History chap 5.2

Estadística Descriptiva

• Se encarga de resumir, organizar y analizar datos de una muestra o población.
• No realiza inferencias sobre una población mayor.

Conceptos Clave

• Población es el conjunto total de elementos a estudiar.
• Muestra es un subconjunto de la población que se analiza.
• Variable es la característica medida en cada elemento de la muestra.
• Dato es el valor que toma la variable en un elemento de la muestra.

Tipos de Variables

• Cualitativas expresan cualidades o atributos.
  • Nominales no tienen un orden inherente, como el color de ojos.
  • Ordinales tienen un orden inherente, como el nivel de estudios.
• Cuantitativas expresan cantidades numéricas.
  • Discretas toman valores enteros, como el número de hijos.
  • Continuas toman cualquier valor dentro de un rango, como la altura.

Medidas de Tendencia Central

• Indican el valor típico o central de un conjunto de datos.

Media Aritmética

• Es el promedio de los datos.
• Se calcula sumando todos los valores y dividiendo por el número total de datos.
• Fórmula: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$, donde $\bar{x}$ es la media, $x_i$ son los datos, y $n$ es el número de datos.

Mediana

• Es el valor que divide al conjunto de datos ordenados en dos partes iguales.
• Si el número de datos es impar, es el valor central.
• Si el número de datos es par, es el promedio de los dos valores centrales.

Moda

• Es el valor que más se repite en el conjunto de datos.
• Puede haber una o más modas.

Medidas de Dispersión

• Indican cuánto se alejan los datos del valor central.

Rango

• Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de datos.
• Fórmula: $R = x_{max} - x_{min}$.

Varianza

• Es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada dato y la media aritmética.
• Fórmula: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$, donde $s^2$ es la varianza, $x_i$ son los datos, $\bar{x}$ es la media, y $n$ es el número de datos.

Desviación Estándar

• Es la raíz cuadrada de la varianza.
• Indica la dispersión de los datos en las mismas unidades que la variable.
• Fórmula: $s = \sqrt{s^2}$.

Coeficiente de Variación

• Es la razón entre la desviación estándar y la media aritmética.
• Indica la dispersión relativa de los datos.
• Fórmula: $CV = \frac{s}{\bar{x}}$.

Representaciones Gráficas

• Permiten visualizar los datos de forma clara y concisa.

Diagrama de Barras

• Se utiliza para representar variables cualitativas o cuantitativas discretas.
• Cada barra representa la frecuencia de cada categoría o valor.

Histograma

• Se utiliza para representar variables cuantitativas continuas.
• Se divide el rango de los datos en intervalos, y se dibuja una barra por intervalo, con altura proporcional a la frecuencia.

Diagrama de Sectores

• Se utiliza para representar variables cualitativas.
• Cada sector representa la proporción de cada categoría en el total.

Diagrama de Dispersión

• Se utiliza para representar la relación entre dos variables cuantitativas.
• Cada punto representa un par de valores de las dos variables.

Análisis de Datos Agrupados

• Se utilizan fórmulas específicas para calcular medidas de tendencia central y dispersión cuando los datos están agrupados en intervalos.

Media Aritmética (datos agrupados)

• Fórmula: $\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i \cdot x_i}{n}$, donde $f_i$ es la frecuencia del intervalo, $x_i$ es el punto medio del intervalo, $n$ es el número total de datos, y $k$ es el número de intervalos.

Varianza (datos agrupados)

• Fórmula: $s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i \cdot (x_i - \bar{x})^2}{n-1}$.

Conclusión

• La estadística descriptiva es una herramienta fundamental para el análisis de datos.
• Permite resumir, organizar y visualizar los datos de forma clara, facilitando la toma de decisiones.

Algoritmos de Ordenamiento

Ordenamiento por Inserción

• Similar a ordenar cartas de juego.
• Complejidad temporal: $O(n^2)$.
• Implementación:

def tri_insertion(tab):
    n = len(tab)
    for i in range(1, n):
        valeur_insertion = tab[i]
        j = i
        while j > 0 and tab[j-1] > valeur_insertion:
            tab[j] = tab[j-1]
            j = j -1
        tab[j] = valeur_insertion
    return tab

Ordenamiento por Selección

• Se busca el elemento mínimo, se coloca al principio, y se repite con el resto del arreglo.
• Complejidad temporal: $O(n^2)$.
• Implementación:

def tri_selection(tab):
    n = len(tab)
    for i in range(n):
        min = i
        for j in range(i+1, n):
            if tab[j] < tab[min]:
                min = j
        tab[i], tab[min] = tab[min], tab[i]
    return tab

Ordenamiento de Burbuja

• Se comparan elementos adyacentes y se intercambian si es necesario, repitiendo hasta que no haya más intercambios.
• Complejidad temporal: $O(n^2)$.
• Implementación:

def tri_bulle(tab):
    n = len(tab)
    for i in range(n):
        for j in range(0, n-i-1):
            if tab[j] > tab[j+1] :
                tab[j], tab[j+1] = tab[j+1], tab[j]
    return tab

Comparación de Algoritmos de Ordenamiento

• Diferentes algoritmos tienen diferentes complejidades en distintos casos.

Variables Aleatorias

Definiciones

• Una variable aleatoria real es una función $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}$ donde $\Omega$ es el espacio muestral.
• La función de distribución de la variable aleatoria $X$ es la función $F_{X}: \mathbb{R} \rightarrow[0,1]$ definida por $F_{X}(x)=P(X \leq x)=P({\omega \in \Omega: X(\omega) \leq x})$.
• Propiedades de $F_X$:
  • Es creciente.
  • $\lim {x \rightarrow-\infty} F{X}(x)=0$ y $\lim {x \rightarrow+\infty} F{X}(x)=1$.
  • Es continua por la derecha: $\lim {y \rightarrow x^{+}} F{X}(y)=F_{X}(x)$.
  • $P(a

Prueba del Teorema 2

• Sea $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ diferenciable en $\mathbf{x}_0 \in \mathbb{R}^n$.
• $f(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}_0) + \nabla f(\mathbf{x}_0) \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{x}_0) + r(\mathbf{x} - \mathbf{x}0)$, donde $\lim{\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}_0} \frac{r(\mathbf{x} - \mathbf{x}_0)}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}_0|} = 0$.
• Si $\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + t\mathbf{u}$, donde $|\mathbf{u}| = 1$ y $t \in \mathbb{R}$, entonces $\mathbf{x} \rightarrow \mathbf{x}_0$ si y solo si $t \rightarrow 0$.
• Definir $g(t) = f(\mathbf{x}_0 + t\mathbf{u})$.
• Si $f$ es diferenciable en $\mathbf{x}_0$, entonces $g$ es diferenciable en $t = 0$, y $g'(0) = \nabla f(\mathbf{x}0) \cdot \mathbf{u} = D{\mathbf{u}} f(\mathbf{x}_0)$.
• La prueba implica mostrar que $\lim_{t \rightarrow 0} \frac{r(t\mathbf{u})}{t} = 0$.

Observación 1

• Si $f$ es diferenciable en $\mathbf{x}_0$, entonces todas las derivadas direccionales existen en $\mathbf{x}_0$.
• El converso no es necesariamente cierto.

Ejemplo 1

• $f(x, y) = \begin{cases} \frac{x^2 y}{x^4 + y^2} & \text{si } (x, y) \neq (0, 0) \ 0 & \text{si } (x, y) = (0, 0). \end{cases}$
• Todas las derivadas direccionales existen en $(0, 0)$, pero $f$ no es continua en $(0, 0)$, por lo tanto, no es diferenciable en $(0, 0)$.

Teorema 3

• Si $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es continuamente diferenciable en un conjunto abierto $E \subset \mathbb{R}^n$, entonces $f$ es diferenciable en $E$.

Ejemplo 2

• $f(x, y) = x^2 y^3$.
• $\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy^3$ y $\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^2 y^2$.
• Dado que las derivadas parciales son continuas en $\mathbb{R}^2$, $f$ es diferenciable en $\mathbb{R}^2$.
• $\nabla f(x, y) = \left( 2xy^3, 3x^2y^2 \right)$.