16 Questions
Qu'est-ce qu'un endomorphisme d'un groupe ?
Une application qui mappe un groupe sur lui-même
Quelle condition doit remplir un morphisme de groupes pour être considéré comme un isomorphisme ?
Doit être bijectif
Que signifie-t-il si deux groupes (G, ∗) et (G0 , T) sont isomorphes ?
Ils ont la même structure de groupe
Quel est le noyau d'un morphisme de groupes f : (G, ∗) → (G0 , T) noté Ker(f) ?
{e}
Que représente Im(f) dans le contexte des morphismes de groupes ?
L'ensemble des éléments de G0 qui sont envoyés par f
Quelle affirmation est vraie sur les morphismes de groupes ?
La composée de deux isomorphismes de groupes est un isomorphisme de groupes.
Selon la Proposition 1.46, que peut-on dire de l'ensemble Aut(G) des automorphismes de groupe de G ?
Il est un groupe pour la composition.
Quelle condition est nécessaire si f est injectif ?
Kerf ⊆ {e}
Que signifie l'isomorphisme entre G et G0 ?
G et G0 sont isomorphes, c'est-à-dire qu'il existe un isomorphisme de groupes entre eux.
Quelle proposition est vraie concernant les automorphismes d'un groupe G ?
Un automorphisme doit être un homomorphisme mais pas nécessairement bijectif.
Que signifie l'ensemble Aut(G) des automorphismes d'un groupe G ?
Il contient les automorphismes et les endomorphismes du groupe G.
Quelle est la condition nécessaire pour que H ∪ K soit un sous-groupe de G ?
H ⊂ K ou K ⊂ H
Quel est un exemple de morphisme de groupes selon le texte ?
f : (R, +) → (R∗+ , ×), x 7→ f(x) = ex
Pourquoi 2Z ∪ 3Z n'est pas un sous-groupe de G selon le texte ?
Parce qu'il n'est pas stable par l'addition.
Que signifie un morphisme de groupes selon la définition donnée ?
Une application entre deux groupes qui préserve la multiplication interne.
Selon le texte, pourquoi est-il important que H ∪ K soit stable par l'opération ∗ ?
Pour assurer la fermeture du groupe.
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