, dove $\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ e $\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$.
• Il rapporto tra numeri di Fibonacci consecutivi converge alla sezione aurea: $\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi$.
• Proprietà delle successioni di Fibonacci e Lucas: $F_{2n} = F_n L_n$, $L_n = F_{n-1} + F_{n+1}$, $\sum_{i=0}^{n} F_i = F_{n+2} - 1$.
• Queste successioni compaiono in contesti matematici e naturali, mostrando proprietà affascinanti.

Algorithmic Complexity

• La complessità algoritmica misura le risorse necessarie (tempo e spazio) per risolvere un problema di una certa dimensione.
• Viene espressa con la notazione Big O, che descrive il limite superiore del tasso di crescita dell'uso delle risorse dell'algoritmo.

Complessità Temporale (Time Complexity)

• La complessità temporale si riferisce al tempo di esecuzione di un algoritmo in funzione della dimensione dell'input.
• Utilizzata la notazione Big O per esprimere il limite superiore del tasso di crescita del tempo di esecuzione.
  • O(1): Tempo costante, indipendente dalla dimensione dell'input. Esempio: accesso a un elemento di un array tramite indice.
  • O(log n): Tempo logaritmico, aumenta logaritmicamente con la dimensione dell'input. Esempio: ricerca binaria in un array ordinato.
  • O(n): Tempo lineare, aumenta linearmente con la dimensione dell'input. Esempio: ricerca di un elemento in un array non ordinato.
  • O(n log n): Tempo linearitmico. Esempio: merge sort, heap sort.
  • O(n^2): Tempo quadratico. Esempio: bubble sort, insertion sort.
  • O(n^3): Tempo cubico. Esempio: moltiplicazione di matrici.
  • O(2^n): Tempo esponenziale. Esempio: trovare tutti i sottoinsiemi di un insieme.
  • O(n!): Tempo fattoriale. Esempio: trovare tutte le permutazioni di un insieme.

Complessità Spaziale (Space Complexity)

• La complessità spaziale si riferisce alla quantità di memoria necessaria per eseguire un algoritmo.
• Utilizzata la notazione Big O per esprimere il limite superiore del tasso di crescita dell'utilizzo della memoria.
  • O(1): Spazio costante, indipendente dalla dimensione dell'input. Esempio: scambio di due variabili.
  • O(n): Spazio lineare, aumenta linearmente con la dimensione dell'input. Esempio: creazione di una copia di un array.
  • O(n^2): Spazio quadratico. Esempio: creazione di una matrice per memorizzare le distanze tra coppie di punti in un grafo.

Esempi di Complessità

• Ricerca Lineare: Tempo O(n), Spazio O(1).
• Ricerca Binaria: Tempo O(log n), Spazio O(1).
• Bubble Sort: Tempo O(n^2), Spazio O(1).

Meccanica Quantistica

• La meccanica quantistica è una teoria fondamentale in fisica che descrive le proprietà della natura a livello atomico e subatomico.

Concetti Chiave

• Quantizzazione: L'energia, il momento e altre quantità fisiche sono quantizzate, possono assumere solo valori discreti.
• Dualismo Onda-Particella: Le particelle possono esibire proprietà sia ondulatorie che particellari.
• Principio di Incertezza: Esiste un limite fondamentale alla precisione con cui si possono conoscere simultaneamente alcune coppie di proprietà fisiche di una particella, come posizione e momento.
• Sovrapposizione: Un sistema quantistico può esistere in più stati contemporaneamente fino a quando non viene misurato.
• Entanglement (Intreccio): Due o più particelle quantistiche possono essere collegate in modo che lo stato di una influenzi istantaneamente lo stato dell'altra, indipendentemente dalla distanza.

Equazione di Schrödinger

• L'equazione di Schrödinger dipendente dal tempo è: $i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(\mathbf{r},t) = \hat{H}\Psi(\mathbf{r},t)$.
  • $i$ è l'unità immaginaria.
  • $\hbar$ è la costante di Planck ridotta.
  • $\frac{\partial}{\partial t}$ è la derivata parziale rispetto al tempo.
  • $\Psi(\mathbf{r},t)$ è la funzione d'onda, che descrive lo stato quantistico del sistema.
  • $\hat{H}$ è l'operatore Hamiltoniano, che rappresenta l'energia totale del sistema.

Applicazioni

• Calcolo Quantistico.
• Crittografia Quantistica.
• Scienza dei Materiali.
• Imaging Medico.

Fondamenti di Algebra Lineare

• Corpo:
  • Un corpo $\mathbb{K}$ è un insieme con due operazioni (+ e ·) che soddisfano specifiche proprietà.
  • $(\mathbb{K},+)$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0_{\mathbb{K}}$.
  • $(\mathbb{K}\setminus{0_{\mathbb{K}}},\cdot)$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $1_{\mathbb{K}}$.
  • La moltiplicazione · è distributiva rispetto all'addizione +.
  • Esempi di corpi: $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$.
• Spazio Vettoriale:
  • Uno spazio vettoriale $V$ su un corpo $\mathbb{K}$ ha due operazioni (+ e ·) che rispettano determinati assiomi.
  • $(V,+)$ è un gruppo abeliano con elemento neutro $0_{V}$.
  • Per scalari $\alpha, \beta \in \mathbb{K}$ e vettori $u,v \in V$, valgono le distributive, associativa e l'identità moltiplicativa.
  • Esempi: $\mathbb{K}^{n}$, $\mathbb{K}[x]$.
• Subspazio Vettoriale:
  • Un sottoinsieme non vuoto $S \subseteq V$ è un sottospazio se è chiuso rispetto all'addizione di vettori e alla moltiplicazione per scalari.
  • Esempi: ${0_{V}}$, $V$.
• Combinazione Lineare:
  • Una combinazione lineare di $v_{1},...,v_{n} \in V$ è $\alpha_{1}v_{1} +... + \alpha_{n}v_{n}$, con $\alpha_{i} \in \mathbb{K}$.
• Generazione:
  • $\langle v_{1},...,v_{n} \rangle$ è l'insieme di tutte le combinazioni lineari di $v_{1},...,v_{n}$, ed è un sottospazio vettoriale.
  • Se $\langle v_{1},...,v_{n} \rangle = V$, i vettori $v_{1},...,v_{n}$ generano $V$.
• Indipendenza Lineare (L.I.):
  • $v_{1},...,v_{n}$ sono L.I. se $\alpha_{1}v_{1} +... + \alpha_{n}v_{n} = 0_{V}$ implica che tutti gli $\alpha_{i} = 0_{\mathbb{K}}$.
• Base:
  • Una base di $V$ è un insieme di vettori L.I. che generano $V$.
• Dimensione:
  • La dimensione di $V$ è il numero di vettori in una base; tutte le basi hanno la stessa cardinalità.
  • Esempi: $\dim(\mathbb{K}^{n}) = n$, $\dim(\mathbb{K}[x]_{n}) = n+1$.
• Trasformazioni Lineari:
  • $T : V \to W$ è una trasformazione lineare se $T(u+v) = T(u) + T(v)$ e $T(\alpha\cdot u) = \alpha\cdot T(u)$.
• Nucleo e Immagine:
  • $\ker(T) = {v \in V : T(v) = 0_{W}}$ (sottospazio di $V$).
  • $\operatorname{Im}(T) = {w \in W : \exists v \in V \text{ tal che } T(v) = w}$ (sottospazio di $W$).
  • Teorema della dimensione: $\dim(V) = \dim(\ker(T)) + \dim(\operatorname{Im}(T))$.
• Classificazione:
  • $T$ è iniettiva se $\ker(T) = {0_{V}}$.
  • $T$ è suriettiva se $\operatorname{Im}(T) = W$.
  • $T$ è un isomorfismo se è iniettiva e suriettiva.
• Matrice associata a una trasformazione lineare:
  • $A \in \mathbb{K}^{m \times n}$ rappresenta $T : V \to W$ rispetto alle basi $\mathcal{B}$ di $V$ e $\mathcal{C}$ di $W$.
  • $[T(v)]{\mathcal{C}} = A[v]{\mathcal{B}}$.
• Composizione di trasformazioni lineari:
  • $S \circ T : U \to W$ è una trasformazione lineare e la sua matrice associata è il prodotto delle matrici di $S$ e $T$.
• Autovalori e Autovettori:
  • $\lambda \in \mathbb{K}$ è un autovalore di $T : V \to V$ se esiste $v \neq 0_{V}$ tale che $T(v) = \lambda v$.
  • L'insieme degli autovalori è lo spettro $\sigma(T)$.
  • $E_{\lambda} = {v \in V : T(v) = \lambda v} = \ker(T - \lambda I)$ è l'autospazio.
• Polinomio Caratteristico:
  • $p_{A}(\lambda) = \det(A - \lambda I)$ per una matrice $A \in \mathbb{K}^{n \times n}$.
  • Le radici di $p_{A}(\lambda)$ sono gli autovalori di $A$.
• Diagonalizzazione:
  • $A$ è diagonalizzabile se esiste $P$ invertibile tale che $P^{-1}AP$ è diagonale.
• Prodotto Interno:
  • Un prodotto interno $\langle \cdot, \cdot \rangle : V \times V \to \mathbb{K}$ (dove $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$) soddisfa proprietà di coniugazione, linearità e positività.
  • Esempi: prodotto scalare in $\mathbb{R}^{n}$, prodotto hermitiano in $\mathbb{C}^{n}$, integrale in $\mathbb{C}[a,b]$.
• Norma:
  • $|v| = \sqrt{\langle v,v \rangle}$.
  • Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz: $|\langle u,v \rangle| \leq |u| |v|$.
  • Disuguaglianza triangolare: $|u+v| \leq |u| + |v|$.
• Ortogonalità:
  • $u$ e $v$ sono ortogonali se $\langle u,v \rangle = 0$.
  • Teorema di Pitagora: $|u+v|^{2} = |u|^{2} + |v|^{2}$ se $u$ e $v$ sono ortogonali.
• Basi Ortonormali:
  • ${v_{1},...,v_{n}}$ è ortonormale se $\langle v_{i},v_{j} \rangle = \delta_{ij}$.
• Processo di Gram-Schmidt:
  • Algoritmo per ortonormalizzare una base.
• Complemento Ortogonale:
  • $S^{\perp} = {v \in V : \langle v,u \rangle = 0 \text{ per todo } u \in S}$.
  • $V = W \oplus W^{\perp}$.
• Proiezione Ortogonale:
  • $\operatorname{proj}{W}(v) = \sum{i=1}^{n} \langle v,w_{i} \rangle w_{i}$ se ${w_{1},...,w_{n}}$ è una base ortonormale di $W$.

Cinetica Chimica

• Velocità di Reazione
  • Definizione: Variazione della concentrazione di un reagente o prodotto rispetto al tempo.
  • Espressione: Per $aA + bB \rightarrow cC + dD$, velocità = $-\frac{1}{a} \frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b} \frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c} \frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d} \frac{d[D]}{dt}$.
  • Fattori che influenzano: Concentrazione, temperatura, superficie, catalizzatori, pressione.
• Legge di Velocità
  • Definizione: Equazione che lega la velocità alle concentrazioni dei reagenti.
  • Forma generale: Per $aA + bB \rightarrow \text{Prodotti}$, velocità = $k[A]^m[B]^n$.
    • $k$ è la costante di velocità.
    • $m$ e $n$ sono gli ordini di reazione rispetto ad A e B.
    • L'ordine di reazione complessivo è $m + n$.
  • Tipi di Leggi di Velocità:
    • Ordine Zero: $Rate = k$
    • Primo Ordine: $Rate = k[A]$
    • Secondo Ordine: $Rate = k[A]^2$ o $Rate = k[A][B]$
• Leggi Integrate di Velocità
  • Definizione: Legano la concentrazione dei reagenti al tempo.
  • Equazioni:
    • Ordine Zero: $[A]_t = -kt + [A]_0$
    • Primo Ordine: $\ln[A]_t = -kt + \ln[A]_0$ oppure $\ln\frac{[A]_t}{[A]_0} = -kt$
    • Secondo Ordine: $\frac{1}{[A]_t} = kt + \frac{1}{[A]_0}$
  • Emivita ($t_{1/2}$): Tempo necessario per ridurre la concentrazione di un reagente alla metà del suo valore iniziale.
    • Ordine Zero: $t_{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$
    • Primo Ordine: $t_{1/2} = \frac{0.693}{k}$
    • Secondo Ordine: $t_{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$
• Meccanismi di Reazione
  • Definizione: Sequenza dettagliata di passaggi elementari attraverso i quali avviene la reazione complessiva.
  • Passaggio Elementare: Reazione che avviene in un singolo passaggio.
  • Passaggio Limitante la Velocità: Il passaggio più lento che determina la velocità complessiva della reazione.
  • Catalizzatore: Sostanza che accelera la reazione senza essere consumata.
  • Tipi di Catalisi:
    • Omogenea: Catalizzatore nella stessa fase dei reagenti.
    • Eterogenea: Catalizzatore in una fase diversa dai reagenti.
• Energia di Attivazione
  • Definizione: Energia minima necessaria per far avvenire la reazione.
  • Equazione di Arrhenius: $k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$.
    • $A$ è il fattore pre-esponenziale.
    • $E_a$ è l'energia di attivazione.
    • $R$ è la costante dei gas ($8.314 J/(mol \cdot K)$).
    • $T$ è la temperatura assoluta (in Kelvin).
  • Forma a Due Punti dell'Equazione di Arrhenius: $\ln\frac{k_2}{k_1} = \frac{E_a}{R}(\frac{1}{T_1} - \frac{1}{T_2})$.

Atomo di Idrogeno

• Equazione di Schrödinger per un Potenziale Centrale
  • Riduzione a un problema efficace 1D:
    • L'equazione di Schrödinger per un elettrone in un potenziale centrale $V(r)$ è $\hat{H} \psi(\overrightarrow{r}) = E \psi(\overrightarrow{r})$, dove $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 + V(r)$.
    • In coordinate sferiche il Laplaciano è $\nabla^2 = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{\hat{L}^2}{\hbar^2}$, dove $\hat{L}^2$ è l'operatore momento angolare.
    • Separando le variabili $\psi(\overrightarrow{r}) = R(r) Y(\theta, \phi)$, dove $Y(\theta, \phi)$ sono le armoniche sferiche.
    • L'equazione radiale effettivo 1D con potenziale efficace diventa: $\left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2} + V(r) \right] u(r) = E u(r)$.
  • Atomo di idrogeno:
    • Per l'atomo di Idrogeno $V(r) = -\frac{k}{r}$, dove $k = \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0}$.
    • Introdotte coordinate adimensionali.
    • Effettuando la sostituzione $u(r) = rR(r)$ e semplificando si ricava un'equazione radiale monodimensionale efficace.
    • $a = \frac{\hbar^2}{mk} = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{me^2} \approx 0.529 \text{ Å}$ (raggio di Bohr).
    • $E_0 = \frac{\hbar^2}{2ma^2} = \frac{mk^2}{2\hbar^2} = \frac{me^4}{2(4\pi \epsilon_0)^2 \hbar^2} \approx 13.6 \text{ eV}$ (energia di Rydberg).
• Risoluzione dell'Equazione Radiale
  • Soluzioni asintotiche:
    • Per grandi $r$, la soluzione è $e^{\pm \sqrt{-\epsilon} \rho}$.
    • Per piccoli $r$, la soluzione è $\rho^{l+1}$.
  • La soluzione generale può essere scritta come: $\qquad u(\rho) = \rho^{l+1} e^{-\kappa \rho} v(\rho)$.

Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (PDE)

• Definizione
  • Equazioni che coinvolgono funzioni di più variabili e le loro derivate parziali.
  • Utilizzate per modellare fenomeni in fisica, ingegneria, finanza, ecc.
• Esempi
  • Equazione del calore: $\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u$ (flusso di calore).
  • Equazione delle onde: $\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \nabla^2 u$ (propagazione delle onde).
  • Equazione di Laplace: $\nabla^2 u = 0$ (fenomeni stazionari).
• Metodi di Risoluzione
  • Metodi Analitici: Separazione delle variabili, trasformate di Fourier, funzioni di Green.
  • Metodi Numerici: Metodi alle differenze finite, metodi agli elementi finiti, metodi ai volumi finiti.
• Tipi di PDE
  • Ellittiche: Esempio, Equazione di Laplace; soluzioni regolari.
  • Paraboliche: Esempio, Equazione del calore; soluzioni evolutive nel tempo.
  • Iperboliche: Esempio, Equazione delle onde; soluzioni con velocità di propagazione finita.
• Applicazioni
  • Fisica: Fluidodinamica, elettromagnetismo, meccanica quantistica.
  • Ingegneria: Analisi strutturale, trasferimento di calore, elaborazione del segnale.
  • Finanza: Prezzatura delle opzioni (equazione di Black-Scholes).
• Concetti Chiave
  • Condizioni al contorno: Dirichlet, Neumann, Robin.
  • Condizioni iniziali (per PDE dipendenti dal tempo).
  • Problemi Ben Posti: Esistenza, unicità e stabilità delle soluzioni.
• Software
  • Calcolo Numerico: MATLAB, Python (NumPy, SciPy, FEniCS), COMSOL.
  • Sistemi di Algebra Computazionale: Mathematica, Maple.
• Avanzamenti Recenti
  • Deep Learning: Reti neurali informate sulla fisica (PINN).
  • Calcolo ad Alte Prestazioni: Algoritmi paralleli per simulazioni su larga scala.

UNITÀ 4: INTEGRALI

• Integrale Indefinito
  • Concetto: Data una funzione $\ f(x)$, $F(x)$ è una primitiva se $\ F'(x) = f(x)$.
    • Esiste una costante di integrazione $C$.
    • $\int$: Simbolo di integrazione, $f(x)$: integrando, $dx$: differenziale di $x$, $F(x)$: primitiva, $C$: costante.
  • Proprietà:
    1. $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$
    2. $\int k f(x) dx = k \int f(x) dx$
  • Integrali Immediati: Tabelle di integrali diretti.
  • Metodo di Sostituzione: Utilizzare un cambio di variabile $t = g(x)$ per semplificare l'integrale.
    • $\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(t) dt$
  • Integrazione per Parti: $\int u dv = uv - \int v du$.
    • Scegliere $u$ e $dv$ appropriati per semplificare l'integrale.
  • Integrali Trigonometrici: Utilizzare identità trigonometriche per semplificare.
  • Integrali Razionali: Scomporre in frazioni parziali.
• Integrale Definito
  • Concetto: $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a)$, dove $F(x)$ è una primitiva di $f(x)$.
    • Rappresenta l'area sotto la curva tra $a$ e $b$.
  • Proprietà:
    1. $\int_{a}^{b} [f(x) + g(x)] dx = \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx$
    2. $\int_{a}^{b} k f(x) dx = k \int_{a}^{b} f(x) dx$
    3. $\int_{a}^{a} f(x) dx = 0$
    4. $\int_{a}^{b} f(x) dx = -\int_{b}^{a} f(x) dx$
    5. $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{c} f(x) dx + \int_{c}^{b} f(x) dx$, dove $a < c < b$.
  • Teorema del Valor Medio: $\int_{a}^{b} f(x) dx = f(c) (b-a)$.
  • Calcolo di Aree:
    1. Area tra una funzione e l'asse x: $A = \int_{a}^{b} |f(x)| dx$
    2. Area tra due funzioni: $A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| dx$

Esercizio Esempio

• Considera la funzione $f(x) = \frac{e^x}{1 + e^x}$ 1.
  - Determina la relazione tra $f$ e $f(-x)$ per individuare simmetrie della funzione. - Calcolare la derivata $f'(x) = \frac{e^x}{(1 + e^x)^2}$ e ricavare il comportamento della funzione. 2. Mostrare che $f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}$ e dimostrare che $f$ è impare rispetto al punto $I(0, \frac{1}{2})$. 3. Studiare la posizione relativa tra $C_f$ e $y = x$. 4. Per ogni intero naturale $n$, si consideri l'integrale $I_n = \int_{0}^{n} f(x) dx$, calcolare $I_n$ per individuare il comportamento della funzione per $n-> +\infty$