Espaces Vectoriels: Algbre Linaire

Algèbre linéaire et géométrie analytique

Espaces Vectoriels

• Un espace vectoriel sur un corps $\mathbb{K}$ est un ensemble non vide $E$ avec une addition vectorielle ($E \times E \rightarrow E$) et une multiplication scalaire ($\mathbb{K} \times E \rightarrow E$).
• L'addition vectorielle et la multiplication scalaire doivent satisfaire les axiomes d'associativité, de commutativité, d'existence d'un élément neutre et d'un inverse additif, ainsi que des propriétés de compatibilité et de distributivité.
• Les éléments de $E$ sont appelés vecteurs et les éléments de $\mathbb{K}$ sont appelés scalaires.
• $0_E$ est le vecteur nul de $E$.
• $\mathbb{K}^n$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$, où l'addition et la multiplication scalaire sont définies composante par composante.
• $M_{m,n}(\mathbb{K})$, l'ensemble des matrices $m \times n$ à coefficients dans $\mathbb{K}$, est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$.
• $\mathbb{K}^X = { f : X \rightarrow \mathbb{K} }$, l'ensemble des fonctions de $X$ vers $\mathbb{K}$, est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ avec opérations définies ponctuellement.
• $\mathbb{K}[x]$ est l'ensemble des polynômes à coefficients dans $\mathbb{K}$ et est un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$.
• $\mathbb{C}$ est un espace vectoriel sur $\mathbb{R}$.
• $\lambda \cdot 0_E = 0_E$ pour tout $\lambda \in \mathbb{K}$.
• $0_{\mathbb{K}} \cdot u = 0_E$ pour tout $u \in E$.
• Si $\lambda \cdot u = 0_E$, alors $\lambda = 0_{\mathbb{K}}$ ou $u = 0_E$.
• $(-\lambda) \cdot u = \lambda \cdot (-u) = -(\lambda \cdot u)$ pour tous $\lambda \in \mathbb{K}$ et $u \in E$.

Sous-espaces Vectoriels

• Un sous-ensemble non vide $F \subseteq E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si $F$ est lui-même un espace vectoriel sur $\mathbb{K}$ avec les opérations induites de $E$.
• $F \subseteq E$ est un sous-espace vectoriel de $E$ si et seulement si $u + v \in F$ et $\lambda \cdot u \in F$ pour tous $u, v \in F$ et $\lambda \in \mathbb{K}$.
• ${0_E}$ et $E$ sont des sous-espaces vectoriels triviaux de tout espace vectoriel $E$.
• Dans $\mathbb{R}^2$, les droites passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels.
• Dans $\mathbb{R}^3$, les plans passant par l'origine sont des sous-espaces vectoriels.
• $\mathbb{K}_n[x]$, l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ dans $\mathbb{K}[x]$, est un sous-espace vectoriel.
• $C(\mathbb{R})$, l'ensemble des fonctions continues de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$, est un sous-espace vectoriel de l'ensemble de toutes les fonctions de $\mathbb{R}$ vers $\mathbb{R}$.
• L'intersection d'une famille quelconque de sous-espaces vectoriels de $E$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
• La somme de deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ est définie par $F + G = { u + v \mid u \in F, v \in G }$.
• La somme $F + G$ est un sous-espace vectoriel de $E$, et c'est le plus petit sous-espace vectoriel de $E$ contenant $F$ et $G$.
• $F \oplus G$ désigne la somme directe.
• La somme $F + G$ est une somme directe $F \oplus G$ si $F \cap G = {0_E}$, où chaque vecteur $w \in F + G$ peut être écrit de manière unique comme $w = u + v$ avec $u \in F$ et $v \in G$.
• Deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ sont supplémentaires dans $E$ si $E = F \oplus G$.

Chapitre 1 Logique

Propositions

• Une proposition est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux.
• Les énoncés tels que «Ottawa est la capitale du Canada» ou «1 + 1 = 3" sont des propositions.
• Les énoncés tels que «Quelle heure est-il?» ou «x + 1 = 2" ne sont pas des propositions.
• La valeur de vérité d’une proposition peut être vraie («V») ou fausse («F»).
• Les variables propositionnelles sont généralement notées $p, q, r, s,...$.
• Les opérateurs logiques permettent de combiner des propositions existantes.
• La négation de $p$, notée $\neg p$, a la valeur de vérité opposée à celle de $p$.
• La conjonction de $p$ et $q$, notée $p \land q$, est vraie seulement si $p$ et $q$ sont toutes les deux vraies.

Chapitre 4: Ensembles

Définitions de Base

• Un ensemble est une collection bien définie d'objets.
• Les objets dans un ensemble sont appelés ses éléments ou membres.
• Les ensembles sont généralement désignés par des lettres majuscules (A, B, C) et les éléments par des lettres minuscules (a, b, c).
• Les ensembles peuvent être décrits par la méthode d'énumération (liste des éléments) ou par notation ensembliste (définition par une propriété).
• Par exemple, A = {red, blue, green} ou B = {x | x est un jour de la semaine}.
• La notation $a \in A$ indique que 'a' est un élément de l'ensemble A.
• Un ensemble fini a un nombre fini d'éléments, tandis qu'un ensemble infini a un nombre infini d'éléments.
• L'ensemble vide (ou ensemble nul) est un ensemble sans éléments, noté $\emptyset$ ou {}.
• Un ensemble infini possède une infinité d'éléments.
• L'ensemble vide ne possède aucun élément.

Relations entre Ensembles

• A est un sous-ensemble de B si chaque élément de A est aussi un élément de B, noté $A \subseteq B$.
• A est un sous-ensemble propre de B si $A \subseteq B$ et $A \neq B$, noté $A \subset B$.
• Deux ensembles A et B sont égaux s'ils ont les mêmes éléments, noté A = B.
• Une propriété est que $\emptyset \subseteq S$ pour tout ensemble $S$.
• Une propriété est que $S \subseteq S$ pour tout ensemble $S$.
• L'ensemble des parties P(A) est l'ensemble de tous les sous-ensembles d'un ensemble A.
• Si A = {1, 2}, alors P(A) = {$\emptyset$, {1}, {2}, {1, 2}}.
• Si $|A| = n$, alors |P(A)| = $2^n$.

Opérations sur les Ensembles

• L'union de A et B (A ∪ B) est l'ensemble de tous les éléments qui sont soit dans A, soit dans B, soit dans les deux.
• L'intersection de A et B (A ∩ B) est l'ensemble de tous les éléments qui sont à la fois dans A et B.
• La différence de A et B (A - B) est l'ensemble de tous les éléments qui sont dans A mais pas dans B.
• Le complément d'un ensemble A (A') est l'ensemble de tous les éléments dans un ensemble universel U qui ne sont pas dans A.
• Deux ensembles A et B sont disjoints si leur intersection est l'ensemble vide ($A \cap B = \emptyset$).

Diagrammes de Venn

• Les diagrammes de Venn sont des représentations graphiques des ensembles, utilisés pour visualiser les opérations et les relations entre ensembles.
• Dans un diagramme de Venn standard, l'ensemble universel U est représenté par un rectangle.
• Les ensembles sont représentés par des cercles ou d'autres formes à l'intérieur du rectangle.
• Ils representent l'union, l'intersection, la différence et le complément.

Identités Ensemblistes

• Les identités ensemblistes sont des équations qui sont toujours vraies pour tous les ensembles.
• Les lois d'identité: $A \cup \emptyset = A$, $A \cap U = A$
• Les lois de domination: $A \cup U = U$, $A \cap \emptyset = \emptyset$
• Les lois idempotentes: $A \cup A = A$, $A \cap A = A$
• La loi de complémentation : $(A')' = A$
• Les lots commutatifs : $A \cup B = B \cup A$, $A \cap B = B \cap A$
• Les lots associatifs : $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$, $(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C)$
• Les lois distributives : $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$, $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
• Lois de De Morgan : $(A \cup B)' = A' \cap B'$, $(A \cap B)' = A' \cup B'$
• Les lois d'absorption : $A \cup (A \cap B) = A$, $A \cap (A \cup B) = A$
• Lois de complément : $A \cup A' = U$, $A \cap A' = \emptyset$

Algèbre linéaire

• Un espace vectoriel E sur un corps K est défini par deux opérations : l'addition vectorielle et la multiplication scalaire.
• L'addition vectorielle assigne à deux vecteurs u et v leur somme u + v.
• La multiplication scalaire assigne à un scalaire λ et un vecteur u leur produit λ ⋅ u.
• Ces opérations doivent satisfaire des propriétés comme l'associativité, la commutativité, l'existence d'un élément neutre, l'existence d'un inverse additif, la compatibilité et la distributivité.
• Exemples d'espaces vectoriels incluent $\mathbb{R} ^n$, l'espace vectoriel de matrices $M_{m,n}(\mathbb{K})$, l'ensemble des fonctions continues et $\mathbb{C}$ sur $\mathbb{R}$.
• Un sous-ensemble F d'un espace vectoriel E est un sous-espace vectoriel si F est lui-même un espace vectoriel. Une condition nécessaire est que F doit être un sous-ensemble non vide.
• Une combinaison linéaire de vecteurs est un vecteur de la forme : $\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + ... + \lambda_nv_n$.
• L'ensemble de ces combinaisons linéaires est appelé l'étendue Vect ().
• Les vecteurs linéairement indépendants satisfont cette condition : $\lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 + ... + \lambda_nv_n = 0$ implique $\lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_n = 0$
• Une base d'un espace vectoriel E est un ensemble de vecteurs qui sont indépendants et s'étendent sur E. La dimension de E est le nombre de vecteurs dans une base.
• Une application lin´eaire est une fonction entre deux espaces vectoriels T : E-> F qui pr´eserve l'addition et la multiplication lin´eaires.
• Le noyau de T est l'ensemble des vecteurs mappés à zéro, tandis que l'image de T est l'ensemble des images de vecteurs. Le th´eor`eme du rango relie leurs dimensions.
• Les matrices, les transpositions, les matrices d'identit´e et les matrices inversibles sont des op´erations lin´eaires importantes.
• Le d´eterminant est une valeur scalaire d´efinie pour les matrices carr´ees.
• Il a des propri´et´es telles que det(I) = 1, change de signe lors d'un ´echange de lignes et est multiplicatif.
• Une matrice a un inverse si et seulement si son d´eterminant est diff´erent de z´ero.
• Vectors propres satisfont Av = λv pour les valeurs propres λ. Le polin˜ome caract´eristique de A est d´efini comme est un outil fondamental pour la recherche des valeurs propres.
• La diagonalisation consiste `a trouver une matrice P inversible et une matrice diagonale D de sorte que A = PDP−1.

Lecture 26: Echantillonnage

• Dans l’échantillonnage, un signal de temps continu $x(t)$est représenté par un ensemble de numéros discrets.
• Le signal $x(t)$ est échantillonné tous les $T$ secondes tel que $x[n] = x(nT)$.
• $T$ est nommée période d’échantillonnage et que $F_s = \frac{1}{T}$ est nommée fréquence d’échantillonnage.
• La multiplication dans le domaine temporel est une convolution dans le domaine fréquentiel $X_s(f) = X(f) * S(f)$.
• Le spectre du signal échantillonné est le spectre du signal de temps continu d’origine, mis `a l’echelle par $F_s$.
• Le th´eor`eme de Nyquist stipule que $x(t)$peut être recouvré de $x\_s(t)$en utilisant un filtre de passe bas si $Fs > 2 f_m$, où $f_m$est la fr´equence la plus haute dans $x(t)$.
• Si le th´eor`eme de Nyquist n’est pas respect´e, l’aliasing se produit et $x(t)$ne peut plus être recouvré de $x_s(t)$.

Thermodynamique

• La thermodynamique est l'étude de l'énergie, de ses transformations et de sa relation avec la matière.
• Un système est la partie de l'univers à l'étude, tandis que les environs sont tout ce qui est à l'extérieur du système.
• Les systèmes peuvent être isolés, fermés ou ouverts, selon qu'ils autorisent ou non l'échange de matière et d'énergie.
• Les variables d'état (pression, volume, température) définissent l'état d'un système.
• Les processus thermodynamiques décrivent les changements dans l'état du système.
• La loi zéro établit l'équilibre thermique entre les systèmes.
• La première loi stipule que le changement d'énergie interne $\Delta U$est égal à la chaleur ajoutée Q moins le travail effectué W, ou :$\Delta U = Q − W$.
• La deuxième loi indique que l'entropie totale d'un système isolé ne peut qu'augmenter au fil du temps.
• L'entropie est une mesure du désordre du système; Mathématiquement, ΔS ≥ 0.
• La troisième loi stipule que l'entropie d'un système approche une valeur minimale à zéro absolu.
• Les processus thermodynamiques peuvent être isothermes, adiabatiques, isobariques, isochoriques ou cycliques.
• Les moteurs thermiques convertissent l'énergie thermique en travail mécanique et ont une efficacité definie par: η = W/QH = 1 - QC/QH
• Les réfrigérateurs et les pompes à chaleur nécessitent que des travaux transfèrent la chaleur d'un réservoir froid à un réservoir chaud.
• Thermodynamique statistique : Relie les propriétés microscopiques aux propriétés thermodynamiques macroscopiques.
• La distribution de Boltzmann donne la probabilité qu'un système soit dans un certain état en fonction de l'énergie de l'état et de la température.

Cinétique Chimique

• La cinétique chimique, également appelée cinétique de réaction, est l'étude des vitesses de réaction ou des vitesses des processus par lesquels les espèces chimiques réagissent et se transforment.
• Étudie l'influence des conditions expérimentales sur la vitesse des réactions.
• Permets l'élucidation des mécanismes dé réaction.
• Permets l'élucidation de la réaction.
• La cinétique des réactions est applicable dans de nombreux domaines, tels que le génie chimique, la cinétique enzymatique et le génie de l'environnement.
• La vitesse d'une réaction chimique est souvent proprotionnelle a la concentration des reactifs.
• Effectuer une réaction à une température élevée dégage généralement plus d'énergie dans le système qui accélère la réaction.
• L'etat physique d'un réactif, comme l'état solide, liquide ou gazeux sont un facteur de vitesse de reaction important.
• Beaucoup de reactions sont effectuées en solution et la nature du solvant est également un facteur important.
• Les catalyseurs peuvent accélerer une reaction en diminuant la concentration d'énergie nécessaire afin qu'une réaction ait lieu.
• La lumière affectela vitesse de reaction de certaines reactions, particulièrement les reactions photochimiques.
• Pour $aA + bB \rightarrow cC + dD$,La vitesse de réaction peut être exprimée comme : $rate = -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}$
• La Loi de vitesse est une équation liant la vitesse d'une réaction chimique et la concentration des réactifs.
• La expression est rate = k[A]^m[B]^n, ou k est une constante.
• m et n sont des ordres de réactions qui sont individuels avec les reactifs et les produits.
• L'ordre des réactions sont zero, premier, second et ainsi de suite suivant les valeurs de m et n.
• Ce sont des réactions qui sont en une simple étape de formation de reactifs a produits.
• Un mechanisme de reaction est une série de réactions élémentaires décrivant la reaction globale.

Chapitre 14: Ingénierie ontologique

Introduction

• L'ingénierie d'ontologie étudie les principes et les méthodes de développement et de maintenance des ontologies.
• L'ingénierie d'ontologie a pour but de rendre explicite la connaissance intégrée aux applications logicielles et aux procédures d'entreprise.
• Nous avons besoin de l'ingénierie d'ontologie pour le partage et la réutilisation des connaissances.
• Nous avons besoin de l'ingénierie d'ontologie pour un raisonnement et une inférence améliorés.
• Nous avons besoin de l'ingénierie d'ontologie pour une une intégration des données améliorée provenant de des sources différentes et à une gestion des connaissances améliorée.
• Les activités dans le processus de dévloppement d'une ontologie inclus: faisabilité Étude, le lancement, la reutilization, la conceptualisation, la formalisation, l'implantation, l'évaluation, la documentation, la maintenance, et le déploiement.

Méthodologies de développement d'ontologies.

• Plusieurs méthodologies guident le processus d'ontologie développement, chacun avec ses propres forces et faiblesses.
• Méthodologie en cascade : une approche linéaire et séquentielle avec des phases distinctes.
• Méthodologie itérative : une approche incrémentale où l'ontologie est développée en cycles. Méthodologie agile : une approche adaptative qui met l'accent sur la flexibilité et la collaboration.
• Méthodologie : une méthodologie complète qui couvre l'ensemble du cycle de vie de l'ontologie.
• OntoClean : une méthodologie axée sur garantir l'exactitude ontologique d'une ontologie.
• Méthodologie NeOn : une méthodologie basée sur des scénarios où différents cas d'utilisation sont pris en compte.
• Elle présente les technologies dans une structure en couches, partant du bas : Unicode /URI : la base, assurant l'encodage et l'identification des caractères.
• XML + Schéma XML + RDF + Schéma RDF : ces couches fournissent la syntaxe et la structure pour représenter les données et définir les vocabulaires.
• SPARQL : un langage de requête permettant d'extraire et de manipuler les données stockées au format RDF.
• Logique + Preuve + Confiance : ces couches permettent de raisonner, de valider et de faire confiance du World Wide Web.
• Each layer builds upon the layers beneath it, enabling more complex and sophisticated capabilities.

Ten Golden Rules of Ontology Engineering

• Il n'y a pas une seule fa¸con correcte de mod´eliser un domaine.
• Le d´eveloppement d'une ontologie est un processus it´eratif.
• Les classes dans l'ontologie doivent repr´esenter des objets dans le domaine d'int´erˆet.
• Choisir des noms qui sont des mots de langage naturel.
• Il devrait y avoir une classe dont les instances sont toutes les choses mod´elis´ees dans le domaine d'int´erˆet.
• D´efinir les propri´et´es localement. Consid´erer les valeurs de propri´et´es lors de la d´efinition des restrictions de gamme.
• Rendre les propri´et´es transitives seulement si vous le pensez vraiment.
• Documenter, documenter, documenter. Se souvenir que sa tˆache de mod´eliser le monde et pas la logique.

Chemical Principles (Principes Chimiques)

1. 1 Mesure Des Masses Atomiques

• Les atoms sont petits, ainsi la massé est mise au point dans les unités de massé unitaire (amu).
• La définition de l'atome de carbone 12 ayant une masse exact de 12 amu
• Spectromètre de mass une instruments utilisé pour déterminer les masses atomiques.
• Ionise les atomes gazouille et acelère dans une champs magnétique
• le montant de la déflection est relié a la masse, les particules lourdes réflete moins.

1. 2 La taupe

• Les taux de changement unitaires de mesure pour le nombre d’atomes, d’ions, ou de molécule dans une échantillon.
• taux de changement en unités=6.022 $\times$10^23 (nombre d’Avogadro)
• masse molair est utilisé pour peser l'atom en Grammes au sein of un taux de changements simple échantillont.
• Égalent l'atom en amu.
• Example 1 taux de changement unité en 12C c'est la masse de 12 Grammes

1. 3 Pourcentage composit pour Les composit

• Pourcentge de compostion pour les masse pour les composit

• pourcent element(pour les élément égale)(mass pour L’élément DANS 1 taux changement compose divisé par une mass DE 1 tau de changement compose, multiplié fois 100

1. 4 Déterminer une formule pour un composit

• La formule simple la plus simple pour une mass entier
• Peut être déterminer des données de mass
• formuler moulé la forme la plus actuel en plus au plus atom des composit
• Multiple de les formula empiracle
• Formule mole multiplication en la formule empiracle multiplication moulé est égale a formulaire molair

Chapitre 2.1: Pression

• Pression: force par unité de surface : $P = \frac{F}{A}$.
• Unités de pression :
• Pascal : l'unité SI de pression ($1 Pa = 1 N/m^2$).
• Atmosphère : Pression atmosphérique moyenne au niveau de la mer ($1 atm = 101325 Pa$).
• mmHg ou torr : pression supportant une colonne de mercure de 1 mm ($1 atm = 760 mmHg$).

Chapitre 2.2: Définitions des lois de pression

• La pression est une mesure de force par unités d'espace.
• L'unité de standard pour la pression est le pascal, mais peut être dans atmosphère.
• La loi de Boyle déclare que le volume d'un gas et en raison inverse à la pression dans un volume consistant. Déclaré comme $P_1V_1 = P_2V_2$
• La loi de Charles déclare que le volume d'un gas est directement proportionnel à la température Déclaré comme $V_1/T_1 = V_2/T_2$
• La loi d’Avogadro dit que le volume d’un gaz est directement proportionnel au nombre de taupe dans une température et une pression Déclaré comme$V_1/n_1 = V_2/n_2$

Chapitre 2.3: Définitions de loi

• combine ses trois lois

• Loi moulée de Définitions de gas PV = nRT °R: constante gas ○ 0. 08206 L atm / (taupe K)< ○ 8. 314 J / (taupe K)

• Température et une pression moulées: 0°C (273.15 K) et 1 atm.

• À cause de loi il y a une Définitions de pour les trois variable la gas peut utiliser dedans formule gas pour les réactions de Définitions de chimaique.

2.5 La loi de Dalton sur les pressions partielles

• Pression partielle : Pression exercée par chaque gaz dans un mélange.
• Loi de Dalton : La pression totale d'un mélange de gaz est la somme des pressions partielles des gaz composants : $P_{total} = P_1 + P_2 + P_3 +…$
• Le modèle qui explique le comportement des gaz est l'équation de gaz, qui est aussi nomm´e: la Théorie Moléculaire Cinétique des Gas, qui contient des assomptions que

1. le gas consistes dépetites particles.
2. Particle are sont petit que le distance sont aussi petit que le volume n’est pas consider.
3. particles son a force constamment avec un force dé motion constant.
4. Average kinetic energy of the particles is proportional to the absolute temperature.

• Le gas à haut pressions son différentes de les gas idéaux. L’équation Van der Waals qui le remplace pour corriger. $(P + a(n/V)^2) (V - nb) = nRT$ a et b son les constantes de l’équation. a = correcte la pour les attraction de la masse mole. b= correcte sur la mass occupé par les molécules.

Aperu des espaces vectoriels en algbre linaire. Discussion de l'addition vectorielle, de la multiplication scalaire et des axiomes. Exemples incluent $\mathbb{K}^n$ et $M_{m,n}(\mathbb{K})$.