Einführung in Sortieralgorithmen
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Questions and Answers

Was ist die Hauptidee des Induktionsschrittes in der Sortiermethode?

  • Es wird eine neue Liste erstellt mit den sortierten Elementen.
  • Die Elemente werden zufällig sortiert.
  • Die Elemente werden durch Verschiebung größerer Elemente sortiert. (correct)
  • Das größte Element wird immer an den Anfang verschoben.

    • Insertion Sort führt zur Veränderung aller Elemente im Array während des Sortierprozesses.

    False

    Was bedeutet es, dass ein Sortieralgorithmus stabil ist?

    Die Reihenfolge von Objekten mit gleichem Schlüssel bleibt erhalten.

    Die letzte Ausführung des Sortieralgorithmus zeigt, dass A,…,A[n-1] eine __________ Version von a,…,a[n-1] ist.

    <p>sortierte</p> Signup and view all the answers

    Ordne die folgenden Eigenschaften mit ihrer Bedeutung zu:

    <p>Stabilität = Beibehaltung der Reihenfolge gleichwertiger Elemente Invarianz = Erhaltung von sortierten Elementen während des Prozesses Eingabe = Die ursprüngliche unsortierte Datenreihe Ausgabe = Die Endergebnisse nach dem Sortieren</p> Signup and view all the answers

    Welche der folgenden Aussagen ist richtig bezüglich der Schleifeninvarianz?

    <p>Die Invarianz wird bei jedem Eintritt in die Schleife überprüft.</p> Signup and view all the answers

    Die Einträge A,…,A[i-1] entsprechen nicht den sortierten ursprünglichen Eingabewerten a,…,a[i-1].

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Nennen Sie eine Eigenschaft einer totalen Ordnung, die für das Sortieren erforderlich ist.

    <p>Vergleichbarkeit</p> Signup and view all the answers

    Was ist die Zuweisung für A[j+1] in Zeile 5?

    <p>A[j+1] = A[j]</p> Signup and view all the answers

    Die Konstante 𝑐5 hängt nicht vom Berechnungsmodell ab.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Was beschreibt die Θ-Notation?

    <p>Eingabekomplexität und Laufzeit von Funktionen.</p> Signup and view all the answers

    Moore's Law beschreibt die Verdopplung der _________ etwa alle 1,5 Jahre.

    <p>Transistoren</p> Signup and view all the answers

    Ordne die Berechnungsmodelle den richtigen Eigenschaften zu:

    <p>CPU = Schnelle elementare Operationen RAM = Speicher für schnelle Datenzugriffe Turingmaschine = Theoretisches Modell zur Berechnung</p> Signup and view all the answers

    Was ist der dominante Term der Laufzeit T(n) für Insertion-Sort?

    <p>$3 rac{n(n-1)}{2}$</p> Signup and view all the answers

    Die konstante Zeit bei Algorithmen ändert sich nur langsam.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Was beschreibt die Notation D(n) in Bezug auf Insertion-Sort?

    <p>D(n) ist der dominantem Term der Laufzeit von Insertion-Sort.</p> Signup and view all the answers

    Die Gesamtlaufzeit Insertion-Sort ist gegeben durch _________ 𝑇(𝑛) = 𝑛 + 4 ∙ 𝑛 − 1 + 3 ∙ 𝑛(𝑛−1)/2.

    <p>𝑛</p> Signup and view all the answers

    Was ist die Beziehung zwischen den Werten von T(n) und D(n) bei großen n?

    <p>T(n) nähert sich D(n) mit wachsendem n</p> Signup and view all the answers

    Was ist die Laufzeit des Insertion Sort im Worst-Case-Szenario?

    <p>Θ(n^2)</p> Signup and view all the answers

    Die untere Schranke für die Laufzeit von Insertion Sort ist O(n).

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Welche Schritte führen zur Einfügung eines Elements in den bereits sortierten Bereich im Insertion Sort?

    <p>Das Element wird mit den vorherigen Elementen verglichen und an die passende Stelle eingefügt.</p> Signup and view all the answers

    Die Laufzeit von Insertion Sort wird als _____ bezeichnet, wenn man die maximale Anzahl an Schritten betrachtet.

    <p>Θ(n^2)</p> Signup and view all the answers

    Ordne die folgenden Begriffe den richtigen Definitionen zu:

    <p>O(n^2) = obere Schranke der Komplexität Ω(n) = untere Schranke der Komplexität Θ(n) = exakte Laufzeitbeschränkung best case = schnellster Ablauf bei optimalen Bedingungen</p> Signup and view all the answers

    Welche der folgenden Aussagen über die Notationen $O$, $oldsymbol{ heta}$ und $oldsymbol{ ext{Ω}}$ ist korrekt?

    <p>$f(n) = heta(g(n))$ bedeutet, dass $f(n)$ sowohl in $O(g(n))$ als auch in $ ext{Ω}(g(n))$ enthalten ist.</p> Signup and view all the answers

    Die Notation $5 imes n^2 + n^4 = O(n^4)$ ist korrekt.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Was bedeutet die Schreibweise $f(n) ext{ ist in } O(g(n))$?

    <p>Es gibt eine obere Schranke für $f(n)$ in Bezug auf $g(n)$.</p> Signup and view all the answers

    Die Notation $g(n) = ext{Ω}(f(n))$ bedeutet, dass $g(n)$ eine _____ Schranke für $f(n)$ ist.

    <p>untere</p> Signup and view all the answers

    Ordnen Sie die folgenden Funktionen ihrer Wachstumsrate zu:

    <p>$n^2$ = Quadratisches Wachstum $n^3$ = Kubisches Wachstum $2^n$ = Exponentielles Wachstum $n imes ext{log}(n)$ = Logarithmisch lineares Wachstum</p> Signup and view all the answers

    Welche der folgenden Aussagen ist falsch?

    <p>Die Funktion $5n^2 + n^4$ wächst schneller als $6n^4$.</p> Signup and view all the answers

    Die Relation $f(n) ext{ ist in } O(g(n))$ impliziert, dass $g(n)$ asymptotisch schneller wächst als $f(n)$.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion, die in $ ext{Ω}(n^3)$ ist.

    <p>$n^3$ oder $5n^3$ oder $n^3 + n^4$.</p> Signup and view all the answers

    Was ist der Zweck der Variable 'key' im Insertion Sort Algorithmus?

    <p>Sie hält den Wert eines Elements, das an der richtigen Position eingefügt werden soll.</p> Signup and view all the answers

    Der Insertion Sort Algorithmus hat die Zeitkomplexität von O(n^2) im schlimmsten Fall.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Was beschreibt A.length?

    <p>Die feste Länge des Arrays A.</p> Signup and view all the answers

    Im Insertion Sort Algorithmus wird die WHILE-Schleife verwendet, um ______ zu finden.

    <p>die Einfügeposition</p> Signup and view all the answers

    Ordnen Sie die folgenden Schritte des Insertion Sort Algorithmus zu:

    <p>A[i] wird in key gespeichert = Schritt 2 Die WHILE-Schleife wird ausgeführt = Schritt 4 Das Element wird an der Einfügeposition eingefügt = Schritt 7 Der Index j wird um 1 verringert = Schritt 6</p> Signup and view all the answers

    Wie erfolgt der Zugriff auf die Elemente eines Arrays in konstanter Zeit?

    <p>Durch den Zugriff über den Index.</p> Signup and view all the answers

    In einem Array kann das Element an einem bestimmten Index mehr als einmal vorkommen.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Was geschieht in Zeile 5 des Insertion Sort Algorithmus?

    <p>Das Element A[j] wird nach A[j+1] verschoben.</p> Signup and view all the answers

    Der Insertion Sort Algorithmus sortiert das Array ______, indem er es in eine vor-sortierte Sequenz umwandelt.

    <p>in-place</p> Signup and view all the answers

    Ordnen Sie die folgenden Variablen ihren Rollen im Insertion Sort Algorithmus zu:

    <p>i = aktueller Index in der Schleife j = Index zur Suche nach der Einfügeposition key = Wert zum Einfügen A = das zu sortierende Array</p> Signup and view all the answers

    Was passiert, wenn A[j] kleiner als key ist?

    <p>Das Element wird an der aktuellen Position belassen.</p> Signup and view all the answers

    Der Insertion Sort Algorithmus kann nicht für Arrays mit negativen Werten verwendet werden.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Was geschieht mit Elementen, die nicht in der korrekten Reihenfolge sind, während des Insertion Sort?

    <p>Sie werden nach rechts verschoben, bis die korrekte Position erreicht ist.</p> Signup and view all the answers

    Die Insertion Sort Algorithmus hat eine äußere Schleife, die von 1 bis ______ läuft.

    <p>A.length-1</p> Signup and view all the answers

    Was ist der maximale Aufwand für die Ausführung der Zeile 5 in Insertion Sort?

    <p>$n(n - 1)$</p> Signup and view all the answers

    Die Gesamtlaufzeit T(n) für Insertion Sort umfasst nur den Aufwand für die Zeilen 1, 2 und 3.

    <p>False</p> Signup and view all the answers

    Wie oft wird die Zeile 2 in Insertion Sort maximal ausgeführt?

    <p>n - 1</p> Signup and view all the answers

    Der Aufwand der Zeile 4 ist ______.

    <p>c4 + n - 1</p> Signup and view all the answers

    Ordnen Sie die Zeilen von Insertion Sort den jeweiligen Aufwänden zu:

    <p>Zeile 1 = c1 Zeile 2 = c2 Zeile 4 = c4 + n - 1 Zeile 5 = c5</p> Signup and view all the answers

    Welche Zeile sucht nach dem Einfügepunkt für das neue Element?

    <p>Zeile 3</p> Signup and view all the answers

    In Insertion Sort hat Zeile 6 den gleichen Aufwand wie Zeile 5.

    <p>True</p> Signup and view all the answers

    Was ist die maximale Gesamtlaufzeit für Insertion Sort, wie beschrieben?

    <p>T(n) = c1 * n + c2 + c3 + (c4 + c5 + c6) * n(n - 1) / 2</p> Signup and view all the answers

    Study Notes

    Algorithmen und Datenstrukturen - Vorlesungsskripte

    • Die bereitgestellten Folien behandeln das Thema Sortieren im Kontext der Algorithmen und Datenstrukturen.
    • Die Folien basieren auf einer gemeinsamen Veranstaltung mit Christian Janson im Sommersemester 2020.
    • Die Vorlesung wird von Marc Fischlin im Sommersemester 2024 gehalten.
    • Folie 02: Das Thema dieser Folie ist das Sortieren.
    • Folie 02: Das Sortierproblem in der Praxis wird mit Beispielen aus Excel-Tabellen gezeigt, wie man Bücher nach verschiedenen Kriterien (z.B. Relevanz, Datum) sortieren kann.
    • Folie 04: Das Sortierproblem wird abstrakt dargestellt als eine Folge von Objekten mit einem Schlüsselwert, nach dem sortiert werden soll.
    • Folie 05: Das Schlüsselproblem stellt die Annahme dar, dass es eine totale Ordnung auf der Menge der möglichen Schlüsselwerte gibt.
    • Folie 06: Exkurs über totale Ordnung. Die Relation ≤ auf einer Menge M ist genau dann eine totale Ordnung, wenn sie reflexiv, transitiv und antisymmetrisch ist und die Totalität erfüllt.
    • Folie 07: Die Eingabe der Sortierschlüssel (Objekte) ist in Tabellenform (Arrays) dargestellt. Der Les-/Schreibzugriff über den Index ist in konstanter Zeit möglich
    • Folie 08: Das Thema dieser Folie ist der Insertion Sort Algorithmus.
    • Folie 09: Die Idee des Insertion Sort Algorithmus wird anhand von Beispielkarten verdeutlicht. Die Idee besteht darin, von links nach rechts zu gehen und die aktuelle Karte in die richtige Position in der bereits sortierten linken Hälfte einzufügen.
    • Folie 10: Der Insertion Sort Algorithmus wird in Pseudocode dargestellt.
    • Folie 11: und 12: Es sind Beispiele für die Anwendung des Insertion Sort Algorithmus
    • Folie 15: Der Algorithmus terminiert immer, da jede Iteration der WHILE-Schleife den Index j verringert und somit ein Ende der Schleife gewährleistet ist.
    • Folie 16: Korrektheitsbeweis des Insertion Sort-Algorithmus - Schleifeninvariante: Bei jedem Eintritt in die äußere FOR-Schleife für den Zählerwert i, sind die Elemente A[0],...,A[i-1] sortiert.
    • Folie 17: Induktionsbeweis für die Korrektheit des Insertion-Sort-Algorithmus
    • Folie 17: Induktionsbasis (i=1): Die erste Ausführung ist korrekt.
    • Folie 17: Induktionsschritt (i-1→i): Wenn die Invariante vor der Iteration wahr war, dann gilt die Invariante auch nach der Iteration.
    • Folie 19: Korrektheit des Insertion-Sort-Algorithmus (Zusammenfassung)
    • Folie 20: Weitere Anwendung des Mergesort-Algorithmus (Stabilität).
    • Folie 21: Laufzeitanalyse: Einführung der 0-Notation
    • Folie 22: Definition Laufzeitanalyse
    • Folie 23: und 24: Laufzeitanalyse Insertion Sort
    • Folie 26: Berechnung der Laufzeit für elementare Schritte (z. B. Zuweisung A[j+1]=A[j]) in einem Algorithmus.
    • Folie 27: Asymptotische Laufzeit Analyse - Merge Sort. Tabelle mit Laufzeitbestimmung des Sortierproblems.
    • Folie 28: Asymptotische Vereinfachung der Laufzeit für Merge Sort.
    • Folien 29-32: O-Notation, Definition und Interpretation
    • Folien 33 und 34: Veranschaulichung der O-Notation
    • Folie 35: Rechenregeln für die O-Notation
    • Folien 36 und 37: Omega-Notation, Definition und Interpretation
    • Folie 38: Rechenregeln für Omega-Notation
    • Folie 39: Beziehung zwischen O, Ω and Θ
    • Folie 40: Anwendung der O-Notation und deren Bedeutung für Laufzeitbetrachtungen
    • Folien 41-44: Korrektheit und Laufzeit von InsertionSort
    • Folien 45-47: Besondere Fälle von Eingabedaten für Insertion Sort (besonders gute und schlechte)
    • Folie 48: Übersicht über verschiedene Komplexitätsklassen
    • Folie 49: O-Notation und Ω-Notation (nicht asymptotische scharfe Schranken)
    • Folien 50-68: Merge Sort (Idee, Algorithmus, Beispiele und deren Korrektheit)
    • Folie 69-74: Beispiele für Merge Sort
    • Folien 75-86: Laufzeit (Analyse) des Merge Sort mit Rekursionsgleichungen und Mastertheorem
    • Folie 87-92: Quicksort - Idee & Algorithmus
    • Folien 93-107: Quicksort-Algorithmus partitionieren (Algorithmus,Beispiele) und dessen Korrektheit
    • Folie 108: Laufzeitanalyse Partition
    • Folien 109-114: Worst-Case Laufzeit Analyse von Quicksort und dessen Interpretation
    • Folie 115: durchschnittliche Laufzeit von Quicksort
    • Folie 116: Randomisierte Variante von Quicksort
    • Folien 117-120: Vergleich der Laufzeit vom Merge Sort und Quicksort
    • Folie 121: Implementierung von Sortierverfahren in Java (Dual-Pivot-Quicksort)
    • Folie 122: Fragen
    • Folie 123-129: Untere Schranke und Vergleiche für vergleichsbasierte Sortierverfahren
    • Folie 130: Fragen
    • Folien 131-146: Radix-Sort (Idee, Algorithmus, Beispiele, Korrektheit und Laufzeitanalyse) und Stabilität.

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