Elasticité et Optimisation

Elasticité

• L'élasticité est définie comme le rapport entre la variation en pourcentage de la quantité et la variation en pourcentage du prix.
• La formule de l'élasticité est $\eta = \frac{\Delta Q / Q}{\Delta P / P} = \frac{\Delta Q}{\Delta P} \cdot \frac{P}{Q} = \frac{dQ}{dP} \cdot \frac{P}{Q}$, où Q = quantité et P = prix.
• La demande est élastique si $\lvert \eta \rvert > 1$.
• La demande est inélastique si $\lvert \eta \rvert < 1$.
• La demande est élastique unitaire si $\lvert \eta \rvert = 1$.
• Exemple : Si $Q = 100 - 2P^2$ et P = 5, alors $\eta = -2$, ce qui correspond à une demande élastique étant donné que $\lvert \eta \rvert = 2 > 1$.

Optimisation

• L'optimisation est le processus de recherche des valeurs minimales et maximales d'une fonction.
• La procédure comprend：
  • Condition du premier ordre (FOC) : $\frac{dy}{dx} = 0$
  • Condition du second ordre (SOC) : $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$ pour un maximum et $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$ pour un minimum.
• Exemple : Pour $y = -x^2 + 4x + 10$, le point critique est x = 2 et il s'agit d'un maximum car $\frac{d^2y}{dx^2} = -2 < 0$.

Analyse marginale

• Le coût marginal (CM) est défini comme $MC = \frac{dTC}{dQ}$, où TC est le coût total et Q est la quantité.
• Le revenu marginal (RM) est défini comme $MR = \frac{dTR}{dQ}$, où TR est le revenu total et Q est la quantité.
• Le produit marginal (PM) est défini comme $MP = \frac{dQ}{dL}$, où Q est la quantité et L est la main-d'œuvre.
• Exemple : Pour $TC = Q^3 - 5Q^2 + 60Q$, le coût marginal minimal se produit lorsque $Q = \frac{5}{3}$, et c'est un minimum car $\frac{d^2MC}{dQ^2} = 6 > 0$.

Complexité

• La complexité temporelle décrit le temps nécessaire à l'exécution d'un algorithme en fonction de la taille des données d'entrée, exprimée en notation de Landau.
• La complexité spatiale décrit l'espace mémoire nécessaire à l'exécution d'un algorithme en fonction de la taille des données d'entrée.
• O(n) représente la limite supérieure du temps d'exécution.
• $\theta$(n) représente la borne exacte du temps d'exécution.
• $\Omega$(n) représente la borne inférieure du temps d'exécution.

Algorithmes de tri classiques

• Tri à bulles: Compare les éléments adjacents et les échange si nécessaire ; complexité temporelle entre O(n) et O(n^2), complexité spatiale O(1), stable.
• Tri par sélection: Trouve l'élément minimum et le place en début de liste ; complexité temporelle O(n^2), complexité spatiale O(1), non stable.
• Tri par insertion: Insère chaque élément à sa place dans la partie déjà triée de la liste ; complexité temporelle entre O(n) et O(n^2), complexité spatiale O(1), stable.
• Tri fusion: Diviser la liste en sous-listes, trier les sous-listes et les fusionner ; complexité temporelle O(n log n), complexité spatiale O(n), stable.
• Tri rapide: Choisir un pivot, partitionner la liste autour du pivot et trier récursivement les partitions ; complexité temporelle entre O(n log n) et O(n^2), complexité spatiale O(log n), non stable.
• Tri par tas: Utiliser une structure de données de tas pour trier la liste ; complexité temporelle O(n log n), complexité spatiale O(1), non stable.

Comparaison des algorithmes

• Le tri à bulles a une complexité temporelle de O(n) dans le meilleur des cas, $\theta(n^2)$ dans le cas moyen et O(n^2) dans le pire des cas, avec une complexité spatiale de O(1). Il est stable.
• Le tri par sélection a une complexité temporelle de O(n^2) dans tous les cas et une complexité spatiale de O(1). Il n'est pas stable.
• Le tri par insertion a une complexité temporelle de O(n) dans le meilleur des cas, $\theta(n^2)$ dans le cas moyen et O(n^2) dans le pire des cas, avec une complexité spatiale de O(1). Il est stable.
• Le tri fusion a une complexité temporelle de O(n log n) dans tous les cas et une complexité spatiale de O(n). Il est stable.
• Le tri rapide a une complexité temporelle de O(n log n) dans le meilleur des cas, $\theta$(n log n) dans le cas moyen et O(n^2) dans le pire des cas, avec une complexité spatiale de O(log n). Il n'est pas stable.
• Le tri par tas a une complexité temporelle de O(n log n) dans tous les cas et une complexité spatiale de O(1). Il n'est pas stable.

Introduction à la thermodynamique

• La thermodynamique est l'étude de l'énergie, de ses transformations et de sa relation avec la matière. Les lois fondamentales régissent ce domaine.
• Un système est une région délimitée de l'espace ou une quantité de matière en considération.
• L'environnement comprend tout ce qui se trouve à l'extérieur du système.
• La frontière est la surface qui sépare le système de son environnement.
• Un système isolé n'échange ni masse ni énergie avec l'environnement.
• Un système fermé échange de l'énergie mais pas de masse avec l'environnement.
• Un système ouvert échange à la fois de la masse et de l'énergie avec l'environnement.
• Les propriétés intensives indépendant de la quantité de substance (par exemple, température, pression, densité).
• Les propriétés extensives dépendent de la quantité de substance (par exemple, la masse, le volume, l'énergie).
• L'état d'un système est une condition décrite par ses propriétés.
• Un processus est un changement d'état d'un système.
• Un processus cyclique est un processus où les états initial et final sont identiques.
• L'équilibre thermodynamique est une condition dans laquelle les propriétés du système sont uniformes et inchangées dans le temps.
• Un processus quasi-statique se déroule infiniment lentement, permettant au système de rester en équilibre à tout moment.

Les lois de la thermodynamique

• La loi zéro de la thermodynamique stipule que si deux systèmes sont chacun en équilibre thermique avec un troisième système, alors ils sont en équilibre thermique l'un avec l'autre.
• La première loi de la thermodynamique stipule que la variation d'énergie interne d'un système est égale à la chaleur ajoutée au système moins le travail effectué par le système : $\Delta U = Q - W$.
• La deuxième loi de la thermodynamique stipule que l'entropie totale d'un système isolé ne peut qu'augmenter avec le temps ou rester constante dans des cas idéaux.
• La troisième loi de la thermodynamique stipule que lorsque la température approche le zéro absolu, l'entropie d'un système approche une valeur minimale ou nulle.

Procédés thermodynamiques

• Un processus isotherme se déroule à température constante.
• Un processus adiabatique se déroule sans transfert de chaleur entrant ou sortant du système $(Q = 0)$.
• Un processus isobare se déroule à pression constante.
• Un processus isochore se déroule à volume constant.

Cycles thermodynamiques

• Le cycle de Carnot est un cycle théorique qui fournit l'efficacité maximale possible pour un moteur thermique fonctionnant entre deux réservoirs.
• Le cycle de Rankine est utilisé par les centrales électriques à vapeur.
• Le cycle Otto décrit le fonctionnement d'un moteur à quatre temps à allumage commandé typique.
• Le cycle Diesel décrit le fonctionnement d'un moteur à allumage par compression.

Applications

• Génération d'énergie : turbines à vapeur, turbines à gaz, moteurs à combustion interne.
• Réfrigération et climatisation avec le cycle de réfrigération à compression de vapeur.
• Les processus chimiques, la science des matériaux et l'étude des propriétés thermodynamiques des matériaux sont d'autres applications.

Équations clés

• Loi des gaz parfaits : $PV = nRT$.
• Travail effectué : $W = \int{PdV}$.
• Transfert de chaleur : $Q = mc\Delta T$.
• Changement d'entropie : $\Delta S = \int{\frac{dQ_{rev}}{T}}$.

Vaisseaux sanguins

• Les artères transportent le sang loin du cœur et sont des vaisseaux à haute pression avec des parois épaisses et élastiques. L'aorte est la plus grande artère.
• Les veines transportent le sang vers le cœur et sont des vaisseaux à basse pression avec des parois plus fines et moins élastiques. Les veines ont des valves pour empêcher le reflux.
• Les capillaires sont les plus petits vaisseaux sanguins qui connectent les artérioles aux veinules, permettant les échanges gazeux, de nutriments et de déchets avec les tissus.

Pression artérielle

• La pression artérielle est la force exercée par le sang sur les parois des vaisseaux sanguins, mesurée en mmHg sous forme de pression systolique et diastolique.
• La pression systolique est la pression dans les artères pendant la contraction des ventricules (autour de 120 mmHg).
• La pression diastolique est la pression dans les artères pendant la relaxation des ventricules (autour de 80 mmHg).
• Régulation de la pression artérielle :
  • Système nerveux : Ajuste la fréquence cardiaque, le volume systolique et le diamètre des vaisseaux sanguins.
  • Système endocrinien : Hormones telles que l'épinéphrine et l'hormone antidiurétique (ADH).
  • Reins : Règlent le volume sanguin en contrôlant l'excrétion d'eau et de sel.
  • Facteurs locaux : Facteurs tels que l'oxyde nitrique provoquent une vasodilatation.

Troubles du système cardiovasculaire

• L'hypertension est une pression artérielle chronique élevée, facteur de risque de maladies cardiaques, AVC et maladies rénales (pression > 140/90 mmHg).
• L'athérosclérose est l'accumulation de plaque à l'intérieur des artères, ce qui entraîne un rétrécissement et un durcissement. Peut entraîner une crise cardiaque, un AVC et une artériopathie périphérique.
• L'insuffisance cardiaque est l'incapacité du cœur à pomper suffisamment de sang pour répondre aux besoins du corps.
• Les arythmies sont des battements cardiaques irréguliers, causés par des maladies cardiaques, des déséquilibres électrolytiques ou des médicaments ; elles peuvent être inoffensives ou mortelles.
• Les valvulopathies se produisent lorsque les valves cardiaques ne s'ouvrent ou ne se ferment pas correctement, ce qui entraîne une insuffisance cardiaque et des arythmies.

Définitions et exemples

• Une fonction vectorielle associe un vecteur à une variable scalaire, notée $\overrightarrow{r}(t)$, où $t \in \mathbb{R}$ et $\overrightarrow{r}(t) \in \mathbb{R}^n$ avec $n \geq 2$.
• $\overrightarrow{r}(t) = $ peut être écrit, où est un vecteur constitué de fonctions scalaires.
• La limite d'une fonction vectorielle $\overrightarrow{r}(t)$ lorsque $t$ tend vers $a$ est définie par : $\lim_{t \to a} \overrightarrow{r}(t) = $, si les limites des composantes existent.
• Une fonction vectorielle $\overrightarrow{r}(t)$ est continue en $a$ si $\overrightarrow{r}(a)$ est définie, $\lim_{t \to a} \overrightarrow{r}(t)$ existe, et $\lim_{t \to a} \overrightarrow{r}(t) = \overrightarrow{r}(a)$.
• La dérivée d'une fonction vectorielle est définie par : $\overrightarrow{r}'(t) = \lim_{h \to 0} \frac{\overrightarrow{r}(t+h) - \overrightarrow{r}(t)}{h} = $

Modèle de canal

• Entrée X ; sortie Y.
• Probabilité conditionnelle $p(y|x)$.

Exemple : Canal symétrique binaire (BSC)

• Entrée $X \in {0,1}$ ; Sortie $Y \in {0,1}$.
• Probabilité conditionnelle $p(y|x)$.

Capacité de canal

• La « capacité » d’un canal est la quantité maximale d’informations qui peut être transmise de manière fiable.
• Les informations sont mesurées en bits.
• La capacité C d'un canal est définie comme $C = max_{p(x)} I(X;Y)$, où $I(X;Y)$ est l'information mutuelle entre X et Y, et le maximum est pris sur toutes les distributions d'entrée possibles p(x).

Canal symétrique binaire (BSC) :

• $C = max_{p(x)} I(X;Y) = max_{p(x)} H(Y) - H(Y|X)$
• Nous atteignons ce maximum lorsque Y est uniforme, c.-à-d. $p(y=0) = p(y=1) = 1/2$, ce qui se produit lorsque $p(x=0) = p(x=1) = 1/2$.

Capacité du BSC

• La capacité d'un canal symétrique binaire avec une probabilité de croisement p est $C = 1 - H(p) = 1 + plog_2(p) + (1-p)log_2(1-p)$

Théorème de codage de canal de Shannon

• Une communication fiable est possible sur un canal bruyant si le débit de communication R est inférieur à la capacité du canal C.

Théorème de la séparation source-canal

• Si une source avec une entropie H est transmise sur un canal avec une capacité C, alors une communication fiable est possible si et seulement si H

Objectif du laboratoire

• Comprendre et mettre en œuvre des algorithmes de division.

Division

• Étant donné deux entiers, dividende et diviseur, calculer le quotient et le reste, tels que Dividende = Quotient × Diviseur + Reste.

Algorithmes de division

• Algorithme 1 : Soustraction répétée.
• Algorithme 2 : Soustraction répétée par puissances de 2.
• Algorithme 3 : Utilisation de l’opérateur de division.

Algèbre linéaire et analyse matricielle

• L'algèbre linéaire traite des systèmes d'équations linéaires, des vecteurs et des transformations linéaires.
• L'analyse matricielle se concentre sur l'étude des matrices et de leurs propriétés.
• Un système d'équations linéaires est un ensemble d'équations linéaires impliquant un certain nombre de variables.
• Un système d'équations linéaires peut être représenté sous forme matricielle sous la forme Ax=b, où A est la matrice des coefficients, x est le vecteur des variables et b est le vecteur des constantes.

Méthodes de résolution des systèmes linéaires

• Méthodes directes : Élimination de Gauss, factorisation LU.
• Méthodes itératives : Méthode de Jacobi, méthode de Gauss-Seidel.

Applications

• Ingénierie, économie, informatique.

Spectre électromagnétique

• Le spectre électromagnétique est la gamme des fréquences du rayonnement électromagnétique et de leurs longueurs d'onde et énergies photoniques respectives.

Types de rayonnement dans le spectre électromagnétique

• Rayons gamma : Longueur d'onde la plus courte, fréquence la plus élevée.
• Rayons X : Longueurs d'onde courtes et fréquences élevées.
• Ultraviolet : Longueurs d'onde plus courtes que la lumière visible.
• Visible : La gamme étroite de longueurs d'onde que les humains peuvent voir (couleurs de l'arc-en-ciel).
• Infrarouge : Longueurs d'onde plus longues que la lumière visible.
• Micro-ondes : Utilisées dans la communication et le chauffage.
• Ondes radio : Longueurs d'onde les plus longues, fréquences les plus basses, utilisées dans la radiodiffusion.

Lignes directrices cliniques pour la prise en charge des ulcères veineux de jambe

• Évaluation :
  • Collecte des antécédents : Durée, ulcères antérieurs, facteurs de risque, comorbidités, médicaments, allergies, douleur et situation sociale.
  • Examen clinique : Localisation, taille et caractéristiques de l'ulcère, pouls périphériques, IBCA et œdème, signes d'infection.
  • Examens complémentaires : Échographie Doppler, prélèvement de la plaie en cas de suspicion d'infection, biopsie en cas de suspicion de malignité.
• Prise en charge :
  • Traitement standard avec bandages ou bas de contention multicouches.
  • Détersion si présence de tissu nécrotique, pansement approprié, cicatrisation en milieu humide de la plaie.
  • Antimicrobiens topiques ou antibiotiques en cas d'infection.
  • Recommandation au chirurgien vasculaire si justifié, conseils sur le mode de vie (gestion du poids, arrêt du tabac, exercice).
• Surveillance :
  • Examen régulier de l'ulcère et du patient, ajustement du traitement si nécessaire.
  • Recommandation si aucune amélioration après 6 semaines.
• Complications :
  • Infection, cellulite, ostéomyélite, malignité.
• Prévention :
  • Contention, soins de la peau, conseils sur le mode de vie.