Recent Lessons

Show all results for ""

Feature Overview

Ace your exams with our all-in-one platform for creating and sharing quizzes and tests.

Quizzes

Create quizzes and tests automatically from your content using AI.

Flashcards

Automatically turn your notes into digital flashcards.

Share, Export & Embed

Share with classmates or export to Excel and your learning management system.

Stats & Reporting

Auto-grading quizzes and tests with detailed stats and reports.

Mobile Apps

The smarter way to study – wherever you are.

Pricing

Search...

Endomorphisms and Isomorphisms of Groups

16 Questions

3 Views

Endomorphisms and Isomorphisms of Groups

Choose a study mode

Play Quiz

Study Flashcards

Spaced Repetition

Chat to lesson

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Qu'est-ce qu'un endomorphisme d'un groupe ?

Une application qui mappe un groupe sur lui-même (correct)

Une application qui mappe un groupe sur un autre groupe différent

Une application qui mappe un groupe sur un groupe abélien

Une application qui mappe un groupe sur un sous-groupe

Quelle condition doit remplir un morphisme de groupes pour être considéré comme un isomorphisme ?

Doit être injectif

Doit être surjectif

Doit être commutatif

Doit être bijectif (correct)

Que signifie-t-il si deux groupes (G, ∗) et (G0 , T) sont isomorphes ?

Ils ont la même structure de groupe (correct)

Ils ont la même taille

Ils ont les mêmes éléments

Ils ont la même opération binaire

Quel est le noyau d'un morphisme de groupes f : (G, ∗) → (G0 , T) noté Ker(f) ?

{e} Signup and view all the answers

Que représente Im(f) dans le contexte des morphismes de groupes ?

L'ensemble des éléments de G0 qui sont envoyés par f Signup and view all the answers

Quelle affirmation est vraie sur les morphismes de groupes ?

La composée de deux isomorphismes de groupes est un isomorphisme de groupes. Signup and view all the answers

Selon la Proposition 1.46, que peut-on dire de l'ensemble Aut(G) des automorphismes de groupe de G ?

Il est un groupe pour la composition. Signup and view all the answers

Quelle condition est nécessaire si f est injectif ?

Kerf ⊆ {e} Signup and view all the answers

Que signifie l'isomorphisme entre G et G0 ?

G et G0 sont isomorphes, c'est-à-dire qu'il existe un isomorphisme de groupes entre eux. Signup and view all the answers

Quelle proposition est vraie concernant les automorphismes d'un groupe G ?

Un automorphisme doit être un homomorphisme mais pas nécessairement bijectif. Signup and view all the answers

Que signifie l'ensemble Aut(G) des automorphismes d'un groupe G ?

Il contient les automorphismes et les endomorphismes du groupe G. Signup and view all the answers

Quelle est la condition nécessaire pour que H ∪ K soit un sous-groupe de G ?

H ⊂ K ou K ⊂ H Signup and view all the answers

Quel est un exemple de morphisme de groupes selon le texte ?

f : (R, +) → (R∗+ , ×), x 7→ f(x) = ex Signup and view all the answers

Pourquoi 2Z ∪ 3Z n'est pas un sous-groupe de G selon le texte ?

Parce qu'il n'est pas stable par l'addition. Signup and view all the answers

Que signifie un morphisme de groupes selon la définition donnée ?

Une application entre deux groupes qui préserve la multiplication interne. Signup and view all the answers

Selon le texte, pourquoi est-il important que H ∪ K soit stable par l'opération ∗ ?

Pour assurer la fermeture du groupe. Signup and view all the answers