एक्सरसाइज 6.3: त्रिभुज और कोण

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Questions and Answers

यदि तीन कोण $60^\circ$, $73^\circ$ और $40^\circ$ दिए गए हैं, तो अद्वितीय (unique) त्रिभुजों की अधिकतम संख्या ज्ञात कीजिए जिन्हें बनाया जा सकता है, यह मानते हुए कि त्रिभुजों के आकार के बीच कोई प्रतिबंध नहीं है।

केवल दो, क्योंकि कोणों के दो संभावित क्रम हैं।
अनंत, क्योंकि कोणों का कोई भी स्केलिंग (scaling) समान आकार के त्रिभुज देगा।
शून्य, क्योंकि कोणों का योग $180^\circ$ से अधिक है। (correct)
केवल एक, क्योंकि तीन कोणों का योग अद्वितीय त्रिभुज निर्धारित करता है।

$\triangle ABC$ में, यदि $\angle B = 105^\circ$ और $\angle C = 50^\circ$ है, तो $\angle A$ का सटीक मान क्या है, यह मानते हुए कि समतल यूक्लिडियन ज्यामिति लागू होती है?

$\angle A = 45^\circ$, जो सबसे आम गलत गणना है।
$\angle A = 35^\circ$, जो त्रिभुज के कोणों के योग को $180^\circ$ बनाए रखता है।
$\angle A = 15^\circ$, जो त्रिभुज के कोणों के योग को $180^\circ$ से कम रखता है।
$\angle A = 25^\circ$, जो दिया गया कोण मापों (angle measures) को पूरा करता है। (correct)

एक समबाहु त्रिभुज (equilateral triangle) के प्रत्येक बाह्य कोण (exterior angle) का माप (measure) क्या है, यह मानते हुए कि त्रिभुज एक यूक्लिडियन समतल (Euclidean plane) पर स्थित है?

$180^\circ$, क्योंकि बाह्य कोण हमेशा एक सीधी रेखा बनाता है।
$60^\circ$, क्योंकि यह एक समबाहु त्रिभुज का आंतरिक कोण है।
$120^\circ$, क्योंकि यह आंतरिक कोण का पूरक है। (correct)
$90^\circ$, जो एक समकोण (right angle) का मान है।

यदि एक समकोण त्रिभुज (right triangle) में दो न्यूनकोण (acute angles) आपस में बराबर हैं, तो प्रत्येक न्यूनकोण का माप क्या है, मान लीजिए कि त्रिभुज यूक्लिडियन ज्यामिति (Euclidean geometry) के नियमों का पालन करता है?

$45^\circ$, जो दो समान न्यूनकोणों के लिए सही माप है। (D) Signup and view all the answers

किसी भी त्रिभुज के सभी बाह्य कोणों का योग कितना होता है, प्रत्येक शीर्ष पर एक कोण लेते हुए, चाहे त्रिभुज का आकार या कोण कुछ भी हो, यह मानते हुए कि हम यूक्लिडियन स्थान (Euclidean space) में काम कर रहे हैं?

$360^\circ$, जो सभी बाह्य कोणों का सही योग है। (B) Signup and view all the answers

यदि किसी त्रिभुज के आंतरिक कोणों का अनुपात 3:4:5 है, तो सबसे बड़े कोण का माप (measure) क्या है, यह मानते हुए कि कोणों की इकाइयाँ (units) डिग्री में हैं और त्रिभुज एक यूक्लिडियन विमान (Euclidean plane) पर स्थित है?

$75^\circ$, सबसे बड़ा कोण (largest angle)। (D) Signup and view all the answers

दिए गए चित्र में, यदि $BD$ और $CD$ क्रमशः $\angle B$ और $\angle C$ के द्विभाजक (bisectors) हैं, तो निम्नलिखित में से कौन सा संबंध (relationship) सत्य (true) है, यह मानते हुए कि $y$ और $x$ कोणों को डिग्री में दर्शाते हैं?

$180^\circ + y = 2x$, कोणों और द्विभाजकों के बीच सही संबंध को दर्शाता है। (C) Signup and view all the answers

यदि किसी त्रिभुज में एक कोण का मान अन्य दो कोणों के मानों के योग के बराबर है, तो उस कोण का माप क्या है, यह मानते हुए कि त्रिभुज यूक्लिडियन ज्यामिति के नियमों का पालन करता है?

$90^\circ$, जो इस स्थिति का एकमात्र संभव कोण है। (D) Signup and view all the answers

यदि किसी त्रिभुज के दो कोणों का योग $80^\circ$ है और उनका अंतर $30^\circ$ है, तो त्रिभुज के सभी कोणों का माप ज्ञात कीजिए, यह मानते हुए कि डिग्रियाँ (degrees) उपयोग की जा रही हैं और त्रिभुज एक समतल सतह (flat surface) पर स्थित है।

$55^\circ, 25^\circ, 100^\circ$, जो दिए गए योग और अंतर को पूरा करता है। (A) Signup and view all the answers

चित्र में दर्शाए गए चर (variables) $x$ और $y$ के संबंध में कोणों के ज्यामितीय (geometric) विन्यास (configuration) को देखते हुए, $x$ के मान का निर्धारण (determination) करने के लिए एक रचनात्मक विधि (constructive method) तैयार करें। यह मानते हुए कि यह संबंध सीधे दो कोण द्विभाजकों (angle bisectors) के बीच संबंध से संबंधित है और पारंपरिक यूक्लिडियन (Euclidean) मान्यताओं के अनुरूप है।

कोण द्विभाजकों (angle bisectors) द्वारा वर्णित कोणों के सटीक ज्यामितीय गुणों (precise geometric properties) की पहचान करने के लिए एक चरणबद्ध (step-by-step) deductive प्रक्रिया को लागू करें और फिर त्रिभुज से संबंधित बुनियादी ज्यामितीय प्रमाणों (basic geometric theorems) को लागू करें, जिससे कोणों (angles) और अंततः $x$ के बीच सार्थक संबंध (meaningful relationships) बन सकें। (B) Signup and view all the answers

Flashcards

त्रिभुज के कोणों का योग

त्रिभुज के तीन कोणों के मापों का योग हमेशा 180° होता है।

तीसरा कोण ज्ञात करना

यदि एक त्रिभुज के दो कोण ज्ञात हैं, तो तीसरा कोण 180° में से दोनों कोणों के योग को घटाकर निकाला जा सकता है।