Endomorphisme: Valeurs et Polynôme Caractéristique

Éléments propres d'un endomorphisme

• Une valeur propre λ d'un endomorphisme u est un scalaire tel qu'il existe un vecteur non nul x tel que u(x) = λx.
• Un vecteur propre x d'un endomorphisme u est un vecteur non nul tel qu'il existe un scalaire λ tel que u(x) = λx.
• Le spectre d'un endomorphisme est l'ensemble de ses valeurs propres.
• Un sous-espace propre Eλ d'un endomorphisme u est l'ensemble des vecteurs x tels que u(x) = λx.
• Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre.
• La somme des sous-espaces propres est directe.

Polynôme caractéristique d'un endomorphisme en dimension finie

• Le polynôme caractéristique χu(λ) d'un endomorphisme u en dimension finie est défini par det(λId - u).
• Si A est la matrice représentative de u dans une base B, alors χu(λ) = det(A - λI).
• Les valeurs propres de u sont les racines de son polynôme caractéristique.
• Le polynôme caractéristique est de degré n et peut s'écrire sous la forme χu(λ) = λn - tr(u)λn-1 + ... + (-1)ndet(u).
• Un endomorphisme de dimension finie admet au plus n valeurs propres.
• Si λ₁, ..., λn sont les racines du polynôme caractéristique, alors tr(u) = Σλi et det(u) = Πλi.

Éléments propres et polynôme caractéristique d'une matrice carrée

• Une valeur propre λ d'une matrice carrée A est un scalaire tel qu'il existe un vecteur non nul X tel que AX = λX.
• Un vecteur propre X d'une matrice carrée A est un vecteur non nul tel qu'il existe un scalaire λ tel que AX = λX.
• Le spectre d'une matrice carrée A est l'ensemble de ses valeurs propres.
• Le spectre réel d'une matrice réelle est inclus dans son spectre complexe.
• Le polynôme caractéristique χA(λ) d'une matrice carrée A est défini par det(λI - A).
• Les valeurs propres d'une matrice A comme élément de Mn(K) sont les valeurs propres de l'endomorphisme canoniquement associé à A.
• Deux matrices semblables ont le même spectre.

Diagonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées

• Un endomorphisme u est diagonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est diagonale.
• Une matrice A est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.
• Un endomorphisme u est diagonalisable s'il existe une base de vecteurs propres de u, si E est la somme directe des sous-espaces propres de u, ou si la matrice représentative de u dans une base quelconque de E est diagonalisable.
• Si u est diagonalisable, son polynôme caractéristique est scindé sur K, mais la réciproque n'est pas toujours vraie.
• Pour une matrice diagonalisable A, il existe une matrice inversible P telle que D = P-1AP, où D est une matrice diagonale.
• Si le polynôme caractéristique d'un endomorphisme est scindé dans K et à racines simples, alors il est diagonalisable et tous ses sous-espaces propres sont de dimension 1.
• Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si la somme des dimensions de ses sous-espaces propres est égale à la dimension de l'espace vectoriel E.
• La dimension d'un sous-espace propre est inférieure ou égale à la multiplicité de la valeur propre correspondante.
• Un endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique Xu est scindé sur K et si chaque sous-espace propre de u a pour dimension la multiplicité de la valeur propre correspondante.
• Si A est diagonalisable, Ak = PDKP-1 pour tout k ∈ N.

Trigonalisation des endomorphismes en dimension finie et des matrices carrées

• Un endomorphisme u est trigonalisable s'il existe une base dans laquelle sa matrice est triangulaire supérieure.
• Une matrice A est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
• Un endomorphisme u est trigonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé sur K.
• Toute matrice de Mn(C) est trigonalisable.
• Si A est diagonalisable ou trigonalisable, les éléments diagonaux d'une matrice triangulaire ou diagonale semblable à A sont les valeurs propres de A, chacune répétée avec sa multiplicité.

Sous-espaces vectoriels stables par un endomorphisme

• Un sous-espace vectoriel F est stable par u si u(F) ⊂ F.
• Si uov = vou, alors Im(u) et ker(u) sont stables par v.
• Pour x ≠ 0, la droite Vect(x) est stable si et seulement si x est un vecteur propre de u.
• F est stable par u si et seulement si, dans toute base Bo de E adaptée à F.
• La matrice est de la forme mat(u, Bo).

Polynômes d'endomorphisme, de matrice carrée

• P est un polynôme d'endomorphisme. Si A est la matrice représentative de u dans une base B de E, P(A) est la matrice représentative de P(u) dans cette même base B.
• Les sous-espaces vectoriels Im(P(u)) et ker(P(u)) sont stables par u.
• (λP + μQ)(u) = λP(u) + μQ(u) et (P.Q)(u) = P(u)oQ(u).
• P est un polynôme annulateur d'un endomorphisme ou d'une matrice carrée si P(u) = 0.
• Tout endomorphisme u d'un espace vectoriel de dimension finie admet un polynôme annulateur non nul.
• Pour tout polynôme P de K[X], et toute valeur propre λ de u, P(λ) est valeur propre de P(u).
• Le polynôme caractéristique de u est un polynôme annulateur de u.
• L'endomorphisme u est diagonalisable si et seulement si u admet un polynôme annulateur scindé à racines simples dans K.
• Si F est un sous-espace vectoriel stable par u , l'endomorphisme induit par u dans F est aussi diagonalisable.