Équation d’Euler - Fluides en rotation

L'accélération linéaire d'une particule dans un fluide en rotation est le résultat du changement de direction de la vitesse de chaque particule.

L'intégration de l'équation d'Euler par rapport à r donne la variation de pression en écoulement tournant : $p = p_0 - \gamma z + \frac{1}{2}\rho r^2 \omega^2$, où $p_0$ est la pression à $(r,z) = (0,0)$.

La rotation du réservoir cylindrique induit une déformation de la surface du liquide, qui passe d'un niveau horizontal (ligne AA) à une forme parabolique (ligne A'A').

<p>La différence de hauteur $h$ entre la surface du liquide avant et après la rotation du réservoir est donnée par l'équation $h = \frac{r^2 \omega^2}{2g}$, où $r$ est le rayon du réservoir et $\omega$ la vitesse angulaire de rotation.</p> Signup and view all the answers

<p>Selon la deuxième loi de Newton, les forces agissant sur une particule fluide en rotation sont la force de pression, la force de gravité et la force centrifuge.</p> Signup and view all the answers

<p>La rotation du réservoir induit une variation de pression dans le fluide, qui n'est plus uniforme mais suit une distribution parabolique en fonction de la position radiale $r$ : $p = p_0 - \gamma z + \frac{1}{2}\rho r^2 \omega^2$.</p> Signup and view all the answers

<p>La diffrence d'lvation est donne par l'quation : $h = rac{v^2}{2g}(r_2^2 - r_1^2)$, o $r_1$ est le rayon au centre du rservoir et $r_2$ est le rayon au niveau des murs.</p> Signup and view all the answers

<p>Lorsque le tube tourne, la pression aux deux points reste atmosphrique, donc les termes de pression s'annulent dans l'quation d'Euler. La diffrence de niveau d'eau entre les points 1 et 2 est alors donne par $h = rac{v^2}{2g}(r_2^2 - r_1^2)$, o $v = 8$ rad/s, $r_1$ est le rayon au point 1 et $r_2$ est le rayon au point 2.</p> Signup and view all the answers

<p>La distance restante de 3 cm jusqu'au bord de la tasse doit tre gale la distance $h/2$ de la Fig. 6. Donc $h = 6$ cm et la vitesse angulaire requise est $ ext{w} = ext{sqrt}{{2gh}/{r^2}}$, o $g$ est l'acclration gravitationnelle et $r$ est le rayon de la tasse.</p> Signup and view all the answers

<p>La pression relative au point A est donne par l'quation d'Euler : $p_A = p_0 + ho g h - rac{1}{2} ho ext{w}^2 r^2$, o $p_0$ est la pression atmosphrique, $ ho$ est la masse volumique du caf, $g$ est l'acclration gravitationnelle, $h$ est la hauteur du caf, $ ext{w}$ est la vitesse angulaire et $r$ est le rayon de la tasse.</p> Signup and view all the answers

<p>Selon l'quation d'Euler, l'acclration linaire d'un fluide en rotation se traduit par un terme de pression centrifuge $-rac{1}{2} ho ext{w}^2 r^2$, o $ ho$ est la masse volumique du fluide, $ ext{w}$ est la vitesse angulaire et $r$ est la distance radiale. Ce terme de pression centrifuge s'ajoute la pression hydrostatique $ ho gh$ pour donner la pression totale dans le fluide en rotation.</p> Signup and view all the answers

<p>Selon la deuxime loi de Newton, la force nette agissant sur un lment de fluide en rotation est gale sa masse multiplie par son acclration. Dans le cas d'un fluide en rotation, cette acclration comprend la fois l'acclration gravitationnelle $g$ et l'acclration centrifuge $ ext{w}^2 r$. La force de pression agissant sur l'lment de fluide doit donc quilibrer cette force nette conformment la deuxime loi de Newton.</p> Signup and view all the answers

<p>L'quation d'Euler pour les fluides en rotation s'crit : $p_2 - p_1 = - ho a_r ext{delta} r$, o $p_2 - p_1$ est la diffrence de pression entre deux points, $\rho$ est la masse volumique du fluide, $a_r$ est l'acclration radiale des particules et $\text{delta} r$ est la distance radiale entre les deux points.</p> Signup and view all the answers

<p>La rotation du rservoir cylindrique cre un gradient de pression dans la direction radiale d l'acclration centrifuge des particules fluides. La pression est plus leve prs de la paroi du rservoir et diminue vers le centre.</p> Signup and view all the answers

<p>La diffrence de hauteur $\Delta h$ entre la surface du liquide avant et aprs la rotation du rservoir est donne par : $\Delta h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$, o $\omega$ est la vitesse angulaire de rotation, $R$ est le rayon du rservoir et $g$ est l'acclration gravitationnelle.</p> Signup and view all the answers

<p>Selon la deuxime loi de Newton, les forces agissant sur une particule fluide en rotation sont : la force de pression, la force de gravit et la force d'inertie (acclration centrifuge).</p> Signup and view all the answers

<p>L'quation d'Euler $\nabla p = -\rho \vec{a}$ permet de relier le gradient de pression dans le fluide en rotation l'acclration des particules fluides, en particulier l'acclration centrifuge due la rotation.</p> Signup and view all the answers

<p>L'acclration linaire d'une particule dans un fluide en rotation est l'acclration centrifuge, donne par $a_r = \omega^2 r$, o $\omega$ est la vitesse angulaire de rotation et $r$ est le rayon de la particule par rapport l'axe de rotation.</p> Signup and view all the answers