El Concepto de Límite: Sustitución Directa

El Concepto de Límite

• El límite de una función es fundamental en cálculo, describiendo el valor al que se aproxima una función cuando su entrada se acerca a un valor específico.

Cálculo de Límites

• Calcular límites es clave para entender cómo se comportan las funciones cerca de ciertos puntos, incluyendo el infinito.
• Se utilizan técnicas algebraicas y métodos específicos para hallar el valor exacto de un límite, si es que existe.

Sustitución Directa

• La sustitución directa es el método más sencillo para calcular límites.
• Se reemplaza la variable independiente directamente en la función con el valor al que tiende.
• Si la función está definida en ese punto y no hay indeterminaciones, el resultado es el límite.
• Por ejemplo, el límite de f(x) = x + 3 cuando x se acerca a 2 es f(2) = 2 + 3 = 5.

Indeterminaciones

• Las indeterminaciones surgen cuando la sustitución directa resulta en expresiones indefinidas como 0/0 o ∞/∞.
• Resolver estas situaciones requiere técnicas algebraicas para simplificar y eliminar la indeterminación.

Factorización

• La factorización es útil cuando la función contiene polinomios factorizables.
• Al factorizar, es posible simplificar términos comunes en el numerador y el denominador, eliminando la indeterminación.
• Ejemplo: Para el límite de (x² - 1) / (x - 1) cuando x tiende a 1, se factoriza el numerador como (x + 1)(x - 1), cancelando (x - 1) y evaluando el límite como x + 1, que resulta en 2.

Racionalización

• Se aplica la racionalización cuando la función incluye raíces cuadradas o cúbicas.
• Esto implica multiplicar el numerador y el denominador por el conjugado de la expresión con la raíz, eliminándola y simplificando la expresión.
• Ejemplo: Para (√(x + 4) - 2) / x cuando x tiende a 0, se multiplica por el conjugado √(x + 4) + 2, resultando en x / (x(√(x + 4) + 2)). Tras cancelar x, el límite se evalúa como 1 / (√(0 + 4) + 2) = 1 / 4.

Límites Infinitos

• Los límites infinitos ocurren cuando una función crece o decrece sin límite al acercarse la variable independiente a un valor específico.
• Se denotan como lim f(x) = ∞ o lim f(x) = -∞.
• Son comunes en funciones racionales donde el denominador se acerca a cero y el numerador no.
• Por ejemplo, 1/x tiene un límite infinito cuando x se acerca a 0, tendiendo a ∞ por la derecha y a -∞ por la izquierda.

Asíntotas Verticales

• Las asíntotas verticales son líneas verticales donde la función se acerca al infinito.
• Aparecen en valores de x donde el denominador de una función racional es cero, pero el numerador no lo es.
• La función se acerca a la asíntota pero nunca la toca.
• La función f(x) = 1/(x - 2) tiene una asíntota vertical en x = 2, ya que el denominador se anula en ese punto.

Límites al Infinito

• Los límites al infinito describen el comportamiento de una función cuando la variable independiente tiende a ∞ o -∞.
• Evaluar estos límites determina si la función se aproxima a un valor específico o crece/decrece indefinidamente.

Funciones Racionales

• En funciones racionales, el límite al infinito se encuentra comparando los grados del numerador y el denominador.
• Si el grado del numerador es menor, el límite es 0.
• Si los grados son iguales, el límite es el cociente de los coeficientes principales.
• Si el grado del numerador es mayor, el límite es ∞ o -∞, dependiendo del signo de los coeficientes principales.

Comportamiento Asintótico

• El comportamiento asintótico describe cómo se comporta una función cuando la variable independiente se vuelve muy grande (positiva o negativa).
• Está relacionado con las asíntotas horizontales y oblicuas de la función.
• La función f(x) = (x² + 1) / x tiene una asíntota oblicua en y = x, ya que a medida que x tiende a infinito, la función se aproxima a esta línea.