Espaces vectoriels : Définition et exemples

Définition d'un espace vectoriel

• Un espace vectoriel sur un champ $\mathbb{K}$ (généralement $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$) est un ensemble $E$ doté d'une addition vectorielle et d'une multiplication scalaire.
• L'addition vectorielle $+ : E \times E \rightarrow E$ doit être associative, commutative, avoir un élément neutre ($0 \in E$) et chaque élément doit avoir un inverse.
• La multiplication scalaire $ \cdot : \mathbb{K} \times E \rightarrow E$ doit être associative, distributive par rapport à l'addition scalaire et vectorielle, et compatible avec l'élément neutre ($1 \cdot u = u$).
• Les éléments d'un espace vectoriel $E$ sont appelés vecteurs.

Exemples d'espaces vectoriels

• $\mathbb{R}^n$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.
• $\mathbb{C}^n$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{C}$ et sur $\mathbb{R}$.
• L'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$, noté $C^0(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.
• L'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{R}$, noté $\mathbb{R}[X]$, est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.

Sous-espaces vectoriels

• Un sous-ensemble $F$ d'un espace vectoriel $E$ est un sous-espace vectoriel s'il est non vide, fermé sous l'addition vectorielle, et fermé sous la multiplication scalaire.
• Dans $\mathbb{R}^2$, les droites passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels.
• Dans $\mathbb{R}^3$, les plans passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels.

Combinaison linéaire

• Une combinaison linéaire de vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ dans un espace vectoriel $E$ sur un champ $\mathbb{K}$ est une expression de la forme $a_1v_1 + a_2v_2 +... + a_nv_n$ où $a_1, a_2,..., a_n \in \mathbb{K}$.

Espace vectoriel engendré

• L'espace vectoriel engendré par des vecteurs $v_1, v_2,..., v_n$ dans un espace vectoriel $E$, noté $Vect(v_1, v_2,..., v_n)$, est l'ensemble de toutes leurs combinaisons linéaires possibles.
• $Vect(v_1, v_2,..., v_n) = {a_1v_1 + a_2v_2 +...+ a_nv_n \mid a_1, a_2,..., a_n \in \mathbb{K}}$.
• $Vect(v_1, v_2,..., v_n)$ est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $v_1, v_2,..., v_n$.

Famille libre (linéairement indépendante)

• Une famille de vecteurs $(v_1, v_2,..., v_n)$ est libre si la seule combinaison linéaire qui donne le vecteur nul est celle où tous les coefficients sont nuls : $a_1v_1 + a_2v_2 +... + a_nv_n = 0 \implies a_1 = a_2 =... = a_n = 0$.

Famille génératrice

• Une famille de vecteurs $(v_1, v_2,..., v_n)$ est génératrice de $E$ si tout vecteur de $E$ peut être écrit comme une combinaison linéaire de $v_1, v_2,..., v_n$, i.e., $E = Vect(v_1, v_2,..., v_n)$.

Base d'un espace vectoriel

• Une base d'un espace vectoriel $E$ est une liste de vecteurs à la fois libre et génératrice.
• Si $B = (v_1, v_2,..., v_n)$ est une base de $E$, alors tout vecteur $u \in E$ peut être écrit de manière unique comme $u = a_1v_1 + a_2v_2 +... + a_nv_n$.
• Les scalaires $a_1, a_2,..., a_n$ sont appelés les coordonnées de $u$ dans la base $B$.

Dimension d'd'un espace vectoriel

• Si un espace vectoriel $E$ admet une base finie, toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments, appelé la dimension de $E$, notée $dim(E)$.
• Si $E$ n'admet pas de base finie, on dit que $E$ est de dimension infinie.
• $dim(\mathbb{R}^n) = n$.
• $dim(\mathbb{C}^n) = n$ en tant qu'espace vectoriel sur $\mathbb{C}$.
• $dim(\mathbb{C}^n) = 2n$ en tant qu'espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.
• $dim(\mathbb{R}[X]) = \infty$.

Théorème de la base incomplète

• Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Si $(v_1, v_2,..., v_p)$ est une famille libre, alors il existe des vecteurs $v_{p+1},..., v_n$ dans $E$ tels que $(v_1, v_2,..., v_p, v_{p+1},..., v_n)$ soit une base de $E$.

Rang d'une famille de vecteurs

• Le rang d'une famille de vecteurs $(v_1, v_2,..., v_n)$ est la dimension du sous-espace vectoriel engendré par ces vecteurs : $rang(v_1, v_2,..., v_n) = dim(Vect(v_1, v_2,..., v_n))$.

Somme de sous-espaces vectoriels

• Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces vectoriels de $E$, leur somme est l'ensemble des vecteurs qui peuvent être écrits comme la somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$: $F + G = {u + v \mid u \in F, v \in G}$.
• $F + G$ est un sous-espace vectoriel de $E$.

Somme directe

• Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont en somme directe si tout vecteur de $F + G$ peut être écrit de manière unique comme la somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$, noté $F \oplus G$.
• Si un vecteur de $F+G$ peut s'écrire de manière unique comme la somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$ est équivalent à $F \cap G = {0}$

Sous-espaces supplémentaires

• Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont dits supplémentaires si $E = F \oplus G$, c'est-à-dire si $E = F + G$ et $F \cap G = {0}$.

Formule de Grassmann

• Pour deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de dimension finie : $dim(F + G) = dim(F) + dim(G) - dim(F \cap G)$.
• En particulier, si $F$ et $G$ sont en somme directe, alors $dim(F \oplus G) = dim(F) + dim(G)$; si $F$ et $G$ sont supplémentaires, alors $dim(E) = dim(F) + dim(G)$.

Introduction à Oracle Cloud Infrastructure

• Oracle Cloud Infrastructure (OCI) est un ensemble de services cloud qui permet de créer une variété d'applications et de services dans un environnement à haute disponibilité, performant et économique.

Services fournis par OCI

• Calcul, stockage, réseaux, bases de données, analyses, apprentissage automatique (Machine Learning), et Internet des Objets (IoT).
• Dispositifs avancés pour la sécurité, la gestion, et la gouvernance.

Avantages d'utiliser OCI

• OCI propose un excellent rendement en calcul, réseau et stockage permettant une exécution efficiente des applications.
• La tarification compétitive inclut des options flexibles pour optimiser les dépenses.
• Les fonctions de sécurité robustes, telles que l'isolation de réseau et le chiffrement protègent les données et applications.
• L'évolutivité s'adapte aux besoins de l'entreprise.
• La haute disponibilité et fiabilité garantissent un fonctionnement continu des applications.

Etapes pour débuter avec OCI

• Créer un compte sur le site web d'Oracle Cloud.
• Configurer un "bail" (tenancy) comme une partition logique pour gérer les ressources.
• Créer un utilisateur IAM pour contrôler l'accès, et lui accorder les permissions nécessaires.
• Configurer l'interface de ligne de commande (CLI) pour gérer les ressources depuis la ligne de commande.
• Créer un réseau cloud virtuel (VCN) pour lancer des instances de calcul.
• Lancer une instance de calcul à partir d'images comme Linux ou Windows.
• Se connecter à cette instance via SSH ou RDP.
• Déployer l'application en installant le logiciel, configurant les serveurs web, et copiant les fichiers nécessaires.

Ressources additionnelles pour OCI

• La documentation et les tutoriels d'Oracle Cloud Infrastructure sont disponibles.
• Des exemples de code peuvent aussi être consultés.

Théorie des jeux

• La théorie des jeux est un cadre mathématique pour l'analyse des interactions stratégiques entre plusieurs décideurs.

Éléments clés d'un jeu

• Joueurs: Les individus ou les entités prenant des décisions.
• Actions: L'ensemble des choix possibles disponibles pour chaque joueur.
• Gains: Les résultats ou récompenses que chaque joueur reçoit en fonction des actions entreprises par tous les joueurs.
• Stratégies: Un plan d'action pour un joueur qui spécifie quelle action il entreprendra dans toutes les situations possibles du jeu.

Types de jeux

• Coopératif ou non coopératif. Symétrique ou asymétrique.
• A somme nulle ou à somme non nulle.
• Information parfaite ou imparfaite.
• Séquentiel ou simultané.

Théorie algorithmique des jeux (TAG)

• La TAG est un domaine interdisciplinaire combinant la théorie des jeux et l'informatique, se concentrant sur les aspects computationnels des jeux et des interactions stratégiques.

Questions abordées par la TAG

• Comment calculer efficacement les solutions aux jeux?
• Comment les incitations affectent-elles la conception des algorithmes et des systèmes?
• Comment concevoir des mécanismes qui mènent à des résultats souhaitables dans des environnements stratégiques?

Sujets clés en TAG

• Conception de mécanisme: Concevoir des règles pour un jeu afin d'atteindre un résultat spécifique, même lorsque les joueurs agissent stratégiquement.
• Prix de l'anarchie: Quantifier la perte d'efficacité due au comportement égoïste dans un système.
• Choix social computationnel: Concevoir des règles de vote et d'autres mécanismes de prise de décision sociale qui sont efficaces et équitables.
• Apprentissage dans les jeux: Comment les joueurs peuvent apprendre à bien jouer dans les jeux répétés.

Dilemme du prisonnier

• Deux suspects sont arrêtés pour un crime, détenus dans des cellules séparées et ne peuvent pas communiquer.

L'offre de la police au prisonnier

• Si un suspect avoue et que l'autre reste silencieux, celui qui avoue est libéré et l'autre écope de 10 ans de prison.
• S'ils avouent tous les deux, ils écopent chacun de 5 ans de prison.
• S'ils restent tous les deux silencieux, ils écopent chacun de 1 an de prison.

Matrice des gains pour le dilemme du prisonnier

Pierre, Papier, Ciseaux

• Deux joueurs choisissent simultanément l'une des trois options : pierre, papier ou ciseaux.

Détermination du gagnant

• La pierre bat les ciseaux; les ciseaux battent le papier; le papier bat la pierre.
• S'ils choisissent tous les deux la même option, c'est un match nul.

Matrice des gains : Pierre, Feuille, Ciseaux

Routage du trafic

• Les conducteurs choisissent les itinéraires pour minimiser leur temps de trajet.
• Le choix de chaque conducteur affecte le temps de trajet des autres conducteurs.

Paradoxe de Braess

• L'ajout d'une nouvelle route à un réseau peut parfois augmenter le temps de trajet global pour tous les conducteurs.

Équilibre de Nash

• Un équilibre de Nash est un ensemble de stratégies, une pour chaque joueur, tel qu'aucun joueur ne peut améliorer son gain en changeant unilatéralement sa stratégie.

Méthodes pour trouver les équilibres de Nash

• Stratégie dominante: Une stratégie toujours la meilleure, peu importe ce que font les autres joueurs. Élimination itérée des stratégies dominées: Supprimer les stratégies toujours pires.
• Meilleure réponse: La stratégie qui maximise le gain, compte tenu des stratégies des autres joueurs.
• Stratégies mixtes: Une distribution de probabilité sur l'ensemble des stratégies pures.

Exemple dilemme du prisonnier

• L'équilibre de Nash incite les deux suspects à avouer, même si tous les deux seraient avantagés s'ils restaient silencieux.

Exemple, Pierre, Feuille, Ciseaux

• Choisir chaque option avec une probabilité égale (1/3) est un équilibre de Nash en stratégies mixtes.

Conception du mécanisme

• La conception du mécanisme consiste à concevoir les règles d'un jeu pour atteindre un résultat souhaité, même lorsque les joueurs agissent de manière stratégique et dans leur propre intérêt.

Concepts clés

• Fonction de choix social: Fonction qui mappe les préférences des joueurs à un résultat social.
• Mise en œuvre: Un mécanisme qui met en œuvre une fonction de choix social si, à chaque équilibre du mécanisme, le résultat est le même que le résultat prescrit par la fonction de choix social.
• Compatibilité des incitations: Un mécanisme est compatible avec les incitations s'il est dans le meilleur intérêt de chaque joueur de révéler honnêtement ses préférences.
• Maximisation des revenus: Concevoir un mécanisme pour maximiser les revenus perçus auprès des joueurs.

Exemples de mécanismes

• Enchères: Concevoir des règles pour les enchères afin d'allouer des biens et des services aux enchérisseurs les plus offrant
• Règles de vote: Concevoir des règles de vote pour élire des candidats ou prendre des décisions en fonction des préférences des électeurs.
• Marchés d'appariement: Concevoir des mécanismes pour faire correspondre des individus ou des entités en fonction de leurs préférences.

Prix de l'anarchie

• Le « prix de l'anarchie » (PdA) mesure l'inefficacité résultant du comportement égoïste dans un système.
• Il quantifie le ratio entre le bien-être social dans le pire des cas dans un équilibre de Nash et le bien-être social optimal.

Équation du prix de l'anarchie

• $PoA = \frac{\text{Bien-être social du résultat optimal}}{\text{Bien-être social du pire équilibre de Nash}}$

Exemples d'utilisation du prix de l'anarchie

• Routage de trafic où peut servir à quantifier l'augmentation du temps de trajet due aux conducteurs qui choisissent égoïstement leurs itinéraires.
• Formation de réseaux où peut servir à quantifier l'inefficacité des réseaux qui sont formés par des agents égoïstes.

Conclusion de la TAG

• La théorie algorithmique des jeux fournit un ensemble d'outils puissants pour analyser et concevoir des systèmes dans lesquels les interactions stratégiques jouent un rôle central.
• Elle a des applications dans un large éventail de domaines, notamment l'informatique, l'économie, les sciences politiques et la biologie.
• La compréhension des principes de la TAG permet de concevoir de meilleurs algorithmes, des mécanismes et des systèmes qui mènent à des résultats plus efficaces et souhaitables.

Taux de variation

• Étant donné deux grandeurs $x$ et $y$ liées par une fonction $y = f(x)$, le taux de variation est l'augmentation ou la diminution de l'une lorsque l'autre varie.

Taux de variation moyen (TVM)

• La variation de la fonction sur un intervalle $[a, a+h]$ est: $T.V.M. [a, a+h] = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.
• Il s'agit de la pente de la droite sécante passant par les points $(a, f(a))$ et $(a+h, f(a+h))$.

Taux de variation instantané (TVI)

• TVI correspond à la limite du TVM lorsque $h$ tend vers 0. $T.V.I.(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Interprétation géométrique du TVI

• Elle correspond à la pente de la droite tangente à la fonction au point $(a, f(a))$.

Dérivée d'une fonction en un point

• La dérivée de la fonction en $x = a$, représentée par $f'(a)$, correspond à la valeur du taux de variation instantané à ce point: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Interprétations de la dérivée

• Géométriquement, c'est la pente de la tangente. Physiquement, c'est la vitesse instantanée.

Calculer une dérivée

• Le calcul de la dérivée d'une fonction en un point peut être réalisé à travers sa défition ou les règles de dérivation.

Fonction dérivée

• Pour une fonction $y = f(x)$, la fonction dérivée associe à chaque valeur de $x$ la dérivée de la fonction en ce point, $f'(x)$.
• $f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{ (x+h) - f(x)}{h}$
• La fonction dérivée est représentée par $f'(x)$, $y'$, $\frac{dy}{dx}$, ou $D[f(x)]$.
• Le calcul de la fonction dérivée peut être réalisé à travers sa défition ou les règles de dérivation.

Règles de dérivation

• La dérivée de $k$ (constante) est $0$.
• La dérivée de $x$ est $1$.
• La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$.
• La dérivée de $k \cdot f(x)$ est $k \cdot f'(x)$.
• La dérivée de $f(x) + g(x)$ est $f'(x) + g'(x)$.
• La dérivée de $f(x) - g(x)$ est $f'(x) - g'(x)$.
• La dérivée de $f(x) \cdot g(x)$ est $f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$.
• La dérivée de $\frac{f(x)}{g(x)}$ est $\frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$.
• La dérivée de $f[g(x)]$ est $f'[g(x)] \cdot g'(x)$.

Dérivées de fonctions élémentaires

• La dérivée de $sin(x)$ est $cos(x)$.
• La dérivée de $cos(x)$ est $-sin(x)$.
• La dérivée de $tan(x)$ est $\frac{1}{cos^2(x)} = 1 + tan^2(x)$.
• La dérivée de $a^x$ est $a^x \cdot ln(a)$.
• La dérivée de $e^x$ est $e^x$.
• La dérivée de $log_a(x)$ est $\frac{1}{x \cdot ln(a)}$.
• La dérivée de $ln(x)$ est $\frac{1}{x}$.

Applications des dérivées

Calcul de la droite tangente

• L'équation de la droite tangente à la fonction $y = f(x)$ au point $x = a$ est: $y - f(a) = f'(a) \cdot (x - a)$

Calcul des maximums et minimums relatifs

• Calculer la première dérivée $f'(x)$.
• Égaler à zéro et résoudre l'équation $f'(x) = 0$ pour trouver les points critiques.
• Étudier le signe de la première dérivée avant et après chaque point critique pour déterminer si c'est un maximum ou un minimum relatif.
• Un maximum relatif se produit si $f'(x)$ passe de positif à négatif. Un minimum relatif se produit si $f'(x)$ change de négatif à positif.
• La seconde dérivée peut être utilisée pour déterminer la nature des points critiques : si $f''(c) < 0$, alors il y a un maximum en $x = c$; si $f''(c) > 0$, alors il y a un minimum en $x = c$.

Calcul des points d'inflexion

• Calculer la seconde dérivée $f''(x)$.
• Égaler à zéro et résoudre l'équation $f''(x) = 0$ pour trouver les points d'inflexion possibles.
• Étudier le signe de la seconde dérivée avant et après chaque possible pour identifier les points d'inflexion.
• S'il y a un changement de signe, alors il y a un point d'inflexion en ce point.

Estadística Descriptiva

• La statistique descriptive se consacre à la collecte, l'analyse, la présentation et la caractérisation d'un ensemble de données.
• Son objectif est de décrire les caractéristiques principales des donnés, telles que la tendance centrale, la variabilité et la relation entre les variables.
• Elle ne fait pas d'inférences ou de généralisations à une population plus vaste.

Types de estadística descriptiva

• Les mesures de tendance centrale comme la moyenne, la médiane et le mode.
• Les mesures de variabilité comme l'écart type, la variance, l'étendue et l'étendue interquartile.
• Les mesures de forme comme l'asymétrie et le kurtosis.
• Les tableaux de fréquence.
• Les graphiques telles que des histogrammes, des diagrammes en barres, des diagrammes de dispersion et des diagrammes de boites.

Aplicaciones de la estadística descriptiva en campos diversos

• Entreprises, sciences sociales, sciences de la santé et ingénierie.

Conceptos clave

• Population, échantillon et variable.

Tipos de variables

• Qualitatives (nomminales ou ordinales).
• Quantitatives (discrètes ou continues).

Resumen

• La statistique descriptive est un outil fondamental pour comprendre et résumer des données, ce qui facilite la prise de décisions éclairées.

Tri rapide

• Inventé par Tony Hoare en 1960.
• Très populaire, rapide dans la pratique.
• L'idée est d'utiliser le partitionnement pour faire du diviser pour régner.

Partitionnement du sous-tableau a[lo..hi]

1. Choisir un élément pivot $x = a[lo]$.
2. Objectif : diviser le tableau en deux parties, $\leq x$ et $\geq x$.
3. Utiliser les indices i et j, initialisés comme suit :

lo hi
v ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
x
i j

4. Invariant : a[lo+1..i] sont tous $\leq x$, et a[j..hi] sont tous $\geq x$.
5. Continuer à avancer i jusqu'à ce que a[i] > x.
6. Continuer à décrémenter j jusqu'à ce que a[j] $\leq$ x.
7. Échanger a[i] et a[j].
8. Répéter jusqu'à ce que i et j se croisent.
9. Échanger a[lo] et a[j].

Exemple de partitionnement

lo hi
v 7 2 9 6 4 3 8 5
x
i j

Avancer i, décrémenter j :

lo hi
v 7 2 9 6 4 3 8 5
x
i j

Échanger :

lo hi
v 7 2 3 6 4 9 8 5
x
i j

Avancer i, décrémenter j :

lo hi
v 7 2 3 6 4 9 8 5
x
i j

Échanger :

lo hi
v 7 2 3 4 6 9 8 5
x
i j

Avancer i, décrémenter j :

lo hi
v 7 2 3 4 6 9 8 5
x
i j

Ils se sont croisés, échanger a[lo] et a[j] :

lo hi
v 6 2 3 4 7 9 8 5
x
i j

Code de partitionnement

 int partition(int[] a, int lo, int hi) {
  int i = lo, j = hi + 1;
  int v = a[lo];
  while (true) {
   // find item on lo to swap
   while (a[++i]  x$.
- C'est ce qu'on appelle le tri rapide à 3 voies.
- Le tri rapide à 3 voies est plus rapide que le tri rapide lorsque le tableau d'entrée contient de nombreuses clés en double.

Découvrez la définition d'un espace vectoriel sur un champ K, incluant l'addition vectorielle et la multiplication scalaire. Explorez des exemples concrets tels que R^n, C^n, et l'ensemble des fonctions continues. Les éléments d'un espace vectoriel E sont appelés vecteurs.