Équations Différentielles: Définitions

Équations Différentielles : Définitions et Terminologie

• Une équation différentielle implique les dérivées d'une ou plusieurs variables dépendantes par rapport à une ou plusieurs variables indépendantes.
• Une équation différentielle ordinaire (EDO) a des dérivées par rapport à une seule variable indépendante, par exemple $\frac{dy}{dx} + 5y = e^x$.
• Une équation aux dérivées partielles (EDP) a des dérivées par rapport à plusieurs variables indépendantes, par exemple, $\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} = u$.
• L'ordre d'une équation différentielle est l'ordre de la plus haute dérivée, par exemple, $\frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + y = 0$ est du second ordre.
• Une EDO d'ordre n est linéaire si elle peut être écrite sous la forme $a_n(x)\frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \dots + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)$.
• Une solution explicite exprime la variable dépendante uniquement en termes de la variable indépendante et de constantes, par exemple, $y = f(x)$.
• Une solution implicite est une relation $G(x, y) = 0$ qui définit une solution de manière implicite.
• Une solution particulière est exempte de paramètres arbitraires.
• Une solution générale contient toutes les solutions possibles de l'équation différentielle.

Problèmes de Valeur Initiale

• Un problème de valeur initiale consiste à résoudre une équation différentielle avec des conditions initiales sur la fonction inconnue et ses dérivées en un seul point.
• Exemple de problème de valeur initiale: $\frac{dy}{dx} = f(x, y)$, où $y(x_0) = y_0$.

Modèles Mathématiques

• Les équations différentielles sont utilisées comme modèles mathématiques pour décrire des phénomènes physiques, incluant la croissance de population, la désintégration radioactive, et la loi de refroidissement de Newton.

Équations Différentielles du Premier Ordre

• Le chapitre 2 se concentre sur les techniques de résolution des EDO du premier ordre.
• Les méthodes incluent les équations séparables, les équations linéaires, les équations exactes et les techniques de substitution.

Concepts de Base de l'Algèbre Linéaire

Vecteurs

• Un vecteur est défini par une magnitude (taille/longueur) et une direction.

Espace Vectoriel

• Un espace vectoriel est un ensemble de vecteurs où l'addition vectorielle et la multiplication scalaire sont définies.
• Ces opérations doivent respecter huit règles spécifiques.

Exemples d'Espaces Vectoriels

• Exemples : $\mathbb{R}^n$ (vecteurs de n nombres réels), matrices $m×n$, polynômes de degré ≤ n, fonctions continues de $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.

Sous-Espace Vectoriel

• Définition : un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel.
• Pour vérifier qu'un sous-ensemble est un espace vectoriel, il faut vérifier trois conditions: l'élément zéro est dans le sous-ensemble, le sous-ensemble est fermé sous l'addition vectorielle, et le sous-ensemble est fermé sous la multiplication scalaire.

Combinaison Linéaire

• Un vecteur est formé en multipliant des vecteurs par des scalaires et en les additionnant.

Portée (Span)

• L'ensemble de toutes les combinaisons linéaires possibles d'une collection de vecteurs.

Vecteurs Linéairement Indépendants

• Un ensemble de vecteurs où aucun vecteur ne peut être exprimé par une combinaison linéaire des autres vecteurs.

Base

• Une collection de vecteurs linéairement indépendants qui couvrent l'espace vectoriel.

Dimension

• Le nombre de vecteurs qui sont dans une base.

Rang

• La dimension de l'espace vectoriel engendré par les colonnes d'une matrice.

Transformations Linéaires

Définition

• Une transformation linéaire préserve l'addition vectorielle et la multiplication scalaire entre deux espaces vectoriels.

Comment vérifier?

• $T(u + v) = T(u) + T(v)$ et $T(cv) = cT(v)$.

Représentation Matricielle

• Une transformation linéaire peut être représentée par une matrice.

Noyau (Kernel)

• L'ensemble des vecteurs qui sont transformés en le vecteur zéro.

Image (Image)

• L'ensemble de tous les vecteurs qui peuvent être obtenus en transformant les vecteurs de l'espace vectoriel de départ.