Ensembles et leurs propriétés

Ensembles

• Un ensemble est une collection d'objets distincts appelés éléments.
• Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments qu'il contient.
• On peut définir un ensemble par extension (lister les éléments) ou par compréhension (donner une propriété commune).
• Relation d'appartenance: x ∈ A signifie que l'élément x appartient à l'ensemble A.
• Ensemble vide: L'ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément.
• Inclusion: A ⊆ B signifie que tous les éléments de A sont aussi des éléments de B.

Ensembles usuels

• Entiers naturels: N = {0, 1, 2, 3,...}

• Entiers relatifs: Z = {...− 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4...}

• Nombres décimaux: D = { n/10^p , p ∈ Z, n ∈ N}

• Nombres rationnels: Q = { p/q , p ∈ Z, q ∈ Z - {0} }

• Nombres réels: R

• Relations d'inclusion*:

• N ⊂ Z (les entiers naturels sont inclus dans les entiers relatifs)

• Z ⊂ D

• D ⊂ Q

• Q ⊂ R

Ensemble des parties

• Ensemble des parties: L'ensemble des parties de A, noté P(A), contient tous les sous-ensembles de A.
• ∅ ∈ P(A) car l'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble.
• A ∈ P(A) car A est un sous-ensemble de lui-même.

Opérations sur les ensembles

• Union: A ∪ B contient tous les éléments qui appartiennent à A ou à B.
• Intersection: A ∩ B contient tous les éléments qui appartiennent à A et à B.
• Complémentaire: Aᶜ contient tous les éléments de l'univers Ω qui n'appartiennent pas à A.
• Différence: A \ B contient tous les éléments de A qui n'appartiennent pas à B.
• Différence symétrique: A △ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) contient les éléments qui appartiennent à A ou B mais pas à leur intersection.
• Produit cartésien: A × B contient tous les couples possibles où le premier élément est dans A et le deuxième dans B.

Propriétés des ensembles

• Idémpotence: A = A
• Lois de De Morgan:
  • A ∩ B = (A ∪ B)ᶜ
  • A ∪ B = (A ∩ B)ᶜ
• Lois d'absorption:
  • A ∪ A = A
  • A ∩ A = A
• Commutativité:
  • A ∪ B = B ∪ A
  • A ∩ B = B ∩ A
• Élément neutre:
  • A ∪ ∅ = A
  • A ∩ Ω = A
• Associativité:
  • A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
  • A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Intervalles dans R

• Un intervalle est un sous-ensemble de R qui contient tous les nombres réels entre deux bornes.

• Borné: Un intervalle est dit borné s'il a une borne supérieure et une borne inférieure finies.

• Fermé: Un intervalle est fermé en une borne si cette borne est incluse dans l'intervalle.

• Ouvert: Un intervalle est ouvert en une borne si cette borne est exclue de l'intervalle.

• Intervalles bornés:*

• [a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b}

• ]a, b[ = {x ∈ R| a < x < b}

• [a, b[ = {x ∈ R| a ≤ x < b}

• ]a, b] = {x ∈ R| a < x ≤ b}

• Intervalles non bornés:*

• ] − ∞, b[ = {x ∈ R| x < b}

• ] − ∞, b] = {x ∈ R| x ≤ b}

• [a, + ∞[ = {x ∈ R| x ≥ a}

• ]a, + ∞[ = {x ∈ R| x > a}

Valeur absolue

• Définition: La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est la distance entre l'origine 0 et le point x sur la droite graduée.

• |x| = x si x ≥ 0

• |x| = -x si x ≤ 0

• Propriétés de la valeur absolue:*

• |−x| = |x| pour tout x réel.

• x ≤ |x| et −x ≤ |x| pour tout x réel.

• Inégalité triangulaire: |x + y| ≤ |x| + |y| pour x et y réels.

• Équation: |x| = |y| équivaut à x = y ou x = −y pour x et y réels.

• Produit: |xy| = |x||y| pour tout x et y réels.

• Inéquation: |x| > |y| équivaut à x² > y².

• Racine carrée: √(x²) = |x|.