Ejercicios de Factorización en Álgebra

Ejercicios Algebraicos

Factorización

• Definición: Proceso de descomponer una expresión algebraica en productos de factores más simples.
• Tipos de factorización:
  • Factor común: Extraer el máximo común divisor (MCD) de los términos.
    • Ejemplo: ( ax + ay = a(x + y) )
  • Diferencia de cuadrados: ( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) )
  • Trinomio cuadrado perfecto: ( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 ) o ( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 )
  • Trinomio de la forma ( ax^2 + bx + c ): Se factoriza buscando dos números que sumen ( b ) y multipliquen ( ac ).
  • Suma o diferencia de cubos:
    • Suma: ( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) )
    • Diferencia: ( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) )

Polinomios

• Definición: Expresiones algebraicas formadas por la suma y/o resta de términos, donde cada término está compuesto por un coeficiente y una variable elevada a una potencia entera no negativa.
• Estructura de un polinomio: Generalmente se expresa como ( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 ), donde ( a_n \neq 0 ).
• Grados de un polinomio:
  • Grado total: Mayor exponente de la variable.
  • Grado de un término: Exponente de la variable en ese término.
• Operaciones con polinomios:
  • Suma y resta: Se suman o restan los coeficientes de términos semejantes.
  • Multiplicación: Aplicar la propiedad distributiva; cada término de un polinomio se multiplica por cada término del otro.
  • División: Puede realizarse mediante la división sintética o larga; el resultado es un cociente y un residuo.
• Raíces de un polinomio: Valores de la variable que hacen que el polinomio sea igual a cero. Se pueden encontrar mediante factorización o el teorema del residuo.
• Polinomios especiales:
  • Binomios (2 términos)
  • Trinomios (3 términos)
  • Polinomios de grado 1 (lineales) y grado 2 (cuadráticos) son los más comunes.

Factorización

• Proceso para descomponer una expresión algebraica en productos de factores más simples.
• Tipos de factorización:
  • Factor común: Extraer el máximo común divisor (MCD) entre términos, como en ( ax + ay = a(x + y) ).
  • Diferencia de cuadrados: Se aplica a ( a^2 - b^2 ) transformándose en ( (a - b)(a + b) ).
  • Trinomio cuadrado perfecto: Fórmulas como ( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 ) o ( a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 ).
  • Trinomio de la forma ( ax^2 + bx + c ): Se busca factorizar mediante dos números que sumen ( b ) y multipliquen ( ac ).
  • Suma o diferencia de cubos: Se factoriza usando:
    • Suma: ( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) )
    • Diferencia: ( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) )

Polinomios

• Expresiones algebraicas que resultan de la suma y/o resta de términos, cada uno formado por un coeficiente y una variable elevada a una potencia entera no negativa.
• Estructura general: Representado como ( P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 ), con ( a_n \neq 0 ).
• Grados de un polinomio:
  • Grado total: Determinado por el mayor exponente de la variable.
  • Grado de un término: Refleja el exponente correspondiente a ese término específico.
• Operaciones con polinomios:
  • Suma y resta: Coeficientes de términos semejantes se suman o restan según corresponda.
  • Multiplicación: Utiliza la propiedad distributiva, multiplicando cada término de un polinomio por cada término de otro.
  • División: Empleando divison sintética o larga; produce un cociente y un residuo.
• Raíces de un polinomio: Son los valores de la variable que hacen que el polinomio sea igual a cero, encontrándose mediante factorización o el teorema del residuo.
• Polinomios especiales:
  • Binomios: Compuestos por 2 términos.
  • Trinomios: Formados por 3 términos.
  • Polinomios de grado 1 son lineales, y los de grado 2 son cuadráticos, ambos comunes en álgebra.