Unidad 1 y 2 de Psic. General

Espacios Vectoriales: Axiomas

• Un espacio vectorial V es un conjunto no vacío donde la suma y la multiplicación escalar están definidas y son cerradas.
• Para todo $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}, \overrightarrow{w} \in V$ y escalares $c$ y $d$, se cumplen los siguientes axiomas:
  • $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \in V$
  • $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}$
  • $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})+\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u}+(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})$
  • Existe un vector cero $\overrightarrow{0}$ en V tal que $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}$
  • Para cada $\overrightarrow{u}$ en V, existe un elemento $-\overrightarrow{u}$ en V tal que $\overrightarrow{u}+(-\overrightarrow{u}) = \overrightarrow{0}$
  • $c\overrightarrow{u} \in V$
  • $c(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}) = c\overrightarrow{u}+c\overrightarrow{v}$
  • $(c+d)\overrightarrow{u} = c\overrightarrow{u}+d\overrightarrow{u}$
  • $c(d\overrightarrow{u}) = (cd)\overrightarrow{u}$
  • $1\overrightarrow{u} = \overrightarrow{u}$
• Los objetos en V se llaman vectores.

Ejemplos de Espacios Vectoriales

• $\mathbb{R}^n$: vectores con n entradas
• $M_{mn}$: matrices de $m \times n$
• $\mathbb{F}(\mathbb{R})$: funciones $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$
• $P_n$: polinomios de grado a lo sumo n
• $C[a,b]$: funciones continuas en el intervalo $[a,b]$
• $\mathbb{Z}_p^n$: vectores con n entradas donde cada entrada está en $\mathbb{Z}_p$

Contraejemplos

• $\mathbb{R}^2$: vectores en el primer cuadrante (no cerrado bajo multiplicación escalar).
• Polinomios de grado exactamente 2 (no cerrado bajo la suma).

Teoremas

• Sea $\overrightarrow{u}$ un vector en V y sea c un escalar. Entonces:
  • $0\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$
  • $c\overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$
  • $(-1)\overrightarrow{u} = -\overrightarrow{u}$
  • Si $c\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$, entonces $c=0$ o $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$

Subespacios

• Un subespacio de un espacio vectorial V es un subconjunto H de V que tiene tres propiedades:
  • El vector cero de V está en H.
  • H es cerrado bajo la suma de vectores. Es decir, para cada $\overrightarrow{u}$ y $\overrightarrow{v}$ en H, $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}$ está en H.
  • H es cerrado bajo la multiplicación por escalares. Es decir, para cada $\overrightarrow{u}$ en H y cada escalar c, $c\overrightarrow{u}$ está en H.

Ejemplos de Subespacios

• ¿Es $\mathbb{R}^2$ un subespacio de $\mathbb{R}^3$? ¡No! (Ni siquiera es un subconjunto).
• Sea $H = { \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} : x \geq 0, y \geq 0 }$. ¿Es H un subespacio de $\mathbb{R}^2$? ¡No! (No cerrado bajo la multiplicación escalar).
• Sea $W = { \begin{bmatrix} x \ y \end{bmatrix} : x = 3y }$. ¿Es W un subespacio de $\mathbb{R}^2$? ¡Sí!

Laboratorio 4: Funciones y Abstracción de Datos

• Este laboratorio enseña sobre la definición y llamada de funciones, alcance local de variables y abstracción de datos mediante funciones.

Tarea 1: Funciones

• Una función es una secuencia de declaraciones con nombre que realiza un cálculo. Ayuda a organizar el código, haciéndolo reutilizable y mejorando la legibilidad.

Definición de una Función

def nombre_funcion(parametro1, parametro2):
    """
    Cadena de documentación que explica lo que hace la función.
    """
    # Cuerpo de la función
    resultado = parametro1 + parametro2
    return resultado

• def: Palabra clave para indicar el inicio de una definición de función.
• nombre_funcion: El nombre de la función.
• parámetros: Valores de entrada que acepta la función (pueden ser cero o más).
• Cadena de documentación: Explicación del propósito, argumentos y valor de retorno de la función.
• Cuerpo de la función: La secuencia de declaraciones que realiza el cálculo.
• return: Palabra clave para especificar el valor que devuelve la función.

Llamar a una Función

salida = nombre_funcion(argumento1, argumento2)
print(salida)

• nombre_funcion(argumento1, argumento2): Llama a la función con los argumentos especificados.
• salida: La variable que almacena el valor devuelto por la función.

Ejemplos de Funciones

• Función saludar que toma un nombre como argumento e imprime un mensaje de saludo.

def saludar(nombre):
    """
    Esta función saluda a la persona pasada como parámetro.
    """
    print(f"Hola, {nombre}!")

saludar("Alicia")
saludar("Bob")

• Función sumar que toma dos números como argumentos y devuelve su suma.

def sumar(a, b):
    """
    Esta función devuelve la suma de dos números.
    """
    return a + b

resultado = sumar(5, 3)
print(resultado)

Ejercicios

• Área de un Círculo:
  • Escribe una función area_circulo(radio) que calcule y devuelva el área de un círculo. Usa la fórmula: $Area = \pi * radio^2$.
• Máximo de Dos Números:
  • Escribe una función máximo(a, b) que devuelva el mayor de dos números.
• Conversión de Temperatura:
  • Escribe dos funciones:
    • celsius_a_fahrenheit(celsius) que convierta Celsius a Fahrenheit. Usa la fórmula: $Fahrenheit = (Celsius * 9/5) + 32$.
    • fahrenheit_a_celsius(fahrenheit) que convierta Fahrenheit a Celsius. Usa la fórmula: $Celsius = (Fahrenheit - 32) * 5/9$.

Tarea 2: Alcance Local

• Las variables definidas dentro de una función tienen un alcance local, lo que significa que solo son accesibles dentro de esa función.

Ejemplo de Alcance Local

def mi_funcion():
    x = 10  # x es una variable local
    print(x)

mi_funcion()  # Salida: 10
print(x)  # Error: NameError: name 'x' is not defined

Modificar Variables Globales

• Si necesitas modificar una variable global dentro de una función, puedes usar la palabra clave global.

variable_global = 5

def modificar_global():
    global variable_global
    variable_global = 10
    print(variable_global)

modificar_global()  # Salida: 10
print(variable_global)  # Salida: 10

Ejercicios de Alcance Local

• Explica la salida del siguiente código y por qué el valor de x difiere dentro y fuera de la función:

x = 50

def mi_funcion(x):
    x = 100
    print("x local:", x)

mi_funcion(x)
print("x global:", x)

• Explica por qué la lista se modifica tanto dentro como fuera de la función en el ejemplo siguiente:

mi_lista = [1, 2, 3]

def modificar_lista(lst):
    lst.append(4)
    print("Dentro de la función:", lst)

modificar_lista(mi_lista)
print("Fuera de la función:", mi_lista)

Tarea 3: Abstracción de Datos

• La abstracción de datos implica ocultar los detalles de implementación complejos de las estructuras de datos y presentar una interfaz simplificada al usuario.

Ejemplo de Abstracción de Datos: Representar un Punto

def crear_punto(x, y):
    """
    Crea un punto con las coordenadas x e y dadas.
    """
    return (x, y)

def obtener_x(punto):
    """
    Devuelve la coordenada x del punto.
    """
    return punto

def obtener_y(punto):
    """
    Devuelve la coordenada y del punto.
    """
    return punto

## Ejemplo de uso
p = crear_punto(3, 4)
print(obtener_x(p))  # Salida: 3
print(obtener_y(p))  # Salida: 4

• En este ejemplo, la representación interna de un punto como una tupla está oculta.

Ejemplo de Abstracción de Datos : Representar una Cuenta Bancaria

def crear_cuenta(saldo):
    """
    Crea una cuenta bancaria con un saldo inicial.
    """
    return {"saldo": saldo}

def depositar(cuenta, cantidad):
    """
    Deposita dinero en la cuenta.
    """
    cuenta["saldo"] += cantidad

def retirar(cuenta, cantidad):
    """
    Retira dinero de la cuenta.
    """
    if cantidad <= cuenta["saldo"]:
        cuenta["saldo"] -= cantidad
        return True
    else:
        return False

Campos Vectoriales

• En el plano, un campo vectorial es una función que asigna a cada punto $(x, y)$ un vector $\overrightarrow{F}(x, y)$.
• En el espacio, asigna un vector $\overrightarrow{F}(x, y, z)$ a cada punto $(x, y, z)$.

Ejemplos de Campos Vectoriales

• Campo Vectorial Constante: $\overrightarrow{F}(x, y) = \langle a, b \rangle$ para constantes $a, b$.
• $\overrightarrow{F}(x, y) = \langle x, y \rangle$: los vectores apuntan desde el origen, la magnitud aumenta con la distancia desde el origen.
• $\overrightarrow{F}(x, y) = \langle -y, x \rangle$: los vectores rotan en sentido antihorario alrededor del origen.
• Campo Vectorial Gradiente: Si $f(x, y)$ es una función escalar, entonces $\overrightarrow{F}(x, y) = \nabla f(x, y) = \langle f_x, f_y \rangle$ es un campo vectorial gradiente.

Integrales de Línea

• La integral de línea de una función escalar $f(x, y)$ a lo largo de una curva $C$ parametrizada por $\overrightarrow{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$ para $a \le t \le b$ es:

$\qquad \int_C f(x, y) ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) |\overrightarrow{r}'(t)| dt$

• $ds$ representa el elemento de longitud de arco.

Integrales de Línea de Campos Vectoriales

$\qquad \int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_a^b \overrightarrow{F}(\overrightarrow{r}(t)) \cdot \overrightarrow{r}'(t) dt$

• Si $\overrightarrow{F} = \langle P, Q \rangle$ y $\overrightarrow{r}(t) = \langle x(t), y(t) \rangle$, entonces

$\qquad \int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r} = \int_C P dx + Q dy = \int_a^b [P(x(t), y(t)) \frac{dx}{dt} + Q(x(t), y(t)) \frac{dy}{dt}] dt$

Trabajo

• Si $\overrightarrow{F}$ representa un campo de fuerzas, entonces el trabajo realizado por la fuerza al mover una partícula a lo largo de la curva $C$ es:

$\qquad W = \int_C \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{r}$

Proceso de Poisson

• Es un modelo para eventos que ocurren aleatoriamente en el tiempo. Ejemplos:
  • Clientes llegando a una tienda
  • Solicitudes llegando a un servidor web
  • Partículas emitidas desde una fuente radioactiva
• Se centra en procesos de conteo ${N(t): t \geq 0}$ donde $N(t)$ es el número de eventos que han ocurrido hasta el tiempo $t$.

Definición

• Un proceso de conteo ${N(t): t \geq 0}$ es un proceso de Poisson con tasa $\lambda > 0$ si
  • $N(0) = 0$
  • Incrementos independientes: El número de eventos en intervalos de tiempo disjuntos son independientes.
  • El número de eventos en un intervalo de longitud $t$ sigue una distribución de Poisson con media $\lambda t$.

Propiedades

• Incrementos estacionarios: La distribución del número de eventos en un intervalo solo depende de la longitud del intervalo.
• Las trayectorias de $N(t)$ son constantes por tramos, con saltos de tamaño 1.
• Los tiempos entre eventos son independientes y siguen una distribución exponencial con media $1/\lambda$.

Cadenas de Márkov de Tiempo Continuo

• Una Cadena de Márkov de Tiempo Continuo (CMTC) es un proceso estocástico que hace la transición entre estados en tiempos aleatorios.
• El tiempo que el proceso pasa en cada estado sigue una distribución exponencial.
• Cuando el proceso deja un estado, hace la transición a otro estado según una distribución de probabilidad.
• Son usadas para modelar sistemas diversos, como redes de ordenadores, sistemas de colas y sistemas biológicos.

Definición

• Una CMTC es un proceso estocástico ${X(t): t \geq 0}$ que cumple con la propiedad de Márkov.
• Las tasas de transición $q_{ij}$ son definidas como: $$ q_{ij} = \lim_{h \to 0} \frac{P(X(t+h) = j \mid X(t) = i)}{h}, \quad i \neq j $$
• Los elementos diagonales son definidos como: $$ q_{ii} = - \sum_{j \neq i} q_{ij} $$
• La matriz $Q = (q_{ij})$ se llama matriz generadora.

Propiedades

• El tiempo que el proceso pasa en el estado $i$ sigue una distribución exponencial con tasa $-q_{ii}$.
• Cuando el proceso abandona el estado $i$, hace la transición al estado $j$ con probabilidad $q_{ij} / (-q_{ii})$.
• Las probabilidades de transición $P_{ij}(t) = P(X(t) = j \mid X(0) = i)$ cumplen con las ecuaciones de Kolmogorov.

MIE444 - Examen de Medio Término - Invierno 2023

• El examen tiene una ponderación del 35% de la nota final.

Pregunta 1: Probabilidad

• Un hospital está realizando pruebas a personas para detectar una enfermedad.
  • La probabilidad de que una persona tenga la enfermedad es del 1%.
  • La prueba tiene una precisión del 99%.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona dé positivo en la prueba?

• $P(D) = 0.01$
• $P(T|D) = 0.99$
• $P(T^c|D^c) = 0.99$
• $P(T) = (0.99)(0.01) + (0.01)(0.99) = 0.0198$

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que da positivo en la prueba realmente tenga la enfermedad?

• $P(D|T) = (0.99 * 0.01) \div 0.0198 = 0.5$

Pregunta 2: Redes Bayesianas

• Considere la siguiente red bayesiana:
  • $A$ = Terremoto
  • $B$ = Robo
  • $C$ = Alarma
  • $D$ = Llama Juan
  • $E$ = Llama María

a) Escriba la distribución de probabilidad conjunta $P(A, B, C, D, E)$ en términos de probabilidades condicionales basándose en la estructura de la red bayesiana.

• $P(A, B, C, D, E) = P(A)P(B)P(C|A, B)P(D|C)P(E|C)$

b) Si sabemos que Juan llamó, ¿son independientes Terremoto y Robo?

• No son independientes, debido a que ambos influyen la posibilidad de que suene la alarma.

Pregunta 3: Modelos Ocultos de Márkov. Encuentre la secuencia de estados ocultos más probable usando el algoritmo Viterbi.

Modelo:

• Estados ocultos = Soleado, Lluvioso
• Observación = Seco, Húmedo

Algoritmo Viterbi para hallar la secuencia de estados: (Sunny, rainy)

Pregunta 4: Aprendizaje por Refuerzo.

• Valores $V_2(1) = 0, V_2(2) = 0, V_2(3) = 0.9, V_2(4) = 1.9$

Complejidad Algorítmica

• Es una medida de la cantidad de recursos (tiempo, memoria) que un algoritmo requiere
• Sirve para:
  • Estimar el tiempo de ejecución de un algoritmo
  • Comparar la eficiencia de diferentes algoritmos
  • Optimizar el rendimiento de un algoritmo
• Se mide en tiempo y espacio

Big-O Notation

• $O(1)$ Constante
• $O(log n)$ Logarítmico
• $O(n)$ Lineal
• $O(n log n)$ Linearítmico
• $O(n^2)$ Cuadrático
• $O(n^3)$ Cúbico
• $O(2^n)$ Exponencial
• $O(n)$ Factorial

Estándar de Encriptación Avanzada (AES)

• El Estándar de Encriptación Avanzada (AES) es un algoritmo de encriptación en bloque simétrico.
• AES usa el cifrado Rijndael.
• AES Parameters
• Key Size (bits) 128/192/256.
• Block Size (bits) 128
• Number of Rounds 10/12/14
• Cada ronda consta de 4 transformaciones:

1. SubBytes: sustitución de bytes usando una S-box
2. ShiftRows: permutación
3. MixColumns: multiplicación de matrices
4. AddRoundKey: XOR con la clave de ronda

Funciones vectoriales

• Son funciones cuyo dominio es un conjunto de números reales y cuyo rango es un conjunto de vectores.
• En dos dimensiones: $r(t) = = f(t)i + g(t)j$
• Para los limites : $\lim_{t \to a} r(t) = $
• Derivadas : $r'(t) = $
• Integral : $\int r(t) dt = $

Juegos Estáticos con Información Completa

• Un juego estático (o juego de movimiento simultáneo) es un juego en el que cada jugador elige su acción de una vez por todas y simultáneamente.
• Cada función de ganancia es conocimiento común entre todos los jugadores.
• Hay cuatro elementos para describir un juego estático:
  1. Lista de jugadores
  2. El conjunto de todas las acciones posibles para cada jugador
  3. Descripción de si el juego es con información completa o incompleta
  4. Descripción de los pagos: El pago que cada jugador recibe por cada posible combinación de acciones de todos los jugadores.

Ecuaciones Diferenciales Parciales

• Ecuación que involucra una función desconocida de dos o más variables y ciertas de sus derivadas parciales.
• Forma general (EDP lineal de segundo orden): $Au_{xx} + Bu_{xy} + Cu_{yy} + Du_x + Eu_y + Fu = G$
  • Tipos de Condición de Frontera Comunes:
  1. Condición de Dirichlet: Especifica el valor de la solución en la frontera. $u = f$
  2. Condición de Neumann: Especifica el valor de la derivada normal de la solución en la frontera. $\frac{\partial u}{\partial n} = g$
  • Las ecuaciones de transporte lineal están dadas por: $u_t + cu_x = 0$ y su solución general es $u(x, t) = f(x - ct)$.