Expressions régulières

Expressions réguliers

• Un expression régulière (Regex ou RegExp) est une chaine de caractères qui sert à décrire un ensemble de chaines de caractères, en utilisant certaines règles syntaxiques.
• Les expressions régulières sont utilisées principalement en développement logiciel.
• Presque tous les langages de programmation prennent en charge les expressions régulières, par exemple, lors de la recherche de chaines de caractères dans des textes ou de la validation de saisies.

Exemples d'expressions régulières

• . : Représente n'importe quel caractère.
• \d : Représente un chiffre (0-9).
• \w : Représente un « caractère de mot » (lettres, chiffres, soulignement).
• [abc] : Représente l'un des caractères a, b ou c.
• [^abc] : Représente un caractère qui n'est pas a, b ou c.
• (abc\|def) : Représente "abc" ou "def".
• ? : Le caractère ou le groupe qui précède apparait zéro ou une fois.
• * : Le caractère ou le groupe précédent apparait un nombre quelconque de fois (y compris zéro fois).
• + : Le caractère ou le groupe précédent apparait au moins une fois
• {n} : Le caractère ou le groupe qui précède apparait exactement n fois.
• {n,m} : Le caractère ou le groupe qui précède apparait au moins n fois et au plus m fois.
• ^ : Correspond au début d'une ligne.
• $ : Correspond à la fin d'une ligne.
• \ : Supprime la signification particulière d'un caractère (par exemple, pour rechercher un point).
• ( ) : Enregistre le contenu entre parenthèses dans un groupe (qui peut être référencé plus tard).
• \1, \2 : Fait référence au contenu du premier ou deuxième groupe.
• (?:...) : Regroupe l'expression sans l'enregistrer.
• (?=...) : Assertion de regard vers l'avant positive : correspond si l'expression correspond après le point actuel, mais ne consomme pas de caractères.
• (?!...) : Assertion de regard vers l'avant négative : correspond si l'expression ne correspond pas après le point actuel, mais ne consomme pas de caractères.
• `(?(Id # Chapitre 14 : Gouvernement

Objectifs économiques

Économie stable

• Les gouvernements s’efforcent d’assurer la stabilité économique.
• Maintenir l’inflation à un niveau bas.
• Maintenir le chômage à un niveau bas.
• Encourager la croissance économique.
• Atteindre l’équilibre de la balance des paiements.

Inflation

• L’inflation est une hausse générale et persistante des prix.
• Mesurée par l’IPC (indice des prix à la consommation).
• L’objectif visé est généralement de 2 %.
• Inflation par la demande (demande trop forte).
• Inflation par les coûts (coûts en hausse).
• Spirale salaires-prix (les salaires et les prix augmentent).

Chômage

• Le chômage survient lorsque des personnes sont disposées et capables de travailler, mais ne trouvent pas d’emploi.
• Mesuré par le nombre de demandeurs d’emploi ou l’enquête sur les forces vives.
• Les types de chômage incluent :
  • Structurel
  • Frictionnel
  • Cyclique
  • Saisonnière

Croissance économique

• Augmentation du niveau de production de biens et de services dans un pays.
• Mesurée par le PIB.
• Elle peut être à court ou à long terme.

Balance des paiements

• Recensement de toutes les transactions financières entre un pays et le reste du monde.
• Compte courant :
  • Commerce de biens
  • Commerce de services
  • Revenus des investissements
  • Transferts courants
• Compte de capital
• Compte financier

Politiques gouvernementales

Politique budgétaire

• Elle implique l’utilisation des dépenses publiques, de la fiscalité et des emprunts pour affecter l’activité économique.
• Budget :
  • Budget équilibré (recettes = dépenses)
  • Excédent budgétaire (recettes > dépenses)
  • Déficit budgétaire (recettes < dépenses)
• Impôts directs (sur le revenu et les sociétés)
• Impôts indirects (TVA)
• Politique budgétaire expansionniste (augmentation des dépenses ou diminution des impôts)
• Politique budgétaire restrictive (diminution des dépenses ou augmentation des impôts)

Politique monétaire

• Elle consiste à manipuler le niveau des taux d’intérêt ou la masse monétaire pour affecter l’activité économique.
• Fixée par le MPC (comité de politique monétaire) de la Banque d’Angleterre.
• Politique monétaire expansionniste (baisse des taux d’intérêt ou augmentation de la masse monétaire)
• Politique monétaire restrictive (hausse des taux d’intérêt ou diminution de la masse monétaire)
• Assouplissement quantitatif (impression de monnaie)

Politiques de l’offre

• Vise à augmenter le potentiel productif de l’économie.
• Privatisation
• Dérèglementation
• Éducation et formation
• Baisse des impôts

Conflits

• Conflits entre les objectifs économiques.
• Par exemple, la réduction du chômage peut entraîner une inflation.
• Conflits entre les politiques.
• Par exemple, la politique budgétaire peut entrer en conflit avec la politique monétaire.

Intervention gouvernementale

Raisons de l’intervention

• Corriger les défaillances du marché
• Fournir des biens publics.
• Fournir des biens tutélaires.
• Contrôler les biens de stigmatisation.
• Réduire les inégalités

Méthodes d’intervention

• Impôts
• Subventions
• Contrôle des prix.
• Réglementation
• Nationalisation

Problèmes d’intervention

• Distorsion du marché
• Conséquences imprévues
• Lacunes informationnelles
• Frais administratifs # Solutions à l'examen en ODE et en modélisation mathématique, MMG511, 190117

1.

a) Faux. Par exemple, $y' = y^2, y(0) = 1$ a la solution $y(t) = \frac{1}{1-t}$ qui n'existe que pour $t < 1$.

b) Vrai. Si $\mathbf{f}$ est Lipschitz continue et bornée, alors $|\mathbf{f}(\mathbf{y})| \le M$ pour une certaine constante $M$. Alors

$\qquad \frac{d}{dt}|\mathbf{y}(t)| \le |\mathbf{y}'(t)| = |\mathbf{f}(\mathbf{y}(t))| \le M$,

donc $|\mathbf{y}(t)| \le |\mathbf{y}(0)| + Mt$, c'est-à-dire que la solution croît au plus linéairement.

c) Faux. Choisir $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -1 & 0 \end{pmatrix}$. Alors $\mathbf{y}' = A\mathbf{y}$ a la solution $\mathbf{y}(t) = (\cos t, -\sin t)^T qui est périodique.

d) Faux. Les fonctions $e^t$ et $e^{-t}$ sont des solutions linéairement indépendantes de $y'' - y = 0$, mais $e^t \cdot e^{-t} = 1$ est constante.

2.

Le système peut être écrit

$\qquad \begin{aligned} x' &= -5x + 2y \ y' &= x - 6y, \end{aligned}$

avec $A =\begin{pmatrix} -5 & 2 \ 1 & -6 \end{pmatrix}$. Les valeurs propres sont données par

$\qquad \det(A - \lambda I) = (-5-\lambda)(-6-\lambda) - 2 = \lambda^2 + 11\lambda + 28 = 0$,

donc $\lambda = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 - 4 \cdot 28}}{2} = \frac{-11 \pm \sqrt{9}}{2} = -4$ ou $-7$.

Pour $\lambda = -4$ nous avons $(-5+4)x + 2y = 0$, donc $x = 2y$. Un vecteur propre est $\mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix}$.

Pour $\lambda = -7$ nous avons $(-5+7)x + 2y = 0$, donc $y = -x$. Un vecteur propre est $\mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$.

La solution générale est

$\qquad \mathbf{y}(t) = c_1 e^{-4t} \begin{pmatrix} 2 \ 1 \end{pmatrix} + c_2 e^{-7t} \begin{pmatrix} 1 \ -1 \end{pmatrix}$.

3.

Nous avons le système

$\qquad \begin{aligned} x' &= x - y \ y' &= 5x - y. \end{aligned}$

avec $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \ 5 & -1 \end{pmatrix}$. Les valeurs propres sont données par

$\qquad \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(-1-\lambda) + 5 = \lambda^2 + 4 = 0$,

donc $\lambda = \pm 2i$.

Pour $\lambda = 2i$ nous avons $(1-2i)x - y = 0$, donc $y = (1-2i)x$. Un vecteur propre est $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \ 1-2i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} 0 \ -2 \end{pmatrix}$.

Solution générale :

$\qquad \mathbf{y}(t) = c_1 \left( \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \cos(2t) - \begin{pmatrix} 0 \ -2 \end{pmatrix} \sin(2t) \right) + c_2 \left( \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} \sin(2t) + \begin{pmatrix} 0 \ -2 \end{pmatrix} \cos(2t) \right)$

$\qquad = c_1 \begin{pmatrix} \cos(2t) \ \cos(2t) + 2\sin(2t) \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} \sin(2t) \ \sin(2t) - 2\cos(2t) \end{pmatrix}$.

La valeur initiale donne

$\qquad \begin{aligned} c_1 \begin{pmatrix} 1 \ 1 \end{pmatrix} + c_2 \begin{pmatrix} 0 \ -2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 2 \ 3 \end{pmatrix}, \end{aligned}$

donc $c_1 = 2$ et $2 - 2c_2 = 3$, c'est-à-dire $c_2 = -\frac{1}{2}$. La solution est

$\qquad \mathbf{y}(t) = 2 \begin{pmatrix} \cos(2t) \ \cos(2t) + 2\sin(2t) \end{pmatrix} - \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sin(2t) \ \sin(2t) - 2\cos(2t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cos(2t) - \frac{1}{2}\sin(2t) \ \frac{5}{2}\cos(2t) + \frac{7}{2}\sin(2t) \end{pmatrix}$.

4.

Le système peut être écrit $y' = f(y)$, où $f(y) = y(y-2)(y-4)$. Les solutions stationnaires sont données par $f(y) = 0$, c'est-à-dire $y = 0, 2, 4$.

$f'(y) = (y-2)(y-4) + y(y-4) + y(y-2) = 3y^2 - 12y + 8$.

Ainsi $f'(0) = 8 > 0$, donc $y = 0$ est instable. $f'(2) = 12-24+8 = -4 < 0$, donc $y = 2$ est stable. $f'(4) = 48 - 48 + 8 = 8 > 0$, donc $y = 4$ est instable.

5.

Soit $u = x-ct$. Alors $\frac{\partial}{\partial t} = -c \frac{\partial}{\partial u}$ et $\frac{\partial}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial u}$. Ainsi on a

$\qquad u_t = -cu_x = \frac{-cu}{1+x+t} = \frac{-cu}{1+x-ct+t} = \frac{-cu}{1+x+(1-c)t}$.

C'est une équation séparable : $\frac{u'}{u} = \frac{-c}{1+x+(1-c)t}$, donc

$\qquad \ln|u| = \frac{-c}{1-c} \ln|1+x+(1-c)t| + C$,

et

$\qquad |u| = e^C |1+x+(1-c)t|^{\frac{-c}{1-c}}$,

par conséquent,

$\qquad u = A (1+x+(1-c)t)^{\frac{-c}{1-c}}$,

où $A$ est une constante arbitraire. $u(x, 0) = x = A(1+x)^{\frac{-c}{1-c}}$, donc $A = \frac{x}{(1+x)^{\frac{-c}{1-c}}} = x(1+x)^{\frac{c}{1-c}}$. Donc $c = 0$. L'équation devient $u_t = \frac{0}{1+x+t}u = 0$, donc $u$ est constant. Alors $u(x, t) = x$, donc $u(x, t) = x-ct = x$. Cela donne $c = 0$.

6.

a) Voir livre ou notes de cours.

b) $f(x, y) = (y, x^2 + y^2 - 1)$. Les zéros sont donnés par $y = 0, x^2 + y^2 - 1 = 0$, c'est-à-dire $y = 0, x = \pm 1$.

La jacobienne est donnée par $\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 2x & 2y \end{pmatrix}$.

En $(1, 0)$ on a $\begin{pmatrix} 0 & 1 \ 2 & 0 \end{pmatrix}$ avec les valeurs propres $\pm \sqrt{2}$, donc c'est un point de selle (instable).

En $(-1, 0)$ on a $\begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & 0 \end{pmatrix}$ avec les valeurs propres $\pm \sqrt{2}i$, donc c'est un centre (stable). # Thermodynamique de génie chimique

Chapitre 4 : Effets thermiques

4.1 : Effets thermiques sensibles

• Processus à volume constant*

$Q = \Delta U = \int_{T_1}^{T_2} nC_V dT$

$C_V$ : Capacité thermique à volume constant

• Processus à pression constante*

$Q = \Delta H = \int_{T_1}^{T_2} nC_P dT$

$C_P$ : Capacité thermique à pression constante

4.2 Chaleur de réaction standard

Réaction chimique :

$v_A A + v_B B \rightarrow v_R R + v_P P$

Où :

• $A, B$ : Réactifs
• $R, P$ : Produits
• $v_i$ : Coefficients stoechiométriques
• Chaleur de réaction standard* ($\Delta H_T^o$) : Variation d’enthalpie lorsque $v_A$ mol de $A$ et $v_B$ mol de $B$ réagissent complètement pour former $v_R$ mol de $R$ et $v_P$ mol de $P$ dans des conditions standard.

$\Delta H_T^o = \sum_{i} v_i H_{i,T}^o - \sum_{j} v_j H_{j,T}^o$

Où :

• $i$ : produits
• $j$ : réactifs

4.3 Effet de la température sur $\Delta H^o$

$\Delta H_T^o = \Delta H_{T_0}^o + \int_{T_0}^{T} \Delta C_P dT$

Où :

$\Delta C_P = \sum_{i} v_i C_{P,i} - \sum_{j} v_j C_{P,j}$

4.4 Chaleur de formation

• Chaleur de formation* ($\Delta H_f^o$) : Variation d’enthalpie lorsque 1 mol de la substance est formée à partir de ses éléments constitutifs dans leurs états standards.

Par convention, la chaleur de formation de tous les éléments dans leurs états standards est nulle.

4.5 Chaleur de combustion

• Chaleur de combustion* ($\Delta H_c^o$) : Variation d’enthalpie lorsque 1 mol de la substance est complètement brûlée dans l’oxygène dans des conditions standard.

4.6 Température adiabatique de flamme

Dans un processus adiabatique, aucune chaleur n’est échangée avec l’environnement ($Q = 0$). La température adiabatique de flamme est la température atteinte lorsqu’une réaction se produit de manière adiabatique.

$0 = \Delta H_{T_0}^o + \int_{T_0}^{T_{ad}} \Delta C_P dT$

Où :

• $T_{ad}$ : Température adiabatique de flamme
• $T_0$ : Température initiale
• Remarque* : Ce chapitre traite des effets thermiques dans les réactions chimiques, notamment de la chaleur sensible, de la chaleur de réaction standard, de la dépendance de la chaleur de réaction à la température, de la chaleur de formation, de la chaleur de combustion et de la température adiabatique de flamme. # TP 2 : Initiation à C++

1. Objectifs

Ce TP a pour objectif de vous initier aux bases de la programmation en C++, notamment les entrées/sorties, les variables, les instructions de contrôle et les fonctions.

2. Lectures

• zyBook Chapitres 1 à 6

3. Livrables

• Un rapport au format PDF contenant :
• Le code source de vos programmes
• Des captures d’écran de la sortie des programmes
• Une brève discussion des résultats
• Les fichiers de code source (.cpp et .h)
• Soumettez un fichier zip nommé lab2_votrenom.zip sur Canvas.

4. Tâches du TP

4.1 « Hello World! »

Écrivez un programme qui affiche le message « Hello World! » à l’écran.

4.2 Entrées/sorties de base

Écrivez un programme qui demande à l’utilisateur de saisir son nom et son âge. Le programme doit alors afficher un message qui salue l’utilisateur et lui indique son âge.

4.3 Variables et types de données

Écrivez un programme qui déclare des variables des types de données suivants : int, double, string et bool. Attribuez des valeurs à ces variables, puis affichez leurs valeurs à l’écran.

4.4 Instructions de contrôle

Écrivez un programme qui demande à l’utilisateur de saisir un entier. Le programme doit ensuite utiliser une instruction if pour déterminer si l’entier est pair ou impair. Le programme doit afficher un message qui indique à l’utilisateur si l’entier est pair ou impair.

4.5 Boucles

Écrivez un programme qui utilise une boucle for pour afficher les entiers de 1 à 10. Puis écrivez un programme qui utilise une boucle while pour faire la même chose.

4.6 Fonctions

Écrivez une fonction qui prend deux entiers comme entrée et renvoie leur somme. Écrivez un programme qui appelle cette fonction et affiche le résultat.

4.7 Pointeur

Écrivez un programme qui déclare une variable entière et un pointeur vers un entier. Attribuez l’adresse de la variable entière au pointeur. Puis, utilisez le pointeur pour modifier la valeur de la variable entière. Affichez la valeur de la variable entière avant et après sa modification.

4.8 Classes

Créez une classe appelée Rectangle qui possède deux variables membres privées : length et width. La classe doit avoir un constructeur qui prend deux arguments : la longueur et la largeur du rectangle. La classe doit également avoir deux fonctions membres publiques : getArea() et getPerimeter(). La fonction getArea() doit renvoyer l’aire du rectangle, et la fonction getPerimeter() doit renvoyer le périmètre du rectangle.

Écrivez un programme qui crée un objet de la classe Rectangle, puis appelle les fonctions getArea() et getPerimeter(). Affichez les résultats à l’écran.

5. Barème de notation

4.1 Introduction

Objectifs

• Maîtriser la représentation des emplacements en 2D et en 3D
• Comprendre le rôle des systèmes de coordonnées
• Apprendre les mathématiques des transformations entre les systèmes de coordonnées

Objectifs

• Développer les mathématiques pour la représentation des emplacements en deux et trois dimensions.
• Présenter les concepts de systèmes de coordonnées et de repères.
• Dériver les transformations pour passer d’un système de coordonnées à l’autre.
• Présenter les coordonnées homogènes comme concept unificateur.

Contenu

• 4.1 Introduction
• 4.2 Systèmes de coordonnées
• 4.3 Changement de systèmes de coordonnées
• 4.4 Coordonnées homogènes
• 4.5 Transformations affines
• 4.6 Rotation, translation et mise à l’échelle
• 4.7 Perspective
• 4.8 Projections
• 4.9 Affichage
• 4.10 Transformations OpenGL
• 4.11 Résumé
• 4.12 Lectures complémentaires
• 4.13 Exercices

4.2 Systèmes de coordonnées

Système de coordonnées

• Nécessaire pour affecter un emplacement à des objets
• Un système de coordonnées se compose de :
• Un point, l’origine
• Un ensemble de vecteurs (de base)

Exemple

• Système cartésien 2D
• Origine o
• Vecteurs de base $\mathbf{v}_1$, $\mathbf{v}_2$

Repère de coordonnées

• Un repère de coordonnées est un système de coordonnées plus un objet de référence

Exemple

• Repère de la caméra
• Origine au niveau de l’objectif de la caméra
• Vecteurs de base alignés sur les côtés de la caméra
• L’objet de référence est la caméra elle-même

Utilisation des systèmes de coordonnées

• Spécifiez l’emplacement du point p par des coefficients : $p = p_1\mathbf{v}_1 + p_2\mathbf{v}_2 + \mathbf{o}$
• Sous forme matricielle : $p =\begin{bmatrix}\mathbf{v}_1 & \mathbf{v}_2 & \mathbf{o} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} p_1 \ p_2 \ 1 \end{bmatrix}$
• Il s’agit d’une transformation de coordonnées

4.3 Changement de systèmes de coordonnées

Le problème

• Étant donné un point p dans un système de coordonnées, trouver sa représentation dans un autre système de coordonnées

L’approche

• Exprimer l’origine et les vecteurs de base d’un système de coordonnées en termes de l’autre

Exemple

• Deux systèmes de coordonnées 2D : $(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{o})$ et $(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{p})$

• Exprimer $(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{p})$ en termes de $(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{o})$ :

  $\mathbf{w}1 = c{11}\mathbf{v}1 + c{21}\mathbf{v}_2$

  $\mathbf{w}2 = c{12}\mathbf{v}1 + c{22}\mathbf{v}_2$

  $\mathbf{p} = p_1\mathbf{v}_1 + p_2\mathbf{v}_2 + \mathbf{o}$

• Alors, étant donné q en termes de $(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{p})$ : $\mathbf{q} = q_1\mathbf{w}_1 + q_2\mathbf{w}_2 + \mathbf{p}$

La solution

• Remplacez les expressions de $(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, \mathbf{p})$ :

  $\mathbf{q} = q_1(c_{11}\mathbf{v}1 + c{21}\mathbf{v}2) + q_2(c{12}\mathbf{v}1 + c{22}\mathbf{v}_2) + (p_1\mathbf{v}_1 + p_2\mathbf{v}_2 + \mathbf{o})$

• Rassemblez les termes :

  $\mathbf{q} = (c_{11}q_1 + c_{12}q_2 + p_1)\mathbf{v}1 + (c{21}q_1 + c_{22}q_2 + p_2)\mathbf{v}_2 + \mathbf{o}$

• Sous forme matricielle : $\begin{bmatrix} q_1' \ q_2' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & p_1 \ c_{21} & c_{22} & p_2 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_1 \ q_2 \ 1 \end{bmatrix}$

Généralisation

• La matrice $\mathbf{M} =\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & p_1 \ c_{21} & c_{22} & p_2 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ transforme les coordonnées du système de coordonnées w en le système de coordonnées v
• Elle est composée de :
• Une rotation (ou un changement de base) $\mathbf{R} =\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} \ c_{21} & c_{22} \end{bmatrix}$
• Une translation $\mathbf{t} =\begin{bmatrix} p_1 \ p_2 \end{bmatrix}$

Systèmes de coordonnées 3D

• Même idée qu’en 2D
• Utilisez 3 vecteurs de base et une origine
• La matrice de transformation est 4x4 : $\mathbf{M} =\begin{bmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} & p_1 \ c_{21} & c_{22} & c_{23} & p_2 \ c_{31} & c_{32} & c_{33} & p_3 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
• La sous-matrice supérieure gauche 3x3 est une rotation
• La colonne la plus à droite est une translation

Translation

• Déplacer un point par un décalage fixe

• En 2D : $x' = x + t_x$

  $y' = y + t_y$

• Sous forme matricielle : $\begin{bmatrix} x' \ y' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \ 0 & 1 & t_y \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ 1 \end{bmatrix}$

• En 3D : $\begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & t_x \ 0 & 1 & 0 & t_y \ 0 & 0 & 1 & t_z \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix}$

Mise à l’échelle

• Multipliez chaque coordonnée par un facteur d’échelle

• En 2D : $x' = s_x x$

  $y' = s_y y$

• Sous forme matricielle : $\begin{bmatrix} x' \ y' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ 1 \end{bmatrix}$

• En 3D : $\begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} s_x & 0 & 0 & 0 \ 0 & s_y & 0 & 0 \ 0 & 0 & s_z & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix}$

Rotation

• Faire pivoter un point autour de l’origine

• En 2D :

  $x' = x \cos \theta - y \sin \theta$

  $y' = x \sin \theta + y \cos \theta$

• Sous forme matricielle : $\begin{bmatrix} x' \ y' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ 1 \end{bmatrix}$

• En 3D, rotation autour de l’axe z : $\begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix}$

Rotation en 3D

• Rotation autour de l’axe x : $\begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \ 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 \ 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix}$
• Rotation autour de l’axe y : $\begin{bmatrix} x' \ y' \ z' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \ 0 & 1 & 0 & 0 \ -\sin \theta & 0 & \cos \theta & 0 \ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \ y \ z \ 1 \end{bmatrix}$

4.4 Coordonnées homogènes

Pourquoi utiliser des coordonnées homogènes ?

• Pour que nous puissions traiter la translation comme n’importe quelle autre transformation
• Toutes les transformations sont alors des multiplications matricielles
• Simplifie les calculs
• Requis pour la projection en perspective

Coordonnées homogènes

• Ajoutez une coordonnée supplémentaire à un point
• En 2D, un point $(x, y)$ devient $(x, y, 1)$
• En 3D, un point $(x, y, z)$ devient $(x, y, z, 1)$
• La coordonnée supplémentaire est appelée $w$
• $(x, y, w)$ représente le même point que $(x/w, y/w)$
• $(x, y, z, w)$ représente le même point que $(x/w, y/w, z/w)$
• Si $w = 0$, le point se trouve à l’infini

4.5 Transformations affines

Transformation affine

• Toute transformation qui conserve les lignes
• Comprend la rotation, la translation, la mise à l’échelle, le cisaillement
• Peut être représentée par une multiplication matricielle
• En 2D : $\begin{bmatrix} x' \ y' \ 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{