Elektrische Potentiële Energie

Elektrische Potentiële Energie

• Het behoud van energie vereist de introductie van elektrische potentiële energie voor de Coulomb-interactie
• Dit is van toepassing op conservatieve krachten
• De verandering in potentiële energie tussen twee punten is gelijk aan min de arbeid die door de conservatieve kracht wordt geleverd: ΔU = -W
• Een deeltje met lading q in een homogeen elektrisch veld tussen twee evenwijdige platen met tegengestelde lading wordt versneld van punt a) naar punt b), waarbij het E-veld arbeid levert

Elektrische Potentiële Energie, Vervolg

• Voor beweging over een afstand d geldt: W = Fd = qEd
• Het verschil in potentiële energie is het negatieve van de geleverde arbeid: Ub - Ua = -W = -qEd
• Er is een afname van de potentiële energie U (ΔU is negatief) en een toename van kinetische energie K
• Potentiële energie wordt omgezet in kinetische energie, terwijl de totale energie behouden blijft
• Voor een negatieve lading is de potentiële energie het grootst bij de negatief geladen plaat
• Alleen het verschil in potentiële energie heeft fysieke betekenis

Elektrische Potentiaal en Potentiaalverschil

• Een elektrische potentiaal kan worden geassocieerd met de potentiële energie per eenheid van lading
• Als een positieve testlading q een potentiële energie Ua heeft in punt a, dan is de potentiaal in a gelijk aan Va = Ua/q
• Net als bij potentiële energie is alleen het potentiaalverschil van fysieke betekenis
• Voor de beweging van a naar b geldt voor het potentiaalverschil: Vba = Vb − Va = ΔV = -(Ub − Ua)/q = -Wba/q
• Net als het elektrisch veld, hangt de elektrische potentiaal af van de bronladingen en niet van de testlading

Elektrische Potentiaal en Potentiaalverschil, Vervolg 1

• Een positieve lading beweegt van hogere naar lagere potentiaal, een negatieve lading doet het omgekeerde
• De eenheid van potentiaal en potentiaalverschil is de Volt (V), genoemd naar Alessandro Volta, de uitvinder van de elektrische batterij
• 1 Volt is gelijk aan 1 Joule per Coulomb: 1V = 1 J/C

Elektrische Potentiaal en Potentiaalverschil, Vervolg 2

• Omdat potentiaal alleen op een constante na bepaald is, moet altijd een referentie gekozen worden
• Aarding wordt vaak gebruikt als 0 referentiepunt (V=0)
• Oneindig wordt ook vaak gebruikt als 0 referentiepunt (V=0)
• Deze twee keuzes zijn verbonden omdat de aarde zich uitstrekt tot oneindig

Elektrische Potentiaal en Potentiaalverschil, Vervolg 3

• De verandering in potentiële energie van een lading q is te berekenen uit de verandering in potentiaal tussen de punten a en b: ΔU = Ub - Ua = q(Vb - Va) = qVba
• Voor positieve ladingen hebben ΔU en ΔV hetzelfde teken, voor negatieve ladingen een tegengesteld teken
• Een lading van +2 C wint 12 J potentiële energie bij beweging tussen de punten b en a (van de negatieve naar de positieve plaat).
• Een lading van -2 C verliest 12 J potentiële energie bij beweging van b naar a.

Elektrische Potentiaal en Potentiaalverschil, Vervolg 4

• Analogie met zwaartekracht
• De potentiële energie van een object met massa m op hoogte h, is gegeven door: Epot = mgh
• De totale kinetische energie die kan worden bereikt en de arbeid die kan worden verricht, hangen af van de hoogte h en de massa m

Elektrische Potentiaal en Potentiaalverschil, Vervolg 5

• Er is een dubbele afhankelijkheid, nu van het potentiaalverschil ΔV (komt overeen met de hoogte h) en van de lading q (komt overeen met de massa m)
• Lading kan positief(+) of negatief(-) zijn, massa is altijd positief(+)
• In plaats van potentiaalverschil wordt vaak spanning of voltage gebruikt

Elektrische Potentiaal en Potentiaalverschil, Vervolg 6

• Een batterij levert een potentiaalverschil, de energie is afhankelijk van hoeveel lading stroomt en het potentiaalverschil
• Een 12V auto-batterij levert bijvoorbeeld 60 J energie wanneer 5.0 C lading door de lamp loopt (5.0 C × 12.0 V = 60 J)
• De chemische energie in de batterij wordt omgezet in elektrische energie, wat vervolgens wordt omgezet in licht en warmte
• In een kathodestraalbuis, elektronen worden versneld door het potentiaalverschil tussen twee platen
• Uit behoud van energie volgt: ΔK = -ΔU, dus v = √(2qVba/m)

Verband Tussen Potentiaal en Veld

• In hoofdstuk 8 werd de relatie tussen een conservatieve vector en de potentiele energie vastgelegd: Ub - Ua = - ∫ F ⋅ dl
• Het is makkelijker om met getallen te rekenen dan met vectoren, daarom word de verband tussen potentiaalverschil en electrische-veldvector gezocht: Vb - Va = - ∫ E ⋅ dl

Berekenen Van De Potentiaal

• Potentiaal is makkelijk voor een homogeen electrisch veld, zoals tussen twee parallelle platen: Vba = Vb − Va = - ∫ E ⋅ dl = -Ed.
• Verloop van de potentiaal voor een sferische geleider met positieve lading Q als functie van de afstand te berekenen
• Eletrisch veld binnenin de sfeer is nul, lading Q zit aan de buitenkant

Berekenen van de Potentiaal, Vervolg 1

• Voor een positieve lading is het veld radiaal naar buiten gericht
• De wet van Gauss voor een sferisch oppervlak met straal r om de straal ro berekend: E= Q/ 4πε0 r^2
• Het berekende veld wordt geintergreerd, waarbij de radiële richting met dl // E: Vb− Va =−∫ E⋅dl =− Q/ 4πε0∫ dr/r2

Berekenen van de Potentiaal, Vervolg 2

• Als referentie wordt Vb = 0 gekozen voor rb → ∞
• Potentiaal voor elk punt buiten de geleidende sfeer (r> ro): V= Q/ 4πε0 r
• De manier waarop het veld gerelateerd aan 1/r geld ook voor een puntlading
• De potentiaal is Q/ 4πε0 r0, bij r = r0
• Alle punten binnen de sfeer zijn op dezelfde potentiaal, de integraal hiervan is eveneens nul

Berekenen van de Potentiaal, Vervolg 3

• Het verloop van het veld en de potentiaal worden grafisch weergegeven
• Bij r = r0 is een sprong in het veld, maar het verloop van de potentiaal is continu
• Voorbeeld 23-5: Doorslag treedt op bij zeer hoge velden van ongeveer 3×10^6 V/m, De lucht wordt geleidend

Potentiaal Van Een Puntlading

• Aangezien het radiale beloop bekend is kan door integratie van het verloop van de potentiaal dit berekend worden: Vb− Va =−∫ E⋅dl = Q/ 4πε0 (1/ra -rb)

Potentiaal Van Een Puntlading, Vervolg

• Referentiepotentiaal best kan je Vb = 0 kiezen voor rb → ∞
• V = Q/ 4πε0 r geldt voor elk punt buiten de geleidende sfeer (r > r0)
• Coulomb-potentiaal
• Potentiaal is positief(+) als de lading positief(+) en valt naar nul op grote afstand
• Potentiaal is negatief(-) als de lading negatief(-) en stijgt naar nul op grote afstand

Arbeid Om Twee Positieve Ladingen Bij Elkaar Te Brengen

• Voor het bereken van arbeid kan je kracht niet vermenigvuldigen met de afstand, omdat kracht niet constant is
• Gemakkelijker is het verschil in potentiële energie (testlading), dit is gelijk aan de arbeid die op testlading wordt geleverd: W=q(Vb - Va) = q/ 4πε0(Q/ra -Q/rb)
• Voor ra een punt op oneindig gekozen, zodat de term met het minteken nul wordt

Potentiaal Voor Een Ladingsverdeling

• We beschouwen de potentiaal ten gevolge van verschillende puntladingen.
• Potentiaal tellen we gewoon positieve(+) en negatieve(-) getallen op: Somm Vi
• De potentiaal in punt r voor n puntladingen: V(r) = Somm ( 1/ 4πε0 Qi/ri)
• Cijfervoorbeeld voor twee puntladingen gevonden in voorbeeld 23-7
• Potentiaal is nul in een vlak dat loodrecht staat op hun verbindingslijn wanneer er met twee tegengestelde ladingen gewerkt word, dit creëert een equipotentiaal oppervlak

Potentiaal Voor Een Ladingsverdeling, Vervolg

• We beschouwen de potentiaal die veroorzaakt wordt continue ladingsverdeling door over een verzameling van kleine stukjes lading ΔQ te sommeren te zijn, V(r) = somm AV = 1 / 4πε0 somm AQ
• Laten ΔQ infinitesimaal klein worden, een resultaat wordt de volgende intergraal: V(r) = intergraal 1 / 4πε0 dq/r
• Twee voorbeelden : homgene ladingsverdeling op een ring en schijf

potentiaal van een uniform geladen ring

• Totale lading Q is uniform verdeeld over de ring met straal R: λ  Q / 2 π R
• PUNTEN OP DE X-as loodrecht op de ring
• integreren over de stukjes dq die zich op gelijke afstand van punt P bevinden: V(x) intergraal 1/4πε0 dq/ r intergraal 1/ 4πε0 dq/ √x²+R²= Q/ (4πε0 √x²+R²)

potentiaal van een uniform geladen schijf

• Het totale lading is uniform, een schijf met een oppervlakte-ladingsdichtheid σ = Q/ πR²
• in ringen verdeeld met lading dq en straal tussen R en R + dR
• de gelijkenis tussen dq en dR is 2 πRdR/ πR² , dq is ook= 2Q R d R/R

Potentiële energie en de elektron-Volt

• Het berekenen van de totale potentiële energie bij puntladingen word berekend, U=1/4πeo • ( ((Q1 Q2/ / r12)+ ( Q1 Q3/ /r13))+( (Q2 Q3/ /r23) )
• Voor ladingen zoals moleculen is de Joule een zeer grote energie, daardoor word er met elektron-Volt gerekend (versnelling door van eektron door 1. 6  10^-19 Joule
• Energie van een elekron van het proton van een H-atoom: 13.6 eV, dus is de ionisatie energie ook de bindingsenergie