Ensembles et leurs propriétés

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Questions and Answers

Quel est le terme utilisé pour désigner le nombre d'éléments dans un ensemble fini ?

Nombre d'éléments

Cardinal de l'ensemble (correct)

Taille de l'ensemble

Volume des éléments

Comment note-t-on l'appartenance d'un élément x à un ensemble A ?

x ∉ A

x ⊆ A

A ∈ x

x ∈ A (correct)

Quel ensemble est noté N dans les ensembles connus ?

Ensemble des entiers naturels (correct)

Ensemble des nombres rationnels

Ensemble des entiers relatifs

Ensemble des nombres réels

Quel est le sous-ensemble de Z ?

L'ensemble des entiers naturels Signup and view all the answers

Quelle est la caractéristique de l'ensemble vide ?

Il n'a aucun élément Signup and view all the answers

Quel est le symbole pour l'ensemble des parties d'un ensemble A ?

P(A) Signup and view all the answers

Parmi les ensembles suivants, lequel n'est pas un ensemble de nombres rationnels ?

2 Signup and view all the answers

Quelle est la définition de l'union d'ensembles A et B?

L'ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B. Signup and view all the answers

Comment note-t-on l'intersection de deux ensembles A et B?

A ∩ B Signup and view all the answers

Quelle est la définition de la différence de A et B?

L'ensemble des éléments de A qui n'appartiennent pas à B. Signup and view all the answers

Quel est le complémentaire de A dans Ω?

L'ensemble des éléments de Ω qui n'appartiennent pas à A. Signup and view all the answers

Quel est le résultat de l'opération A △ B?

(A ∪ B) (A ∩ B) Signup and view all the answers

Quelle propriété affirme qu'A ∪ 0/ = A?

L'élément neutre pour l'union. Signup and view all the answers

Comment s'appelle un élément M qui est un majorant d'un ensemble E?

Borne supérieure Signup and view all the answers

Quel est un exemple d'ensemble borné?

{n ∈ N, n < 10} Signup and view all the answers

Quel est l'intervalle qui est fermé à droite et ouvert à gauche ?

]a, b] Signup and view all the answers

Quelle est la forme d'un intervalle non borné ouvert à gauche ?

]a, +∞[ Signup and view all the answers

Quel énoncé est vrai concernant les opérations sur les intervalles ?

[−4, 4] ∩ [4, 5] = {4} Signup and view all the answers

Selon la définition de la valeur absolue, quelle expression est correcte ?

|x| = x si x ≥ 0 Signup and view all the answers

Quelle propriété des valeurs absolues est correcte ?

|−x| = |x| pour tout x réel Signup and view all the answers

Quel est le résultat de l'inégalité triangulaire pour x = 3 et y = -4 ?

|3 + (−4)| ≤ |3| + |−4| Signup and view all the answers

Quelle est la distance entre les points A et B avec des abscisses a et b ?

|b - a| Signup and view all the answers

Si a < b, quel est le type de l'intervalle [a, b[ ?

fermé à gauche, ouvert à droite Signup and view all the answers

Study Notes

Ensembles

Un ensemble est une collection d'objets distincts appelés éléments.
Le cardinal d'un ensemble est le nombre d'éléments qu'il contient.
On peut définir un ensemble par extension (lister les éléments) ou par compréhension (donner une propriété commune).
Relation d'appartenance: x ∈ A signifie que l'élément x appartient à l'ensemble A.
Ensemble vide: L'ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément.
Inclusion: A ⊆ B signifie que tous les éléments de A sont aussi des éléments de B.

Ensembles usuels

Entiers naturels: N = {0, 1, 2, 3,...}
Entiers relatifs: Z = {...− 3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4...}
Nombres décimaux: D = { n/10^p , p ∈ Z, n ∈ N}
Nombres rationnels: Q = { p/q , p ∈ Z, q ∈ Z - {0} }
Nombres réels: R
Relations d'inclusion*:
N ⊂ Z (les entiers naturels sont inclus dans les entiers relatifs)
Z ⊂ D
D ⊂ Q
Q ⊂ R

Ensemble des parties

Ensemble des parties: L'ensemble des parties de A, noté P(A), contient tous les sous-ensembles de A.
∅ ∈ P(A) car l'ensemble vide est un sous-ensemble de tout ensemble.
A ∈ P(A) car A est un sous-ensemble de lui-même.

Opérations sur les ensembles

Union: A ∪ B contient tous les éléments qui appartiennent à A ou à B.
Intersection: A ∩ B contient tous les éléments qui appartiennent à A et à B.
Complémentaire: Aᶜ contient tous les éléments de l'univers Ω qui n'appartiennent pas à A.
Différence: A \ B contient tous les éléments de A qui n'appartiennent pas à B.
Différence symétrique: A △ B = (A ∪ B) \ (A ∩ B) contient les éléments qui appartiennent à A ou B mais pas à leur intersection.
Produit cartésien: A × B contient tous les couples possibles où le premier élément est dans A et le deuxième dans B.

Propriétés des ensembles

Idémpotence: A = A
Lois de De Morgan:
- A ∩ B = (A ∪ B)ᶜ
- A ∪ B = (A ∩ B)ᶜ
Lois d'absorption:
- A ∪ A = A
- A ∩ A = A
Commutativité:
- A ∪ B = B ∪ A
- A ∩ B = B ∩ A
Élément neutre:
- A ∪ ∅ = A
- A ∩ Ω = A
Associativité:
- A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
- A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

Intervalles dans R

Un intervalle est un sous-ensemble de R qui contient tous les nombres réels entre deux bornes.
Borné: Un intervalle est dit borné s'il a une borne supérieure et une borne inférieure finies.
Fermé: Un intervalle est fermé en une borne si cette borne est incluse dans l'intervalle.
Ouvert: Un intervalle est ouvert en une borne si cette borne est exclue de l'intervalle.
Intervalles bornés:*
[a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b}
]a, b[ = {x ∈ R| a < x < b}
[a, b[ = {x ∈ R| a ≤ x < b}
]a, b] = {x ∈ R| a < x ≤ b}
Intervalles non bornés:*
] − ∞, b[ = {x ∈ R| x < b}
] − ∞, b] = {x ∈ R| x ≤ b}
[a, + ∞[ = {x ∈ R| x ≥ a}
]a, + ∞[ = {x ∈ R| x > a}

Valeur absolue

Définition: La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est la distance entre l'origine 0 et le point x sur la droite graduée.
|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x ≤ 0
Propriétés de la valeur absolue:*
|−x| = |x| pour tout x réel.
x ≤ |x| et −x ≤ |x| pour tout x réel.
Inégalité triangulaire: |x + y| ≤ |x| + |y| pour x et y réels.
Équation: |x| = |y| équivaut à x = y ou x = −y pour x et y réels.
Produit: |xy| = |x||y| pour tout x et y réels.
Inéquation: |x| > |y| équivaut à x² > y².
Racine carrée: √(x²) = |x|.

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Description

Ce quiz porte sur les ensembles, leurs éléments et les relations entre eux. Vous explorerez des concepts tels que le cardinal d'un ensemble, l'inclusion et les différents types d'ensembles. Testez vos connaissances sur les ensembles usuels et l'ensemble des parties.