Estructuras de Datos: Árboles

Lecture 23: Trees

• Trees are non-linear, hierarchical data structures.
• Trees consist of nodes connected by edges.
• Trees are used to represent relationships and hierarchical structures.

Key Components of a Tree

• Root: The topmost node.
• Node: An element containing data.
• Edge: A connection between nodes.
• Parent: The node directly above another.
• Child: A node directly below another.
• Leaf: A node with no children.
• Subtree: A tree formed by a node and its descendants.
• Path: A sequence of nodes and edges connecting a node to a descendant
• Depth: The number of edges from the root to the node
• Height: The number of edges from the root to the deepest leaf.

Types of Trees

• General Tree: Each node can have any number of children.
• Binary Tree: Each node has at most two children (left and right).
• Binary Search Tree (BST): Left subtree values are less than the node’s value, and right subtree values are greater.
• Balanced Tree: The height of subtrees differs by at most one (e.g., AVL trees, Red-Black trees).

Tree Traversal Methods

• Pre-order Traversal: Root, left subtree, right subtree.
• In-order Traversal: Left subtree, root, right subtree (visits BST nodes in sorted order).
• Post-order Traversal: Left subtree, right subtree, root.
• Breadth-First Traversal (Level Order): Visits all nodes at the same level before moving to the next level.

Python Implementation of a Tree Node

• Each node contains data and pointers to its children.

class Node:
    def __init__(self, data):
        self.data = data
        self.left = None
        self.right = None

## Example usage:
root = Node(1)
root.left = Node(2)
root.right = Node(3)
root.left.left = Node(4)

Applications of Trees

• File systems use hierarchical directory structures.
• Organizational charts represent the structure of an organization.
• Decision trees are used in machine learning for classification and regression.
• Databases use indexing for data retrieval.
• Network routing uses network topologies.
• Expression parsing represents arithmetic expressions.

Binary Search Tree (BST) Operations

• Insertion: Adding a new node while maintaining the BST property.
• Deletion: Removing a node while maintaining the BST property.
• Search: Finding a node with a specific value.
• Minimum/Maximum: Finding the smallest or largest value.
• Successor/Predecessor: Finding the next/previous node in sorted order.

Advantages of Trees

• Efficient for hierarchical data.
• BSTs allow fast search, insertion, and deletion.
• Trees can model real-world relationships.

Disadvantages of Trees

• Unbalanced trees can lead to worst-case time complexities.
• Overhead is required to maintain structure.

Decision Tree Example

• If it is raining, stay inside; otherwise, go outside.

Tree Traversal Example

• Tree with root 'A', left child 'B', and right child 'C'.
• Node 'B' has left child 'D' and right child 'E', while node 'C' has left child 'F'.
• Inorder: D -> B -> E -> A -> F -> C
• Preorder: A -> B -> D -> E -> C -> F
• Postorder: D -> E -> B -> F -> C -> A

Common Tree Problems

• Implement tree traversals.
• Implement BST operations.
• Implement tree balancing (AVL or Red-Black).
• Find the lowest common ancestor.
• Perform tree serialization/deserialization.

Key Interview Tips

• Understand tree traversal algorithms.
• Implement BST operations.
• Know balanced tree properties.
• Practice solving tree problems on LeetCode or HackerRank.

Conclusion

• Trees are a versatile data structure used extensively in computer science.

Lecture 10: Pruebas de hipótesis

• Pruebas de hipótesis es el evaluar si la evidencia en cuestión es lo suficientemente fuerte como para rechazar la conjetura propuesta.

Hipótesis estadística

• Es una afirmación o conjetura sobre la distribución de una o más variables aleatorias.

Estadístico de prueba

• Es una función de los datos de la muestra que se utiliza para decidir si se rechaza la hipótesis nula.

Región de rechazo

• Es el conjunto de valores del estadístico de prueba para el cual rechazamos la hipótesis nula. Se denota por C

Región de aceptación

• Es el conjunto de valores del estadístico de prueba para el cual no rechazamos la hipótesis nula. Es el complemento de la región de rechazo.

Valor P

• Es la probabilidad de observar un valor del estadístico de prueba que es tan extremo o más extremo que el valor observado, asumiendo que la hipótesis nula es verdad.

Error de tipo I

• Ocurre un error de tipo I cuando rechazamos la hipótesis nula cuando es verdad la probabilidad de un error de tipo I se denota por $\alpha$.
• $\alpha = P(\text{rechazar } H_0 | H_0 \text{ es verdadera})$
• $\alpha$ también se llama el nivel de significancia de la prueba.

Error de tipo II

• Ocurre un error de tipo II cuando no rechazamos la hipótesis nula cuando es falsa. La probabilidad de un error de tipo II se denota por β.
• $\beta = P(\text{no rechazar } H_0 | H_0 \text{ es falsa})$

Potencia

• La potencia de una prueba es la probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es falsa. Se denota por $1 - \beta$.
• $1 - \beta = P(\text{rechazar } H_0 | H_0 \text{ es falsa})$

Pruebas comunes

Prueba Z

• Se utiliza para probar la hipótesis nula cuando se conoce la varianza de la población o el tamaño de la muestra es grande $(n \geq 30)$ El estadistico de prueba es:
• $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$
• donde $\bar X$ es la media muestral, $\mu_0$ es el valor de la media poblacional bajo la hipótesis nula, $\sigma$ es la desviación estándar de la población y $n$ es el tamaño de la muestra.

Prueba T

• La prueba T se utiliza para probar la hipótesis nula cuando se desconoce la varianza de la población y el tamaño de la muestra es pequeño $(n <30)$ El estadistico de prueba es:
• $T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}}$
• donde $\bar X$ es la media muestral, $\mu_0$ es el valor de la media poblacional bajo la hipótesis nula, S es la desviación estándar de la muestra y $n$ es el tamaño de la muestra. El estadistico de prueba sigue una distribución t con $n-1$ grados de libertad.

Prueba de Chi-cuadrado

• La prueba de Chi-cuadrado se utiliza para probar la hipótesis nula cuando los datos son categóricos. El estadistico de prueba es:
• $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
• donde $O_i$ es la frecuencia observada y $E_i$ es la frecuencia esperada. El estadistico de prueba sigue una distribución de chi-cuadrado con $k-1$ grados de libertad, donde $k$ es el número de categorias.

Matrices

Definiciones y notación básicas.

• Una matriz es un arreglo rectangular de números, símbolos o expresiones organizados en filas y columnas. Su dimensión es $m \times n$, donde $m$ es el número de filas y $n$ el número de columnas.
• Un elemento individual se denota $a_{ij}$, donde $i$ representa la fila y $j$ la columna.
• Una matriz cuadrada tiene el mismo número de filas y columnas ($m=n$).
• Un vector es una matriz con una sola fila o una sola columna.

Operaciones de matriz

• Adición: Las matrices solo se pueden sumar si tienen la misma dimensión; los elementos correspondientes se suman juntos ($c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$).
• Multiplicación escalar: Cada elemento de la matriz se multiplica por el escalar.
• Multiplicación de matriz: Para una matriz $A$ de $m \times n$ y una matriz $B$ de $n \times p$, el producto $AB$ es una matriz de $m \times p$. El elemento $c_{ij}$ se calcula como $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$.
• La transposición ($A^T$) intercambia las filas y columnas de una matriz; si A es $m \times n$, entonces $A^T$ es $n \times m$ y $(a^T){ij} = a{ji}$.

Tipos especiales de matrices

• Una matriz cero contiene ceros en todas partes.
• La matriz identidad ($I$) es una matriz cuadrada con 1 en la diagonal y 0 en otros lugares; $AI = A$ y $IA = A$.
• Una matriz diagonal tiene valores fuera de la diagonal que son todos cero.
• Una matriz inversa ($A^{-1}$) satisface $AA^{-1} = A^{-1}A = I$, pero no todas las matrices tienen inversas.
• **

Notas de química enfocadas en ácidos y bases.

Propiedades de los ácidos

• Su pH es inferior a 7. Tienen un sabor agrio, al reaccionar con metales producen gas de hidrógeno.
• Al reaccionar con bases, producen sal y agua y son electrolíticos, lo que permite la conducción de electricidad en solución.
• El papel tornasol azul se torna rojo al entrar en contacto con un ácido.

Propiedades de las bases

• Su pH es superior a 7; el sabor es amargo, tienen una sensación resbaladiza.
• Al reaccionar con los ácidos, producen sal y agua, y son electrolíticos.
• El papel tornasol rojo se torna azul al entrar en contacto con una base.

Teorías ácido-base

Teoría de Arrhenius.

• El ácido produce iones hidrógeno $(H^+)$ en el agua.
• Las bases producen iones de hidróxido $(OH^-)$ en agua.
• Limitaciones: solo se aplica a las soluciones acuosas.
• No explica la basicidad de sustancias como el $NH_3$

Teoría de Bronsted-Lowry

• Los ácidos son donantes de protones $(H^+)$ y las bases aceptores de protones.

• Un ácido de Bronsted-Lowry debe tener un $(H^+)$ removible.

• Una base de Bronsted-Lowry debe tener un par de electrones libres para unir $(H^+)$

• Un ácido y una base de Bronsted-Lowry reaccionan para formar una base conjugada y un ácido conjugado.

  $Acid + Base \rightleftharpoons Conjugate Acid + Conjugate Base$

  $HCl_{(aq)} + H_2O_{(l)} \rightleftharpoons H_3O^+{(aq)} + Cl^-{(aq)}$

• Las sustancias amfóteras pueden actuar como un ácido o una base (por ejemplo, $H_2O$).

Teoría de Lewis

• Los ácidos son aceptores de pares de electrones (electrófilos).

• Las bases son donantes de pares de electrones (nucleófilos).

• Esta teoría es más general e incluye reacciones que no involucran la transferencia de $H^+$.

• Ejemplos:

  $BF_3 + NH_3 \rightarrow F_3B-NH_3$

Fortaleza ácido-base

• Los ácidos fuertes se disocian completamente en agua, mientras que los ácidos débiles solo se disocian parcialmente.
• Las bases fuertes se disocian completamente en agua, mientras que las bases débiles solo se disocian parcialmente.
• La fortaleza es la capacidad del ácido para donar protones, y la fortaleza de una base es su capacidad para aceptar protones.

Escala de pH

• La escala de pH mide la acides o basicidad de una solución.

$$pH = -log[H^+]$$

$$[H^+] = 10^{-pH}$$

• En el agua pura a $25^\circ C$:

$$[H^+]=[OH^-]=1.0 \times 10^{-7} M$$

$$K_w = [H^+][OH^-] = 1.0 \times 10^{-14}$$

$$pH + pOH = 14$$

$$pOH = -log[OH^-]$$

• El pH de una solución acídica es inferior a 7, la básica es superior y la neutral es igual.

Reacciones de neutralización

• Los ácidos y las bases reaccionan para formar sal y agua.

$$Acid + Base \rightarrow Salt + Water$$

• La reacción entre un ácido fuerte y una base fuerte resulta en una solución neutral $(\text{pH}=7)$.

Titulación

• Es una técnica que permite determinar la concentración de un ácido o base.
• Se agrega una solución de concentración conocida (el valorante) a una solución de concentración desconocida (el analito) hasta que la reacción se completa.
• El punto de equivalencia es el punto en el que el ácido y la base han reaccionado por completo.
• Se usa un indicador para señalar el punto final de la valoración.
• Cálculos:

$$M_1V_1 = M_2V_2$$

• Donde:
• $M_1$ = Molaridad del ácido.
• $V_1$= Volumen de ácido.
• $M_2$= Molaridad de la base.
• $V_2$= Volumen de la base.

Buffer o disoluciones amortiguadoras

• Resisten los cambios en el pH cuando se agregan pequeñas cantidades de ácido.
• Contiene un ácido débil y su base conjugada, o una base débil y su ácido conjugado.
• La capidad reguladora es la cantidad de ácido o base que puede neutralizar antes de que el pH cambie apreciablemente.
• Ejemplos:
• Ácido acético $(CH_3COOH)$ y acetato de sodio $(CH_3COONa)$
• Amoníaco $(NH_3)$ y cloruro de amonio $(NH_4Cl)$

Ecuaciones importantes

• Cálculos de pH:
• $pH = -log[H^+]$
• $pOH = -log[OH^-]$
• $pH + pOH = 14$
• Constante de equilibrio para el agua:
• $K_w = [H^+][OH^-] = 1.0 \times 10^{-14}$
• Titulación ácido-base:
• $M_1V_1 = M_2V_2$

Guía para detectar y hacer referencia al contenido generado por IA

• La IA generativa está transformando creación de contenidos, planteando retos en transparencia y honestidad académica.
• La presente guía ofrece pautas para detectar y referenciar contenido generado por IA.

Detección de contenido generado por IA

Herramientas Detección de IA

• Plataformas analizan textos para identificar patrones típicos de la IA.
• Limites: Ninguna herramienta es infalible, pueden generar falsos positivos o negativos.
• Complemento: Usar estas herramientas como apoyo, no como única fuente de verificación.

Análisis crítico del contenido

• Estilo y tono de la IA tinde a lenguaje uniforme. Detectar variaciones inusuales o falta de voz propia.
• Precisión factual: La IA puede inventar información o citar fietes inexistentes, es necesario verificar.
• Coberencia y lógica: Buscar argumentos ilógicos o saltos abruptos en el razonamiento.
• Originalidad y creatividad: Evaluar la presencia de ideas originales.

Referencia de contenido generado por IA

Normativa APA (Séptima Edición)

• Autoría: Indicar la herramienta de IA utilizada.
• Título: Describir brevemente la instrucción dada a la IA.
• Fuente: Especificar plataforma y versión, junto fecha de generación.

Ejemplo de referencia

• ChatpGPT (OpenAI). (2023). Respuesta a la pregunta sobre el impacto de la IA en la educación (Versión del 14 de marzo de 2023). Obtenido de https://chat.openai.com

Citas

• Incluir citas parentéticas o narrativas para hacer referencia al contenido generado por la IA.
• Ejemplo parentético: (ChatGPT [OpenAI], 2023)
• Ejemplo narrativo: ChatGPT (OpenAI, 2023)

Consideraciones adicionales

• Siempre declarar el uso de IA en la creación de contenidos, asi como asumir la responsabilidad.
• Utilizar la IA como herramienta de apoyo, no como sustituto.

Función logarítmica neperiana

• La función logarítmica neperiana, se denota $ln$ y se define en $]0; +\infty[$.
• Es la primitiva de la función $x \mapsto \frac{1}{x}$ que se anula en $1$.

Propriedades

• $ln(1) = 0$
• $ln(e) = 1$
• Para todos los reales $a$ y $b$ estrictamente positivo, $ln(ab) = ln(a) + ln(b)$
• Para todo real $a$ estrictamente positivo y todo entero relativo $n$, $ln(a^n) = n \times ln(a)$
• Para todos los reales $a$ y $b$ estrictamente positivos, $ln(\frac{a}{b}) = ln(a) - ln(b)$
• Para todo real $a$ estrictamente positivo, $ln(\frac{1}{a}) = -ln(a)$

Derivada

• La función $ln$ es derivable en $]0; +\infty[$ y su derivada es la función $x \mapsto \frac{1}{x}$.

Limites

• $\lim_{x \to +\infty} ln(x) = +\infty$
• $\lim_{x \to 0} ln(x) = -\infty$

Variaciones

• La función $ln$ es estrictamente creciente sobre $]0; +\infty[$.

Función $ln(u)$

• Si $u$ es una función derivable y estrictamente positiva sobre un intervalo $I$, entonces la función $ln(u)$ es derivable sobre $I$ y su derivada es $\frac{u'}{u}$.