Estadística Descriptiva: Fundamentos

Estadística Descriptiva

• Es una rama de la estadística dedicada a recopilar, organizar, resumir y presentar datos de manera informativa.
• Su objetivo es describir las características principales de un conjunto de datos, evitando inferencias o generalizaciones a una población más amplia.

Elementos Clave

• Recopilación de Datos: Se obtienen datos mediante encuestas, experimentos u otras fuentes.
• Organización de Datos: Los datos recopilados se clasifican y ordenan.
• Resumen de Datos: Se calculan medidas estadísticas para resumir la información en los datos.
• Presentación de Datos: Los datos se muestran de forma clara y concisa mediante tablas, gráficos y diagramas.

Medidas de Tendencia Central

• Son valores que representan el centro de un conjunto de datos.
• Media Aritmética: Es el promedio de los valores; su fórmula es $\mu=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{N}$.
• Mediana: Es el valor que divide el conjunto de datos en dos partes iguales.
• Moda: Es el valor que aparece con mayor frecuencia.

Medidas de Dispersión

• Indican cuánto se alejan los datos del centro.
• Rango: Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo.
• Varianza: Es el promedio de los cuadrados de las diferencias entre cada valor y la media; su fórmula es $Var(X) = \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2}{N}$.
• Desviación Estándar: Es la raíz cuadrada de la varianza; su fórmula es $\sigma = \sqrt{Var(X)}$.

Tipos de Variables

• Cualitativas: Describen cualidades o características no numéricas.
  • Nominales: No tienen un orden inherente, como el color de ojos.
  • Ordinales: Tienen un orden inherente, como el nivel de satisfacción.
• Cuantitativas: Representan cantidades numéricas.
  • Discretas: Toman valores enteros, como el número de hijos.
  • Continuas: Toman cualquier valor dentro de un rango, como la altura.

Presentación de Datos

• Tablas de Frecuencia: Muestran la frecuencia con la que aparecen los diferentes valores de una variable.
• Gráficos de Barras: Comparan las frecuencias de diferentes categorías.
• Histogramas: Muestran la distribución de una variable continua.
• Diagramas de Sectores: Muestran la proporción de cada categoría en relación con el total.
• Diagramas de Dispersión: Muestran la relación entre dos variables.

Ejemplo

• Con las edades de 5 estudiantes (18, 20, 22, 19, 21).
  • Media: (18 + 20 + 22 + 19 + 21) / 5 = 20
  • Mediana: 20
  • Rango: 22 - 18 = 4
  • Varianza: $\frac{(18-20)^2 + (20-20)^2 + (22-20)^2 + (19-20)^2 + (21-20)^2}{5} = 2$
  • Desviación Estándar: $\sqrt{2} \approx 1.41$

Aplicaciones

• Investigación de Mercado: Se emplea para analizar datos de encuestas y comprender el comportamiento del consumidor.
• Control de Calidad: Se usa para monitorear procesos de producción para asegurar la calidad de los productos.
• Análisis Financiero: Permite evaluar datos financieros para tomar decisiones de inversión.
• Ciencias de la Salud: Se utiliza para analizar datos clínicos, investigar enfermedades y evaluar tratamientos.

Conclusión

• Es una herramienta fundamental para resumir y presentar datos de manera efectiva, lo que permite una mejor comprensión de la información para facilitar la toma de decisiones.

Transformada de Fourier

• La transformada de Fourier permite escribir cualquier función como una suma de senos y cosenos.
  • Implica romper una función en sus frecuencias constituyentes ("Análisis").
  • Permite reconstruir una función a partir de sus frecuencias constituyentes ("Síntesis").

Definición de la Transformada de Fourier

• La transformada de Fourier de una función $f(t)$ se define como $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt$, donde:
  • $t$ es el tiempo en segundos.
  • $\omega$ es la frecuencia en radianes por segundo.
  • $j = \sqrt{-1}$ es la unidad imaginaria.
• La transformada inversa de Fourier de $F(\omega)$ se define como $f(t) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega$.

Ejemplo de Transformada de Fourier

• Para $f(t) = \begin{cases} 1, & |t| \le T \ 0, & |t| > T \end{cases}$.
• $F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt = \int_{-T}^{T} e^{-j\omega t} dt = -\frac{1}{j\omega} e^{-j\omega t} |_{-T}^{T} = \frac{e^{j\omega T} - e^{-j\omega T}}{j\omega} = 2 \frac{\sin(\omega T)}{\omega}$.

Pares de Transformadas de Fourier Comunes

Propiedades: Linealidad

• Si $f(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} F(\omega)$ y $g(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} G(\omega)$, entonces para cualquier constante $a$ y $b$, $af(t) + bg(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} aF(\omega) + bG(\omega)$.

Propiedades: Desplazamiento en el Tiempo

• Si $f(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} F(\omega)$, entonces para cualquier constante $t_0$, $f(t - t_0) \xrightarrow{\mathcal{F}} e^{-j\omega t_0} F(\omega)$.

Propiedades: Escalado en el Tiempo

• Si $f(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} F(\omega)$, entonces para cualquier constante $a$, $f(at) \xrightarrow{\mathcal{F}} \frac{1}{|a|} F(\frac{\omega}{a})$.

Propiedades: Dualidad

• Si $f(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} F(\omega)$, entonces $F(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} 2\pi f(-\omega)$.

Propiedades: Diferenciación

• Si $f(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} F(\omega)$, entonces $\frac{df(t)}{dt} \xrightarrow{\mathcal{F}} j\omega F(\omega)$.

Propiedades: Convolución

• Si $f(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} F(\omega)$ y $g(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} G(\omega)$, entonces $(f * g)(t) \xrightarrow{\mathcal{F}} F(\omega) G(\omega)$, donde $*$ denota la convolución: $(f * g)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) g(t - \tau) d\tau$.

Teorema de Parseval

• El teorema establece que la energía de una señal es la misma tanto en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia: $\int_{-\infty}^{\infty} |f(t)|^2 dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(\omega)|^2 d\omega$.
• $|f(t)|$ y $|F(\omega)|$ denotan las magnitudes de $f(t)$ y $F(\omega)$, respectivamente.