Exercices d'algèbre linéaire

Exercices d'algèbre linéaire

Exercice 1

• Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$, avec $u$ et $v$ deux endomorphismes de $E$ tels que $u \circ v = v \circ u$.
• $\text{Ker}(v)$ et $\text{Im}(v)$ sont stables par $u$.
• Si $E$ est de dimension finie et $\text{Ker}(u) \cap \text{Ker}(v) = {0}$, alors $E = \text{Im}(u) + \text{Im}(v)$.

Exercice 2

• $f \in \mathcal{L}(\mathbb{R}^3)$ a pour matrice dans la base canonique: $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \ -1 & 3 & -1 \ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
• Il faut déterminer les éléments propres de $A$.
• Il faut déterminer les sous-espaces propres de $A$.
• Il faut déterminer si la matrice $A$ est diagonalisable et trouver une base de vecteurs propres et la matrice de passage de la base canonique à cette base si c’est le cas.

Exercice 3

• $E = \mathbb{R}_2[X]$ est l’espace vectoriel des polynômes réels de degré inférieur ou égal à 2.
• L’application linéaire $f : E \rightarrow E$ est définie par: $f(P) = (X^2 - 1)P'' + XP' - P$, où $P'$ et $P''$ sont les dérivées première et seconde de $P$.
• Il faut écrire la matrice de $f$ dans la base canonique $(1, X, X^2)$ de $E$.
• Il faut déterminer les éléments propres de $f$.
• Il faut déterminer les sous-espaces propres de $f$.
• Il faut déterminer si la matrice de $f$ est diagonalisable.
• $\text{Ker}(f) = \text{Vect}(X^2 + 1)$.
• $\text{Im}(f) = \text{Vect}(1, X)$.

Exercice 4

• $A = \begin{pmatrix} 5 & -4 & 0 \ 2 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
• Il faut calculer le polynôme caractéristique $p_A(\lambda)$ de $A$.
• Il faut en déduire les valeurs propres de $A$.
• Il faut déterminer si la matrice $A$ est diagonalisable.
• Il faut calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Exercice 5

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
• Il faut calculer le polynôme caractéristique $p_A(\lambda)$ de $A$.
• Il faut en déduire les valeurs propres de $A$.
• Il faut déterminer si la matrice $A$ est diagonalisable.
• Il faut calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Exercice 6

• $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$
• Il faut calculer le polynôme caractéristique $p_A(\lambda)$ de $A$.
• Il faut en déduire les valeurs propres de $A$.
• Il faut déterminer si la matrice $A$ est diagonalisable, trouver, si oui, une matrice inversible $P$ et une matrice diagonale $D$ telles que $A = PDP^{-1}$.
• Il faut calculer $A^n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.

Trading Algorithmique

Finance Quantitative

Qu'est-ce que le Trading Algorithmique ?

• C'est l'exécution d'ordres utilisant des instructions de trading automatisées et préprogrammées.
• Les instructions prennent en compte des variables telles que : la synchronisation, le prix, le volume.
• Théoriquement, le système peut exécuter les ordres plus rapidement et à moindre coût que les traders humains.
• Le trading algorithmique est aussi connu sous le nom de : trading automatisé, trading en boîte noire, algo-trading, trading systématique.

Trading Haute Fréquence (THF)

• C'est un sous-ensemble du trading algorithmique.
• Ce sous-ensemble est caractérisé par : un taux de rotation élevé, un ratio ordre/transaction élevé.
• Le THF utilise une technologie et des algorithmes propriétaires.
• Les traders co-localisent souvent l'équipement avec les bourses pour minimiser la latence.

Trading Algorithmique - Avantages

• Réduit les coûts de transaction.
• Améliore l'exécution des ordres.
• Effectue des transactions aux meilleurs prix possibles.
• Réduit les erreurs humaines.
• Effectue des contrôles automatisés simultanés.
• Réduit le risque d'erreurs manuelles.
• Permet le backtesting.
• Peut être utilisé pour mettre en œuvre diverses stratégies de trading.

Trading Algorithmique - Inconvénients

• Les algorithmes doivent être constamment surveillés et mis à jour.
• Nécessite une technologie sophistiquée.
• Nécessite une expertise dans de multiples domaines : finance, mathématiques, informatique.
• Il existe des risques liés aux modèles.
• Peut rencontrer des problèmes techniques imprévus : problèmes de connectivité, coupures de courant, dysfonctionnements logiciels.
• Est soumis à un examen réglementaire.

Stratégies de Trading Algorithmique Populaires

• Suivi de tendance : Capitalise sur la continuation des tendances existantes, utilise des indicateurs techniques tels que les moyennes mobiles, le MACD.
• Retour à la moyenne : Identifie les écarts par rapport au prix moyen et effectue des transactions en supposant que les prix reviendront à la moyenne, utilise l'analyse statistique.
• Arbitrage : Exploite les différences de prix d'actifs identiques sur différents marchés, réalise simultanément des achats et des ventes.
• Rééquilibrage de fonds indiciels : Effectue des transactions pour aligner les pondérations du portefeuille avec l'indice, se produit à intervalles réguliers.
• Stratégies basées sur des modèles mathématiques : Utilise des modèles mathématiques complexes pour identifier des opportunités de trading, exige une expertise en analyse quantitative et en programmation.
• Algorithmes d'exécution : Conçus pour exécuter efficacement des ordres importants, minimise l'impact sur le marché, exemples : VWAP, TWAP.

Exemple - Retour à la Moyenne

Stratégie

• Calcul de la moyenne mobile du prix d'une action.
• Calcul de l'écart type du prix de l'action.
• Si le prix actuel est inférieur à (la moyenne mobile - l'écart type), alors acheter.
• Si le prix actuel est supérieur à (la moyenne mobile + l'écart type), alors vendre.

Code

• Un exemple de code Python est présenté pour illustrer la stratégie de retour à la moyenne.

Étapes pour Construire un Système de Trading Algorithmique

1. Développement de stratégie : Formuler une idée de trading et définir les règles d'entrée et de sortie.
2. Backtesting : Tester la stratégie sur des données historiques pour évaluer sa performance.
3. Développement de code : Traduire la stratégie en code en utilisant un langage de programmation tel que Python.
4. Paper Trading : Tester la stratégie dans un environnement simulé en utilisant des données en temps réel.
5. Live Trading : Déployer la stratégie dans un environnement de trading réel.
6. Surveillance : Surveiller en continu la performance de la stratégie et effectuer des ajustements si nécessaire.

Les Bases de la Chimie Organique Théorique

Qu'est-ce que la Chimie Organique ?

• C'est l'étude des composés contenant du carbone, à l'exception des oxydes de carbone tels que $CO, CO_2$, des sels tels que les carbonates, et des cyanures.

Pourquoi le Carbone ?

• Il est tétravalent : forme des liaisons covalentes fortes avec lui-même et avec d'autres éléments pour former une grande variété de structures stables.
• Il forme des liaisons covalentes fortes avec lui-même et avec d'autres éléments.
• C'est l'élément le plus électronégatif capable de former des liaisons $\pi$ fortes.

Qu'est-ce que la Chimie Organique Théorique ?

• C'est l'utilisation d'outils théoriques pour comprendre les structures, les propriétés et les réactions des molécules organiques.
• Théorie de la structure électronique : Résolution de l'équation de Schrödinger pour obtenir les fonctions d'onde moléculaires, les énergies et d'autres propriétés.
• Dynamique moléculaire : Simulation du mouvement des atomes et des molécules au fil du temps.

Pourquoi utiliser la Chimie Organique Théorique ?

• Fournit des informations sur la structure électronique des molécules.
• Explique les résultats expérimentaux.
• Prédit de nouveaux phénomènes.
• Conçoit de nouvelles molécules et réactions.

Surfaces d'Énergie Potentielle

Surface d'Énergie Potentielle (SEP)

• C'est une relation mathématique reliant l'énergie d'une molécule à sa structure (les 3N coordonnées de tous les noyaux).
• C'est une surface dans un espace à (3N+1) dimensions.
• N = nombre d'atomes
• 3N = degrés de liberté
• 1 = énergie

SEP d'une Molécule Diatomique

• La SEP pour une molécule diatomique est un tracé 2D.
• L'axe des x est la longueur de la liaison.
• L'axe des y est l'énergie potentielle.

SEP de Molécules Complexes

• Pour les molécules plus complexes, il est impossible de visualiser l'ensemble de la SEP.
• Au lieu de cela, il est possible d'explorer des régions spécifiques de la SEP qui correspondent aux réactifs, aux produits et aux états de transition.

Points Stationnaires sur une SEP

• Point Stationnaire : Un point sur la SEP où la première dérivée de l'énergie par rapport à toutes les coordonnées nucléaires est nulle.
• $\frac{\delta E}{\delta x} = \frac{\delta E}{\delta y} = \frac{\delta E}{\delta z} = 0$
• Minimum : Un point stationnaire qui est un minimum local sur la SEP.
• Réactifs, Intermédiaires, Produits
• Toutes les dérivées secondes de l'énergie par rapport à toutes les coordonnées nucléaires sont positives.
• État de Transition : Un point stationnaire qui est un maximum le long d'une direction et un minimum le long de toutes les autres directions.
• La première dérivée de l'énergie par rapport à toutes les coordonnées nucléaires est nulle.
• L'une des dérivées secondes de l'énergie par rapport à toutes les coordonnées nucléaires est négative et toutes les autres sont positives.

Diagrammes de Coordonnées de Réaction

• C'est un tracé de l'énergie potentielle d'une réaction en fonction de la coordonnée de réaction.
• La coordonnée de réaction est une mesure de la progression de la réaction.

Méthodes de Calcul

Méthodes de Structure Électronique

• Méthodes Ab Initio : Utilisent l'équation de Schrödinger pour calculer la structure électronique des molécules à partir des premiers principes.
• Hartree-Fock (HF) : Approche la fonction d'onde multi-électronique comme un seul déterminant de fonctions d'onde mono-électroniques.
• Théorie des Perturbations de Møller-Plesset (MPn) : Ajoute la corrélation électronique à la méthode HF en utilisant la théorie des perturbations.
• Interaction de Configuration (CI) : Développe la fonction d'onde multi-électronique comme une combinaison linéaire de déterminants de Slater.
• Coupled Cluster (CC) : Inclut la corrélation électronique en exponentiant un opérateur de cluster.
• Théorie de la Fonctionnelle de la Densité (DFT) : Utilise la densité électronique pour calculer la structure électronique des molécules.
• Basée sur les théorèmes de Hohenberg-Kohn : La densité électronique de l'état fondamental détermine de manière unique toutes les propriétés de la molécule.
• Fonctionnelle d'échange-corrélation : Approche l'énergie due à l'échange et à la corrélation des électrons.

Ensembles de Base

• Un ensemble de fonctions mathématiques utilisé pour approcher les orbitales atomiques.
• Orbitales de type Slater (STOs) : Précises mais difficiles à calculer: $e^{-\alpha r}$
• Orbitales de type gaussien (GTOs) : Moins précises mais plus faciles à calculer : $e^{-\alpha r^2}$
• Ensembles de base courants :
• Ensembles de base minimaux : STO-3G
• Ensembles de base à valence divisée : 3-21G, 6-31G
• Ensembles de base de polarisation : 6-31G(d), 6-31G(d,p)
• Ensembles de base diffus : 6-31+G(d), 6-31++G(d,p)

Méthodes de Dynamique Moléculaire

• Utilisent la mécanique classique pour simuler le mouvement des atomes et des molécules au fil du temps.
• Résolvent les équations du mouvement de Newton pour chaque atome du système: $F=ma$
• Champs de force : Décrivent l'énergie potentielle du système en fonction des coordonnées atomiques.
• Interactions liées : Liaisons, angles, torsions
• Interactions non liées : van der Waals, électrostatiques

Logiciels

• Gaussian : Un package de structure électronique commercial largement utilisé.
• ORCA : Un package de structure électronique gratuit avec une large gamme de méthodes.
• NWChem : Un package de structure électronique gratuit développé par le Département de l'Énergie des États-Unis.
• NAMD : Un package de dynamique moléculaire populaire.
• Amber : Un autre package de dynamique moléculaire populaire.
• VASP : Un package de physique du solide commercial largement utilisé qui peut également être utilisé pour des calculs moléculaires.