Estadística Descriptiva: Medidas de Tendencia Central

Estadística Descriptiva

• La estadística descriptiva implica recopilar, organizar, resumir y presentar datos para obtener información valiosa.
• Existen dos tipos principales de estadística descriptiva: cuantitativa y cualitativa.
  • La cuantitativa expresa los datos en forma numérica.
  • La cualitativa describe cualidades o características.

Medidas de tendencia central

• Las medidas de tendencia central representan el centro de un conjunto de datos.
• Las tres medidas de tendencia central principales son la media, la mediana y la moda.

Media

• La media es el promedio aritmético de un conjunto de datos.
• Se calcula usando la fórmula: $\qquad \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}$
• Donde $\bar{x}$ es la media, $x_i$ representa cada valor, y $n$ es el número total de valores.

Mediana

• La mediana es el valor central en un conjunto de datos ordenado.
• Para encontrarla, los datos deben ordenarse primero de menor a mayor.
• Si hay un número impar de datos, la mediana es el valor central.
• Si hay un número par de datos, la mediana es el promedio de los dos valores centrales.

Moda

• La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos.

Medidas de dispersión

• Las medidas de dispersión indican qué tan dispersos están los datos alrededor de la media.

Rango

• El rango es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo en un conjunto de datos.
• Se calcula como: $\qquad \text{Rango} = \text{Valor máximo} - \text{Valor mínimo}$

Varianza

• La varianza mide qué tan lejos están los datos de la media al cuadrado.
• Se calcula usando la fórmula: $\qquad \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n-1}$
• Donde $\sigma^2$ es la varianza, $x_i$ representa cada valor, $\bar{x}$ es la media, y $n$ es el número total de valores.

Desviación estándar

• La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.
• Mide la dispersión de los datos alrededor de la media.
• Se calcula como: $\qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}$
• Donde $\sigma$ es la desviación estándar y $\sigma^2$ es la varianza.

Álgebra Lineal

Vectores

Definición

• Un vector se define por dirección, sentido y magnitud (longitud).

Representación

• Un vector $\overrightarrow{AB}$ se representa con una flecha de A a B.

Componentes

• Un vector puede descomponerse en ejes de un marco de referencia.
• En 2D, $\overrightarrow{v}$ se define por $(v_x, v_y)$.

Operaciones

Suma de vectores

• La suma de dos vectores se halla sumando sus componentes correspondientes: $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (a_x + b_x, a_y + b_y)$

Multiplicación escalar

• La multiplicación de un vector por un escalar se halla multiplicando cada componente por el escalar: $k\overrightarrow{a} = (ka_x, ka_y)$

Producto escalar

• El producto escalar de dos vectores es un escalar definido por: $\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} = a_x b_x + a_y b_y = |\overrightarrow{a}| |\overrightarrow{b}| \cos(\theta)$
  • Donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores.

Producto vectorial

• El producto vectorial de dos vectores es un vector perpendicular a ambos vectores originales.
• En 3D, este producto se define como: $\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_y b_z - a_z b_y, a_z b_x - a_x b_z, a_x b_y - a_y b_x)$

Norma

• La norma de un vector representa su longitud y se calcula como: $|\overrightarrow{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$

Vector Unitario

• Un vector unitario tiene norma 1.
• Se obtiene dividiendo un vector por su norma: $\hat{a} = \frac{\overrightarrow{a}}{|\overrightarrow{a}|}$

Matrices

Definición

• Una matriz es un arreglo rectangular de números con $m$ filas y $n$ columnas, denotada como matriz de tamaño $m \times n$

Operaciones

Suma de matrices

• Para sumar matrices, se suman los elementos correspondientes: $A + B = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} \ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{bmatrix}$

Multiplicación escalar

• Para multiplicar una matriz por un escalar, se multiplica cada elemento por el escalar: $kA = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} \ ka_{21} & ka_{22} \end{bmatrix}$

Multiplicación matricial

• La multiplicación de dos matrices requiere que el número de columnas de la primera matriz sea igual al número de filas de la segunda.
• El elemento (i, j) del producto AB se calcula como: $(AB){ij} = \sum{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}$

Transposición

• La transposición de una matriz se realiza intercambiando filas y columnas: $(A^T){ij} = A{ji}$

Matriz Identidad

• Una matriz identidad es una matriz cuadrada con elementos diagonales iguales a 1 y todos los demás iguales a 0.
• Por ejemplo: $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Inversa

• La inversa de una matriz A, denotada como $A^{-1}$, satisface: $AA^{-1} = A^{-1}A = I$

Sistemas de ecuaciones lineales

Definición

• Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones lineales.

Resolución

Método de Sustitución

• Una variable se expresa en términos de las otras en una ecuación, y esta expresión se sustituye en las ecuaciones restantes.

Método de Eliminación de Gauss

• Se aplican operaciones de fila elementales para transformar el sistema en una forma escalonada, y luego se resuelve comenzando desde la última ecuación.

Método Matricial

• El sistema se escribe en forma matricial como Ax = b, donde A es la matriz de coeficientes, x es el vector de incógnitas y b es el vector de constantes.
• La solución se encuentra multiplicando ambos lados por la inversa de A: $x = A^{-1}b$

Trading Algorítmico y Ejecución de Órdenes

¿Qué es el Trading Algorítmico?

• Es el uso de programas informáticos para automatizar las estrategias de trading.
• Las instrucciones de trading preprogramadas consideran variables como:
• Precio
• Tiempo
• Volumen
• El trading de alta frecuencia (HFT) es un subconjunto del trading algorítmico.

Motivación

• Reduce los costes de transacción.
• Mejora la velocidad de ejecución.
• Obtiene mejores precios.
• Automatiza el trading.
• Reduce los errores.
• Mejora la eficiencia del mercado.
• Permite operar de forma anónima.

Tipos

• Reequilibrio de fondos indexados.
• VWAP (Precio Promedio Ponderado por Volumen).
• TWAP (Precio Promedio Ponderado por Tiempo).
• Porcentaje del volumen.
• Déficit de implementación.

Colocación de Órdenes

Orden de Mercado

• Compra o vende al mejor precio de mercado actual disponible.
• Prioridad: ejecución.
• Certeza: ninguna sobre el precio.

Orden Límite

• Compra o vende a un precio específico.
• Prioridad: precio.
• Certeza: ejecución.

Orden de Mercado vs. Orden Límite

Colocación de Órdenes (Cont.)

Otros tipos de órdenes

• Orden stop
  • Orden que se convierte en una orden de mercado una vez que se alcanza un precio stop especificado.
  • Se utiliza para limitar las pérdidas o proteger las ganancias.
  • Orden stop-buy: el precio stop está por encima del precio de mercado actual.
  • Orden stop-sell: el precio stop está por debajo del precio de mercado actual.
• Orden stop-límite
  • Orden que se convierte en una orden límite una vez que se alcanza un precio stop especificado.
• Orden de día
  • Orden que expira al final del día de trading si no se completa.
• Orden good-till-canceled (GTC)
  • Orden que permanece en vigor hasta que se completa o se cancela.
• Orden immediate-or-cancel (IOC)
  • Orden que debe ejecutarse inmediatamente o se cancela.
• Orden all-or-none (AON)
  • Orden que debe ejecutarse en su totalidad o se cancela.

Dark Pools

¿Qué son los dark pools?

• Lugares de negociación que no muestran públicamente la información de las órdenes.
• Las órdenes solo son visibles para los participantes en el dark pool.

¿Por qué utilizar dark pools?

• Los inversores institucionales pueden negociar grandes paquetes de acciones sin revelar al mercado sus intenciones.
• Reduce el impacto en el mercado y la volatilidad de los precios.
• Pueden ofrecer mejores precios que las bolsas públicas.

Posibles desventajas

• Falta de transparencia
• Posibilidad de manipulación
• Es posible que no siempre ofrezcan los mejores precios

Ejecución de Órdenes

Brókers

• Actúan como intermediarios entre compradores y vendedores.
• Ejecutan órdenes en nombre de sus clientes.
• Proporcionan acceso a las plataformas y mercados de trading.
• Ofrecen servicios de investigación y asesoramiento.

Dealers

• Actúan como principales en el trading.
• Operan por cuenta propia.
• Proporcionan liquidez al mercado.
• Se benefician del diferencial entre el precio de compra y el de venta.