Esercitazione: Derivate

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Questions and Answers

Qual è il significato della funzione derivata f'(x0) nel contesto della retta tangente a una curva?

La funzione derivata f'(x0) rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto x0.

Qual è la formula della derivata del prodotto di due funzioni f(x) e g(x)?

La derivata del prodotto è data da $(fg)’ = f’g + fg’$.

Cosa rappresenta il limite del rapporto incrementale se non esiste o è infinito?

Se il limite non esiste o è infinito, la funzione non è derivabile nel punto considerato.

Qual è la formula della derivata di una funzione $f(x)$ moltiplicata per una costante $k$?

La derivata è data da $(kf)’ = kf’$. Signup and view all the answers

Qual è la derivata della funzione $f(x) = e^x$?

(e^x)' = e^x Signup and view all the answers

Utilizzando la regola della derivata di una funzione composta, qual è la derivata di $f(g(x))$?

(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x) Signup and view all the answers

Come si calcola la derivata della funzione $f(x) = x^n$?

(x^n)' = n x^{n-1} Signup and view all the answers

Qual è il significato del limite del rapporto incrementale nella definizione di derivata?

Il limite del rapporto incrementale rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto x0. Signup and view all the answers

Come si esprime la derivata della somma di due funzioni f(x) e g(x)?

La derivata della somma si esprime come (f ± g)’ = f’ ± g’. Signup and view all the answers

Qual è la formula della derivata del quoziente di due funzioni f(x) e g(x)?

La derivata del quoziente è (f / g)’ = (f’ g − f g’)/g². Signup and view all the answers

Cosa implica il fatto che una funzione non sia derivabile in un punto x0?

Una funzione non è derivabile in un punto x0 se il limite del rapporto incrementale non esiste o è infinito. Signup and view all the answers

Qual è la derivata della funzione f(x) = x³ – 3x + 1?

La derivata è f'(x) = 3x² - 3. Signup and view all the answers

Qual è la derivata della funzione $f(x) = x^3 ln(x)$?

f'(x) = 3x^2 ln(x) + x^2. Signup and view all the answers

Come si esprime la derivata della funzione $f(x) = x ln(x) - x$?

f'(x) = ln(x) + 1 - 1 = ln(x). Signup and view all the answers

Qual è l'equazione della derivata per la funzione $f(x) = x^3 - 2x + cos(x)$?

f'(x) = 3x^2 - 2 - sin(x). Signup and view all the answers

Utilizzando la regola del prodotto, come si calcola la derivata di $f(x) = e^x x^3$?

f'(x) = e^x x^3 + e^x (3x^2) = e^x (x^3 + 3x^2). Signup and view all the answers

Qual è la derivata della funzione $f(x) = e^x x^{-2}$?

f'(x) = e^x x^{-2} + e^x (-2x^{-3}) = e^x (x^{-2} - 2x^{-3}). Signup and view all the answers

Calcola la derivata della funzione $f(x) = 3x^2 + 5x + 4$.

La derivata è $f'(x) = 6x + 5$. Signup and view all the answers

Study Notes

Esercitazione: Derivate

Definizione di funzione derivata: La funzione derivata f'(x₀) di una funzione f(x) in un punto x₀ è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto x₀.
Calcolo della funzione derivata: Il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell'incremento h, nell'ipotesi che tale limite esista e sia finito, definisce la derivata. Altrimenti, la funzione non è derivabile in quel punto.

Alcuni Teoremi

Somma: (f ± g)' = f' ± g'
Prodotto: (fg)' = f'g + fg' e (kf)' = kf'
Quoziente: (f/g)' = (f'g - fg')/g²
Funzioni composte: (f(g))' = f'(g) * g'

Alcuni Esempi di Funzioni e Derivate

f(x) = xⁿ: f'(x) = n x^(n-1)
f(x) = a^x: f'(x) = a^x * ln(a)
f(x) = e^x: f'(x) = e^x
f(x) = log_a(x): f'(x) = (1/x) * log_a(e) oppure f'(x) = 1/(x * ln a)
- f(x) = ln(x): f'(x) = 1/x
f(x) = sen(x): f'(x) = cos(x)
f(x) = cos(x): f'(x) = -sen(x)
f(x) = tg(x): f'(x) = 1/cos²(x)

Esempi di Calcolo Derivate

Sono presentati diversi esempi di funzioni e i relativi calcoli sulla derivata. I calcoli illustrano le formule viste nel paragrafo precedente, applicandole a diverse espressioni matematiche.

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Metti alla prova la tua conoscenza delle derivate con questa esercitazione. Scoprirai come calcolare la derivata di funzioni e applicare i teoremi fondamentali. Rispondi a domande pratiche che coprono vari casi e funzioni derivabili.