Estequiometria: Mol, Massa Molar e Cálculos

Química

Estequiometria

Tópicos

• Estudo do conceito de mol, massa molar, cálculos estequiométricos, reagente limitante e em excesso, rendimento e pureza.

Mol

Definição

• Unidade de medida da quantidade de matéria no SI.
• 1 mol equivale a $6,02 \times 10^{23}$ entidades, como átomos, moléculas, íons, elétrons, etc.
• $6,02 \times 10^{23}$ é a constante de Avogadro $(N_A)$.

Exemplo

• 1 mol de átomos de sódio (Na) corresponde a $6,02 \times 10^{23}$ átomos de Na.
• 1 mol de moléculas de água $(H_2O)$ corresponde a $6,02 \times 10^{23}$ moléculas de $H_2O$.

Massa Molar (M)

Definição

• A massa molar é a massa em gramas de 1 mol de entidades.
• Para átomos, a massa molar em gramas é numericamente igual à massa atômica. Exemplo: $M(Na) = 23 g/mol$
• Para moléculas, a massa molar é a soma das massas atômicas de todos os átomos da molécula. Exemplo: $M(H_2O) = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 16 = 18 g/mol$

Relações

• Cálculo do número de mols: $n = \frac{m}{M}$, onde $m$ é a massa em gramas e $M$ é a massa molar em g/mol.
• Cálculo do número de entidades: $n = \frac{N}{N_A}$, onde $N$ é o número de entidades e $N_A$ é a constante de Avogadro ($6,02 \times 10^{23}$).
• Reorganização das fórmulas: $m = n \cdot M$ e $N = n \cdot N_A$.

Exemplo

• Cálculo da massa de 0,5 mol de moléculas de $H_2O$: $M(H_2O) = 18 g/mol$, $n = 0,5 mol$, então $m = n \cdot M = 0,5 \cdot 18 = 9g$.

Cálculos Estequiométricos

Balanceamento

• Primeiro passo é descobrir a fórmula química correta de cada substância.
• Segundo passo é balancear a equação, acertando os coeficientes estequiométricos.

Proporção Estequiométrica

• Na equação balanceada, os coeficientes indicam a proporção entre os participantes da reação.
• Exemplo de equação balanceada: $aA + bB \rightarrow cC + dD$, onde a, b, c e d são os coeficientes estequiométricos.
• Demonstração da proporção: $\frac{n_A}{a} = \frac{n_B}{b} = \frac{n_C}{c} = \frac{n_D}{d}$.
• A proporção permite calcular a quantidade de reagentes e produtos envolvidos em uma reação.

Exemplo

• Reação: $N_2(g) + 3H_2(g) \rightarrow 2NH_3(g)$
• Cálculo da quantidade de $H_2$ necessária para reagir com 2 mols de $N_2$: $\frac{n_{N_2}}{1} = \frac{n_{H_2}}{3} \rightarrow \frac{2}{1} = \frac{n_{H_2}}{3} \rightarrow n_{H_2} = 6 \ mols$

Reagente Limitante (RL)

Definição

• O reagente limitante é totalmente consumido na reação, determinando a quantidade de produto formado.

Reagente em Excesso (RE)

Definição

• O reagente em excesso é aquele que sobra ao final da reação.

Como descobrir o RL

• Calcular o número de mols de cada reagente.
• Dividir o número de mols de cada reagente pelo seu coeficiente estequiométrico.
• O reagente com o menor resultado é o reagente limitante.

Exemplo

• Reação: $N_2(g) + 3H_2(g) \rightarrow 2NH_3(g)$
• Identificação do reagente limitante ao misturar 2 mols de $N_2$ e 4 mols de $H_2$: $\frac{n_{N_2}}{1} = \frac{2}{1} = 2$ e $\frac{n_{H_2}}{3} = \frac{4}{3} = 1,33$, portanto, o $H_2$ é o reagente limitante.

Rendimento ( $\eta$)

Definição

• O rendimento é a razão entre a quantidade de produto obtida experimentalmente e a quantidade teórica, calculada estequiometricamente.
• Fórmula do rendimento: $\eta = \frac{quantidade \ obtida}{quantidade \ teórica}$
• Expressão do rendimento em porcentagem: $\eta (%) = \frac{quantidade \ obtida}{quantidade \ teórica} \times 100 %$

Exemplo

• Cálculo do rendimento se a quantidade teórica de um produto é 10g, mas apenas 8g são obtidos: $\eta (%) = \frac{8}{10} \times 100 % = 80 %$

Pureza (P)

Definição

• A pureza é a porcentagem em massa do composto de interesse em uma amostra impura.
• Fórmula da pureza: $P (%) = \frac{massa \ do \ composto \ puro}{massa \ total \ da \ amostra} \times 100 %$

Exemplo

• Cálculo da pureza de uma amostra de 50g de calcário contendo 40g de carbonato de cálcio $(CaCO_3)$: $P (%) = \frac{40}{50} \times 100 % = 80 %$

Capítulo 4: Bandas de energia e portadores de carga em semicondutores

4.1 Bandas de energia

Formação de bandas de energia

• Átomos isolados: Apresentam níveis de energia discretos ao redor do núcleo.
• Cristais:
  • Apresentam pequeno espaçamento interatômico.
  • Funções de onda dos elétrons se sobrepõem.
  • O estado de movimento dos elétrons é afetado pelo potencial do campo cristalino, resultando em níveis de energia que se dividem em estados degenerados.
  • Cada nível de energia se divide em N estados formando uma banda de energia.

Estrutura de bandas de energia permitida para elétrons em semicondutores:

• Banda de condução: A banda de energia mais alta que não está totalmente preenchida por elétrons.
• Banda de valência: Banda de energia que está completamente preenchida por elétrons.
• Band gap: É o intervalo de energia entre a banda de condução e a banda de valência.

Diagramas de bandas de energia

• Diagrama de bandas de energia: É a representação gráfica da relação entre a energia e o momento (k) dos elétrons.
  • Eixo horizontal: k(momento).
  • Eixo vertical: E (energia).

Metais, semicondutores e isolantes

• Metais: A banda de condução está parcialmente preenchida ou se sobrepõe à banda de valência.
• Semicondutores: A banda de Valência está cheia, a banda de condução está vazia, entretanto a largura da banda proibida é pequena.
• Isolantes: A banda de valência está cheia, a banda de condução está vazia, e largura da banda proibida é grande.

4.2 Semicondutores intrínsecos

Concentrações de elétrons e lacunas

• Semicondutor intrínseco: Material semicondutor altamente puro sem impurezas intencionais adicionadas.
• Elétrons e lacunas são gerados através de excitação térmica.
• Concentração de elétrons(n): Número de elétrons na banda de condução.
• Concentração de lacunas (p): Número de lacunas na banda de valência.
• Concentração intrínseca de portadores ($n_i$): Em um semicondutor intrínseco, a concentração de elétrons e lacunas são iguais $n = p = n_i$.
• Lei da Ação das Massas: Em equilíbrio térmico, $n p = n_i^2$.

Dependência da concentração de portadores da temperatura

• Em semicondutores intrínsecos, a concentração de portadores aumenta rapidamente com o aumento da temperatura.
• $n_i = \sqrt{N_c N_v} \exp(-\frac{E_g}{2kT})$
  • $N_c$: Densidade efetiva de estados da banda de condução.
  • $N_v$: Densidade efetiva de estados da banda de valência.
  • $E_g$: Largura da banda proibida.
  • k: Constante de Boltzmann.
  • T: Temperatura.

Diagrama de banda de energia

• O nível de Fermi intrínseco ($E_i$) está localizado perto do meio da banda proibida.
• $E_i = \frac{E_c + E_v}{2} + \frac{3}{4}kT\ln(\frac{m_p^}{m_n^})$
  • $E_c$: Energia da borda da banda de condução.
  • $E_v$: Energia da borda da banda de valência.
  • $m_n^*$: Massa efetiva do elétron.
  • $m_p^*$: Massa efetiva da lacuna.

4.3 Semicondutores extrínsecos

Semicondutores do tipo N

• Semicondutor Tipo N: Semicondutor formado pela dopagem de impurezas doadoras (ex. fósforo, arsênio).
• Impurezas doadoras: Fornecem elétrons à banda de condução.
• Portadores majoritários: Elétrons.
• Portadores minoritários: Lacunas.
• Concentração de elétrons é significantemente maior que a concentração de lacunas $n >> p$.
• O nível de Fermi está próximo da banda de condução.

Semicondutores do tipo P

• Semicondutor do Tipo P: Semicondutor formado pela dopagem de impurezas aceptoras (ex: boro, gálio).
• Impurezas aceptoras: Aceitam elétrons da banda de valência formando lacunas.
• Portadores majoritários: Lacunas.
• Portadores minoritários: Elétrons.
• A concentração de lacunas é significantemente maior que a concentração de elétrons $p >> n$.
• O nível de Fermi está próximo à banda de valência.

Neutralidade de carga

• Neutralidade de carga: Todo o material semicondutor deve manter a neutralidade de carga.
• $n + N_a = p + N_d$
  • n: Concentração de elétrons livres.
  • p: Concentração de lacunas.
  • $N_a$: Concentração de impurezas aceptoras.
  • $N_d$: Concentração de impurezas doadoras.

O nível de Fermi

• Nível de Fermi: Representa o nível de energia onde a probabilidade de um elétron ocupar um estado de energia é de 50%.
• Semicondutores do tipo N: O nível de Fermi está próximo à banda de condução.
• Semicondutores do tipo P: O nível de Fermi está próximo à banda de valência.
• A posição do nível de Fermi depende da concentração de dopagem e da temperatura.

Compensação e neutralidade da carga espacial

• Compensação: Dopagem simultânea de impurezas doadoras e aceptoras.
• Neutralidade de carga espacial: Na ausência de um campo elétrico externo, a distribuição de carga dentro do semicondutor é uniforme com uma carga total neutra.

4.4 Transporte de portadores

Deriva

• Deriva: Movimento direcional dos portadores de carga devido a um campo elétrico.
  • Velocidade de deriva($v_d$): Velocidade média que os portadores atingem sob um campo elétrico.
  • Mobilidade($\mu$): Razão entre a velocidade de deriva e a intensidade do campo elétrico,$v_d = \mu E$.
  • $\mu_n$: Mobilidade do elétron.
  • $\mu_p$: Mobilidade da lacuna.
• Condutividade ($\sigma$): Medida quão bem um material conduz eletricidade,$\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)$.
  • q: Carga do elétron.
• Resistividade ($\rho$): Recíproca da condutividade,$\rho = 1/\sigma$.

Difusão

• Difusão: Movimento de portadores de regiões de alta concentração para regiões de baixa concentração.
  • Densidade da corrente de difusão($J_{diff}$): Corrente elétrica causada pelo gradiente de concentração dos portadores.
    • Densidade da corrente de difusão do elétron: $J_{n,diff} = qD_n \frac{dn}{dx}$.
    • Densidade da corrente de difusão da lacuna: $J_{p,diff} = -qD_p \frac{dp}{dx}$.
    • $D_n$: Coeficiente de difusão do elétron.
    • $D_p$: Coeficiente de difusão da lacuna.
• Relações de Einstein: Fórmula relacionando mobilidade e coeficientes de difusão.
  • $\frac{D_n}{\mu_n} = \frac{D_p}{\mu_p} = \frac{kT}{q}$

Geração e recombinação

• Geração: Processo de criação de um par elétron-lacuna.
• Recombinação: Processo de aniquilação de elétrons e buracos.
• Recombinação Direta: Elétron transita diretamente da banda de condução para a banda de valência, liberando energia.
• Recombinação Indireta: Elétron transita através do nível de energia intermediário, para a banda de valência, liberando energia.
• Tempo de vida do portador ($\tau$): Tempo de vida médio dos portadores minoritários.

A equação da continuidade

• Equação da continuidade: Equação que descreve como a concentração de portadores varia no tempo e no espaço.
  • Equação de continuidade de elétrons: $\frac{\partial n}{\partial t} = D_n \frac{\partial^2 n}{\partial x^2} + \mu_n E \frac{\partial n}{\partial x} + G_n - \frac{n - n_0}{\tau_n}$.
  • Equação de continuidade de lacunas: $\frac{\partial p}{\partial t} = D_p \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} - \mu_p E \frac{\partial p}{\partial x} + G_p - \frac{p - p_0}{\tau_p}$.
    • $G_n$, $G_p$: Taxas de geração de elétrons e lacunas.
    • $n_0$, $p_0$: Concentrações de elétrons e lacunas em condições de equilíbrio.
    • $\tau_n$, $\tau_p$: Tempo de vida de elétrons e lacunas.

Experimento de Haynes-Shockley

• Experimento de Haynes-Shockley: Um método experimental para medir a mobilidade e o tempo de vida dos portadores minoritários em um semicondutor.

Teoria Algorítmica dos Jogos

O Que é Teoria dos Jogos?

• Estudo de modelos matemáticos de interações estratégicas entre agentes racionais.
• Aplicações em diversas áreas das ciências sociais, lógica, sistemas e ciência da computação.
• Inicialmente focada em jogos de soma zero, onde o ganho de um participante implica perda para o outro.
• Atualmente, abrange uma ampla gama de relações comportamentais e é um termo geral para a ciência da tomada de decisão lógica em humanos, animais e computadores.

As Previsões

Racionalidade

Jogadores agem para maximizar seus próprios ganhos.

Conhecimento Comum

As regras do jogo são de conhecimento comum.

Conceito de Solução

Uma previsão de como o jogo terminará.

Exemplo: Dilema do Prisioneiro

Cenário

• Dois suspeitos são presos por um crime e mantidos em celas separadas, sem comunicação.
• A acusação tem provas apenas para uma acusação menor.
• A polícia oferece a cada suspeito um acordo:
  • Se um confessar e o outro não, o confessor é libertado e o outro recebe 10 anos.
  • Se ambos confessarem, cada um recebe 5 anos.
  • Se nenhum confessar, cada um recebe 1 ano sob a acusação menor.

Matriz de Pagamentos

Estratégia Dominante

Confessar é a estratégia dominante para ambos os jogadores, rendendo o melhor resultado independente da escolha do outro jogador.

Equilíbrio de Nash

Ambos confessarem é o Equilíbrio de Nash, um estado estável onde nenhum jogador pode se beneficiar mudando unilateralmente sua estratégia.

Algoritmos de Ordenação

Complexidade de Algoritmos de Ordenação

Definição

• A complexidade de um algoritmo de ordenação mede o número de operações (comparações, atribuições, etc.) necessárias para ordenar uma lista de $n$ elementos.
• É possível distinguir a complexidade no melhor caso, no pior caso e em média.

Notações

• $O(f(n))$: Limite superior assintótico (Big O)
• $\Omega(f(n))$: Limite inferior assintótico (Big Omega)
• $\Theta(f(n))$: Ordem de grandeza (Big Theta)

Complexidades Típicas

• $O(n^2)$: Quadrática (ex: Bubble Sort, Insertion Sort, Selection Sort)
• $O(n \log n)$: Quase-linear (ex: Merge Sort, Quick Sort)
• $O(n)$: Linear (ex: Counting Sort, Radix Sort)

Algoritmos de Ordenação Clássicos

Bubble Sort (Triagem de Bolhas)

Princípio

Comparar elementos adjacentes e trocá-los se necessário. Repetir a operação até que não haja mais trocas.

Complexidade

• Pior caso: $O(n^2)$
• Melhor caso: $O(n)$
• Média: $O(n^2)$

Insertion Sort (Ordenação por Inserção)

Princípio

Percorrrer a lista e inserir cada elemento no lugar correto na parte já ordenada.

Complexidade

• Pior caso: $O(n^2)$
• Melhor caso: $O(n)$
• Média: $O(n^2)$

Selection Sort (Ordenação por Seleção)

Princípio

Encontrar o menor elemento e trocá-lo com o primeiro elemento. Recomeçar com o resto da lista.

Complexidade

• Pior caso: $O(n^2)$
• Melhor caso: $O(n^2)$
• Média: $O(n^2)$

Merge Sort (Ordenação por Intercalação/Fusão)

Princípio

Dividir a lista em duas, ordenar cada metade recursivamente e, em seguida, mesclar as duas metades ordenadas.

Complexidade

• Pior caso: $O(n \log n)$
• Melhor caso: $O(n \log n)$
• Média: $O(n \log n)$

Quick Sort (Ordenação Rápida)

Princípio

Escolher um pivô, particionar a lista em duas partes (elementos menores e maiores que o pivô) e, em seguida, ordenar cada parte recursivamente.

Complexidade

• Pior caso: $O(n^2)$
• Melhor caso: $O(n \log n)$
• Média: $O(n \log n)$

Counting Sort (Ordenação por Contagem)

Princípio

Contar o número de ocorrências de cada elemento e, em seguida, reconstruir a lista ordenada. É preciso conhecer o intervalo dos valores.

Complexidade

• $O(n + k)$, onde $k$ é o intervalo dos valores.

Radix Sort (Ordenação Radix)

Princípio

Ordenar os elementos dígito por dígito, começando pelo dígito menos significativo.

Complexidade

• $O(nk)$, onde $k$ é o número máximo de dígitos.

Comparação

Escolhendo um Algoritmo

• Listas pequenas: Insertion Sort (simples e eficiente)
• Listas de tamanho médio a grande: Merge Sort ou Quick Sort (melhor complexidade em média)
• Constrição de espaço: Insertion Sort ou Selection Sort (complexidade espacial de $O(1)$)
• Dados com propriedades específicas: Counting Sort ou Radix Sort (se aplicável)
• Estabilidade: Merge Sort (preserva a ordem relativa de elementos iguais)