Einführung in reguläre Ausdrücke

Reguläre Ausdrücke

• Reguläre Ausdrücke sind Zeichenketten, die Suchmuster definieren und zur Mustererkennung in Texten verwendet werden.
• Sie bestehen aus einer Kombination von Literalzeichen und Metazeichen.

Literalzeichen

• Sind Zeichen, die direkt in einer Zeichenkette gefunden werden sollen, z.B. Hallo.

Metazeichen

• Metazeichen haben in regulären Ausdrücken eine spezielle Bedeutung:
  • . steht für jedes einzelne Zeichen außer Zeilenumbrüche.
  • * steht für null oder mehr Vorkommnisse des vorhergehenden Zeichens.
  • + steht für ein oder mehr Vorkommnisse des vorhergehenden Zeichens.
  • ? steht für null oder ein Vorkommnis des vorhergehenden Zeichens.
  • [] definiert eine Zeichenklasse, die zu jedem Zeichen innerhalb der Klammern passt.
  • [^] definiert eine negierte Zeichenklasse, die zu jedem Zeichen passt, das nicht innerhalb der Klammern ist.
  • () gruppiert Teile des regulären Ausdrucks.
  • | trennt Alternativen, passend zu dem Ausdruck davor oder dahinter.
  • ^ steht für den Anfang der Zeichenkette.
  • $ steht für das Ende der Zeichenkette.
  • \ maskiert Metazeichen oder definiert spezielle Zeichenklassen.
• Beispiele für spezielle Zeichenklassen:
  • \d steht für eine Ziffer (0-9).
  • \w steht für ein "Wortzeichen" (Buchstaben, Ziffern, Unterstrich).
  • \s steht für ein Leerzeichen.

Verwendung in Python

• Das re-Modul in Python dient zur Arbeit mit regulären Ausdrücken.

Python Beispiele für Reguläre Ausdrücke

• So sucht man nach einem Muster in einer Zeichenkette:

import re

muster = r"Hallo"
zeichenkette = "Hallo Welt"
ergebnis = re.search(muster, zeichenkette)

if ergebnis:
    print("Muster gefunden")
else:
    print("Muster nicht gefunden")

• So ersetzt man ein Muster in einer Zeichenkette:

muster = r"Welt"
ersetzung = "Python"
neue_zeichenkette = re.sub(muster, ersetzung, zeichenkette)
print(neue_zeichenkette)

Matrizen

• Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema aus Zahlen oder Symbolen.
• Die Dimension einer Matrix gibt die Anzahl der Zeilen und Spalten an.
• Eine $A_{m \times n}$-Matrix hat $m$ Zeilen und $n$ Spalten.
• $a_{\text{ij}}$ ist der Eintrag in der $i^{\text{ten}}$ Zeile und $j^{\text{ten}}$ Spalte von $A$.

Matrixoperationen

• Gleichheit: Zwei Matrizen $A$ und $B$ sind gleich, wenn sie die gleiche Dimension haben und $a_{\text{ij}} = b_{\text{ij}}$ für alle $i$ und $j$ gilt.
• Addition: Wenn $A$ und $B$ die gleiche Dimension haben, dann ist $A + B$ die Matrix mit Einträgen $a_{\text{ij}} + b_{\text{ij}}$.
• Skalarmultiplikation: Wenn $A$ eine Matrix und $c$ ein Skalar ist, dann ist $cA$ die Matrix mit Einträgen $ca_{\text{ij}}$.
• Matrixmultiplikation: Wenn $A$ eine $m \times n$-Matrix und $B$ eine $n \times p$-Matrix ist, dann ist $AB$ eine $m \times p$-Matrix, deren Einträge durch $(AB){\text{ij}} = a{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{\text{in}}b_{\text{nj}}$ gegeben sind.

Matrix Beispiel

• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 3 & 4 \end{bmatrix}$, $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \ 7 & 8 \end{bmatrix}$
  • $A + B = \begin{bmatrix} 6 & 8 \ 10 & 12 \end{bmatrix}$
  • $2A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \ 6 & 8 \end{bmatrix}$
  • $AB = \begin{bmatrix} 19 & 22 \ 43 & 50 \end{bmatrix}$

Spezielle Matrizen

• Nullmatrix: Eine Matrix, deren Einträge alle Null sind.
• Einheitsmatrix: Eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen anderswo. $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$
• Transponierte Matrix: Die Transponierte einer Matrix $A$ ist die Matrix $A^T$, deren Zeilen die Spalten von $A$ sind und deren Spalten die Zeilen von $A$ sind.
• Inverse Matrix: Wenn $A$ eine quadratische Matrix ist, dann ist die Inverse von $A$ die Matrix $A^{-1}$, sodass $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ gilt.

Determinante

• Eine Funktion, die eine quadratische Matrix als Eingabe akzeptiert und eine Zahl als Ausgabe liefert.
• Für eine 2x2 Matrix: Wenn $A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$, dann $\det(A) = ad - bc$.
• Eigenschaften:
  • $\det(AB) = \det(A) \det(B)$
  • $\det(A^T) = \det(A)$
  • $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$

Rang

• Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten in der Matrix.
• Eigenschaften:
  • Der Rang einer Matrix ist immer kleiner oder gleich der Anzahl der Zeilen und Spalten in der Matrix.
  • Wenn eine Matrix vollen Rang hat, dann ist die Determinante der Matrix ungleich Null.
  • Der Rang einer Matrix ist gleich der Anzahl der Pivotelemente in der Matrix, nachdem sie auf Zeilenstufenform reduziert wurde.

Eigenwerte und Eigenvektoren

• Definition: Wenn $A$ eine quadratische Matrix ist, dann ist ein Eigenvektor von $A$ ein Vektor ungleich Null $v$, sodass $Av = \lambda v$ für einen Skalar $\lambda$ gilt. Der Skalar $\lambda$ wird Eigenwert von $A$ genannt.
• Eigenschaften:
  • Die Eigenwerte einer Matrix sind die Wurzeln des charakteristischen Polynoms der Matrix.
  • Die Eigenvektoren einer Matrix sind linear unabhängig.
  • Eine Matrix ist diagonalisierbar, wenn sie eine vollständige Menge von Eigenvektoren besitzt.

Anwendungen

• Lösen von Systemen linearer Gleichungen.
• Darstellen linearer Transformationen.
• Analysieren von Graphen und Netzwerken.
• Bildverarbeitung.
• Maschinelles Lernen.

Chemische Kinetik

• Chemische Kinetik ist die Untersuchung von Reaktionsgeschwindigkeiten, deren Veränderung unter verschiedenen Bedingungen und den molekularen Mechanismen der Reaktionen.
• Ein Reaktionsmechanismus beschreibt die Abfolge der Schritte einer Reaktion.

Reaktionsgeschwindigkeiten

• Für die Reaktion $aA + bB \longrightarrow cC + dD$ gilt die Geschwindigkeit: Rate = $-\frac{1}{a}\frac{\Delta[A]}{\Delta t} = -\frac{1}{b}\frac{\Delta[B]}{\Delta t} = \frac{1}{c}\frac{\Delta[C]}{\Delta t} = \frac{1}{d}\frac{\Delta[D]}{\Delta t}$

Faktoren, die die Reaktionsgeschwindigkeiten beeinflussen

1. Konzentration der Reaktanten: Höhere Konzentration erhöht meist die Reaktionsgeschwindigkeit.
2. Temperatur: Höhere Temperatur erhöht im Allgemeinen die Reaktionsgeschwindigkeit.
3. Physikalischer Zustand der Reaktanten: Reaktanten in der gleichen Phase reagieren schneller.
4. Oberfläche: Eine größere Oberfläche (heterogene Reaktionen) erhöht die Reaktionsgeschwindigkeit.
5. Anwesenheit eines Katalysators: Katalysatoren erhöhen die Reaktionsgeschwindigkeit, ohne verbraucht zu werden.

Geschwindigkeitsgesetze

• Ein Geschwindigkeitsgesetz beschreibt die Beziehung zwischen der Reaktionsgeschwindigkeit und der Konzentration der Reaktanten: $Rate = k[A]^m[B]^n$, wobei $k$ die Geschwindigkeitskonstante ist, $m$ und $n$ die Reaktionsordnungen für A und B sind und die Gesamtordnung $m + n$ ist. Reaktionsordnungen müssen experimentell bestimmt werden.

Bestimmung der Reaktionsordnung

• Reaktionsordnungen lassen sich durch die Methode der Anfangsgeschwindigkeiten oder grafische Methoden bestimmen.

Integrierte Geschwindigkeitsgesetze

• Integrierte Geschwindigkeitsgesetze beziehen die Konzentration der Reaktanten auf die Zeit:
  • Nullte Ordnung: $Rate = k$, $[A]_t = -kt + [A]0$, $t{1/2} = \frac{[A]_0}{2k}$
  • Erste Ordnung: $Rate = k[A]$, $ln[A]_t = -kt + ln[A]0$, $t{1/2} = \frac{0.693}{k}$
  • Zweite Ordnung: $Rate = k[A]^2$, $\frac{1}{[A]_t} = kt + \frac{1}{[A]0}$, $t{1/2} = \frac{1}{k[A]_0}$
  • $[A]_t$ ist die Konzentration von A zur Zeit t und $[A]_0$ ist die Anfangskonzentration von A.

Kollisionstheorie

• Die Kollisionstheorie besagt, dass Reaktantmoleküle für eine Reaktion Folgendes benötigen:
  • Ausreichende Energie (Aktivierungsenergie, $E_a$)
  • Passende Orientierung für Bindungsbruch und -bildung

Arrhenius-Gleichung

• Die Arrhenius-Gleichung setzt die Geschwindigkeitskonstante ($k$) mit der Aktivierungsenergie ($E_a$) und der Temperatur ($T$) in Beziehung: $k = Ae^{-E_a/RT}$ bzw. $lnk = lnA - \frac{E_a}{RT}$.

Reaktionsmechanismen

• Elementarschritt: Einzelschritt eines Reaktionsmechanismus.
• Molekularität: Anzahl der in einem Elementarschritt beteiligten Reaktantmoleküle (unimolekular, bimolekular, termolekular).
• Geschwindigkeitsbestimmender Schritt: Langsamster Schritt im Mechanismus.

Geschwindigkeitsgesetze für Elementarschritte

• Das Geschwindigkeitsgesetz für einen Elementarschritt kann direkt aus seiner Molekularität abgeleitet werden.
  • Unimolekular: $A \longrightarrow Produkte$, $Rate = k[A]$.
  • Bimolekular: $A + B \longrightarrow Produkte$, $Rate = k[A][B]$ oder $2A \longrightarrow Produkte$, $Rate = k[A]^2$.
  • Termolekular: $2A + B \longrightarrow Produkte$, $Rate = k[A]^2[B]$.

Katalyse

• Ein Katalysator erhöht die Reaktionsgeschwindigkeit, ohne selbst verbraucht zu werden.
  • Homogener Katalysator: In derselben Phase wie die Reaktanten.
  • Heterogener Katalysator: In einer anderen Phase als die Reaktanten, bietet einen alternativen Reaktionsweg mit geringerer Aktivierungsenergie.
  • Enzyme sind biologische Katalysatoren, die biochemische Reaktionen katalysieren, indem sie spezifische aktive Zentren bereitstellen.

Chemische Kinetik (Kurz)

Reaktionsraten

• Für $aA + bB \rightarrow cC + dD$ gilt:
  • Rate $= -\frac{1}{a}\frac{d[A]}{dt} = -\frac{1}{b}\frac{d[B]}{dt} = \frac{1}{c}\frac{d[C]}{dt} = \frac{1}{d}\frac{d[D]}{dt}$

Ratengesetz

• Rate = $k[A]^x[B]^y$
  • k: Geschwindigkeitskonstante
  • x, y: Reaktionsordnungen
  • x + y: Gesamtordnung

Integrierte Geschwindigkeitsgesetze

• Umfassen Beziehungen zwischen den Konzentrationen und der Zeit.
• Nachstehendes Tabelle gibt zusammenfassend Auskunft über diese Beziehungen |Ordnung|Reaktionsgeschwindigkeit|Integriertes Geschwindigkeitsetz|Grafik mit gerader Linie|Steigung| |----|----|----|----|----| |0|Geschwindigkeit = k|${[A]_t = -kt + [A]_0}$|${[A]_t}$ vs. t|-k| |Eins|Geschwindigkeit = k[A]|${ln[A]_t = -kt + ln[A]_0}$|${ln[A]_t}$ vs. t|-k| |Zwei|Geschwindigkeit = k[A]$^2$|$\frac{1}{[A]_t} = kt + \frac{1}{[A]_0}$|$\frac{1}{[A]_t}$ vs. t|k|

Halbwertszeit

• Zeit, die benötigt wird, damit die Reaktantenkonzentration auf die Hälfte ihres Anfangswertes sinkt

Kollisionstheorie

• Hohe Wahrscheinlichkeit, dass moleküle zusammenstoßen um zu reagieren
• Moleküle müssen mit ausreichend Energie kollidieren, um die Bindungen aufzubrechen
  • Aktivierungsenergie ($E_a$)
• Moleküle müssen mit der richtigen Ausrichtung zusammentreten

Übergangszustandstheorie

• Reaktanten passieren hochenergetischen Übergangszustand bzw. aktivierten Komplex
• Aktivierungsenergie $(E_a)$ - d.h. Energie, die benötigt wird, um den Übergangszustand zu bilden

Arrhenius-Gleichung

• $k = Ae^{\frac{-E_a}{RT}}$
  • k = Geschwindigkeitskonstante
  • $E_a$ = Aktivierungsenergie
  • R = Gaskonstante (8,314 J/mol K)
  • T = Temperatur
  • A = Häufigkeitsfaktor
• Beispiel: In (K1/k2)=$E_a$/R (1/$T_2$ - 1/$T_1$)

Reaktionsmechanismen

• Elementarschritt
  • Eine Reaktion, die in einem einzigen Schritt abläuft
• Ratenbestimmender Schritt
  • Der langsamste Schritt in einem Reaktionsmechanismus

Katalysator

• Eine Substanz, die eine Reaktion beschleunigt, ohne verbraucht zu werden. Kann homogen (gleiche Phase wie Reaktanten) oder heterogen (andere Phase als Reaktanten) sein.

Integrationsregeln

• Folgende Integrationsformeln sind zu beachten: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, $n \neq -1$ $\int cf(x) dx = c \int f(x) dx$ $\int [f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx$ $\int k dx = kx + C$ $\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C$ $\int e^x dx = e^x + C$ $\int a^x dx = \frac{a^x}{lna} + C$ $\int sen(x) dx = -cos(x) + C$ $\int cos(x) dx = sen(x) + C$ $\int sec^2(x) dx = tan(x) + C$ $\int csc^2(x) dx = -cot(x) + C$ $\int sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C$ $\int csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C$ $\int tan(x) dx = ln|sec(x)| + C$ $\int cot(x) dx = ln|sen(x)| + C$ $\int sec(x) dx = ln|sec(x) + tan(x)| + C$ $\int csc(x) dx = -ln|csc(x) + cot(x)| + C$ $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = sen^{-1}(\frac{u}{a}) + C$, $a > 0$ $\int \frac{du}{a^2 + u^2} = \frac{1}{a}tan^{-1}(\frac{u}{a}) + C$, $a > 0$ $\int \frac{du}{u\sqrt{u^2 - a^2}} = \frac{1}{a}sec^{-1}(\frac{u}{a}) + C$, $a > 0$

Vektorielle Funktionen

• Vektorielle Funktionen haben reelle Zahlen als Eingabe und Vektoren als Ausgabe.

Definition

• Eine vektorielle Funktion einer reellen Variablen $t$ ordnet jeder reellen Zahl $t$ im Definitionsbereich einen Vektor ${r}(t)$ im $\mathbb{R}^n$ zu: $$ {r}(t) = (f_1(t), f_2(t),..., f_n(t)) $$
  • Dabei sind $f_i(t)$ reelle Funktionen der reellen Variablen t, genannt Komponentenfunktionen von $r$.
  • In zwei Dimensionen: ${r}(t) = (f(t), g(t))$.
  • In drei Dimensionen: ${r}(t) = (f(t), g(t), h(t))$.
  • Beispiel: ${r}(t) = (t^2, \sqrt{t+1}, e^t)$ mit Komponentenfunktionen $f(t) = t^2$, $g(t) = \sqrt{t+1}$ und $h(t) = e^t$.

Grenzwert und Stetigkeit

• Der Grenzwert einer vektoriellen Funktion wird durch den Grenzwert jeder Komponentenfunktion ermittelt.

Definition für den Grenzwert

• Wenn ${r}(t) = (f_1(t), f_2(t),..., f_n(t))$, folglich: $$ lim_{t \to \ alpha} {r}(t) = (lim_{t \to \ alpha} f_1(t), lim_{t \to \ alpha} f_2(t),..., lim_{t \to \ alpha} f_n(t)) $$
  • Sofern die Grenzwerte der Komponentenfunktionen existieren.

Stetigkeit

• Stetigkeit: Eine vektorielle Funktion ${r}$ ist stetig in a, wenn: $$ lim_{t \to \ alpha} {r}(t) = {r}(a) $$
  • Dies bedeutet, dass jede Komponentenfunktion von r in a stetig ist.

Ableitungen und Integrale

• Die Ableitung und das Integral einer vektoriellen Funktion ermittelt man, indem man jede ihrer Komponentenfunktionen ableitet bzw. integriert.

Definition für Vektorielle Ableitungen

• Die Ableitung der vektoriellen Funktion ${r}(t)$ ist: $$ {r}'(t) = \frac{d}{dt} {r}(t) = (f_1'(t), f_2'(t),..., f_n'(t)) $$
  • Sofern Ableitungen der Komponentenfunktionen existieren.
  • Die Ableitung ${r}'(t)$ ist ein Tangentenvektor an die Kurve, die durch ${r}(t)$ im Punkt ${r}(t)$ beschrieben wird, sofern ${r}'(t) ≠ 0$ ist.

Definition für Vektorielle unbestimmte Integrale

• Das unbestimmte Integral einer vektoriellen Funktion ${r}(t)$ ist: $$ ∫ {r}(t) dt = (∫ f_1(t) dt, ∫ f_2(t) dt,..., ∫ f_n(t) dt) $$

Vektorielle bestimmte Integrale

• Ebenso ist das bestimmte Integral einer vektoriellen Funktion ${r}(t)$ von a bis b: $$ ∫_a^b {r}(t) dt = (∫_a^b f_1(t) dt, ∫_a^b f_2(t) dt,..., ∫_a^b f_n(t) dt) $$
• Beispiel: Für ${r}(t) = (t^2, cos(t), 2t)$ ist die Ableitung ${r}'(t) = (2t, -sin(t), 2)$ und das unbestimmte Integral ist $$∫ {r}(t) dt = (\frac{1}{3}t^3 + C_1, sin(t) + C_2, t^2 + C_3)$$ (wobei $C_1$, $C_2$ und $C_3$ Integrationskonstanten sind).

Poisson-Verteilung

• Die Poisson-Verteilung ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeit einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem festen Zeit- oder Raumintervall ausdrückt, wenn diese Ereignisse mit einer bekannten konstanten mittleren Rate und unabhängig von der Zeit seit dem letzten Ereignis auftreten.
• Beispiele:
  • Anzahl der Autos, die eine bestimmte Stelle auf einer Autobahn pro Stunde passieren.
  • Anzahl der Telefonanrufe, die ein Callcenter pro Minute erhält.
  • Anzahl der Tippfehler auf einer Seite.

Definition

• Eine diskrete Zufallsvariable $X$ folgt einer Poisson-Verteilung mit dem Parameter $\lambda > 0$, wenn ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion gegeben ist durch: $$ P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \dots $$
  • $e$ ist die Eulersche Zahl ($e \approx 2.71828$).
  • $k$ ist die Anzahl der auftretenden Ereignisse.
  • $\lambda$ ist eine positive reelle Zahl, die der erwarteten Anzahl an Vorkommnissen entspricht.

Eigenschaften

• Mittelwert: $E(X) = \lambda$
• Varianz: $Var(X) = \lambda$
• Standardabweichung: $\sigma = \sqrt{\lambda}$

Bedingungen für die Poisson-Verteilung

1. Unabhängigkeit: Ereignisse treten unabhängig von den anderen auf.
2. Konstante Rate: Die durchschnittliche Rate (Ereignisse pro Intervall) ist konstant.
3. Proportionalität: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist proportional zur Länge des Intervalls.
4. Keine Gleichzeitigkeit: Mehrere Ereignisse treten nicht exakt zur gleichen Zeit auf.

• Kunden kommen mit einer durchschnittlichen Rate von 20 pro Stunde an. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 25 Kunden ankommen, beträgt $P(X=25) = \frac{e^{-20} 20^{25}}{25!} \approx 0.0446$.

Kumulative Verteilungsfunktion (CDF)

• Die kumulative Verteilungsfunktion (CDF) für eine Poisson-Zufallsvariable ist: $$ P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \frac{e^{-\lambda} \lambda^i}{i!} $$

Anwendungen

• Warteschlangentheorie: Modellierung der Kundenankunft in Systemen.
• Risikomanagement: Modellierung von operativen Risiken.
• Zuverlässigkeit: Modellierung der Anzahl von Fehlern in einem System.
• Ökologie: Modellierung der räumlichen Verteilung von Pflanzen oder Tieren.

Beziehung zu anderen Verteilungen

• Binomialverteilung: Die Poisson-Verteilung kann als Approximation bei großem $n$ und kleinem $p$ genutzt werden, wobei $\lambda = np$.
• Exponentialverteilung: Die Zwischenankunftszeiten in einem Poisson-Prozess folgen einer Exponentialverteilung mit dem Parameter $\lambda$.

Lineare Algebra

• Ziele: Die Grundlagen der linearen Algebra (Vektorräume, lineare Abbildungen, Matrizen) zu erlernen, eine Matrix zu diagonalisieren und euklidische Räume kennenzulernen.

Inhalt

1. Vektorräume und lineare Abbildungen

   • Vektorräume über einem kommutativen Körper.
   • Vektorunterräume.
   • Lineare Abbildungen.
   • Bild und Kern einer linearen Abbildung.
   • Rangsatz.
   • Linearformen und Hyperebenen.
   • Quotientenvektorraum.
   • Direkte Summe von Vektorunterräumen.
   • Projektoren.

2. Matrizen

   • Matrizen und lineare Abbildungen.
   • Operationen mit Matrizen.
   • Invertierbare Matrizen.
   • Transponierung.
   • Spur.
   • Blockmatrizen.
   • Basiswechsel.
   • Äquivalente Matrizen.
   • Ähnliche Matrizen.
   • Rang einer Matrix.

3. Determinanten

   • Determinante einer quadratischen Matrix.
   • Eigenschaften der Determinante.
   • Berechnung der Determinante.
   • Anwendungen der Determinante.

4. Reduktion von Endomorphismen

   • Eigenwerte und Eigenvektoren.
   • Charakteristisches Polynom.
   • Satz von Cayley-Hamilton.
   • Diagonalisierung.
   • Trägonalisierung.
   • Minimales Polynom.
   • Eigenräume.
   • Dunford-Zerlegung.

5. Euklidische Räume

   • Skalarprodukt.
   • Norm.
   • Orthogonalität.
   • Orthonormale Basen.
   • Gram-Schmidt-Verfahren.
   • Orthogonale Projektionen.
   • Hermitesche Räume.

6. Quadratische Formen

   • Bilinearformen.
   • Quadratische Formen.
   • Gauß-Reduktion.
   • Signatur.
   • Positive und positiv definite Formen.

Definition des Vektorraums

• Ein Vektorraum über einem Körper $\mathbb{K}$ ist eine Gruppe E, die mit zwei Operatoren ausgestattet ist: -"Addition": $E \times E \rightarrow E$, notiert als $(u,v)$ -> u+v -Skalarmultiplikation: $\mathbb{K} \times E\rightarrow E$, notiert durch $(\lambda, u) \mapsto \lambda u$ -Diese Operationen müssen die folgenden Axiome erfüllen: - Assoziativität der Addition: $(u+v) +w= u +(v + w)$für alle u, v, w ∈ E - Kommutativität der Addition: u +v= v+ u∀ u, v ∈ E - Vorhandensein eines neutralen Elements für die Addition: Es gibt ein Element 0 ∈ E, so dass u + 0 = u∀ u ∈ E - Existenz eines inversen Elements für die Addition: u ∈ E für alle: es gibt ein Element -U E E, so dass u + (-u) = 0 - Verträglichkeit der Skalarmultiplikation mit der Multiplikation in K: λ (μ u) = (λ μ) u∀ λ, μ ∈ K und u ∈ E
• Distributivität der Skalarmultiplikation in Bezug auf die Vektoraddition: λ (u +v) = λ u + λ v∀ λ ∈ K und u, v, E
  • Distributivität der Skalarmultiplikation relativ zur Addition in K: (λ+μ)u= λ u + μ u∀λ,μ ∈ K und u ∈E
  • NeutronenElement für die Skalarmultiplikation: 1U = u∀ u ∈
  • Beispiele für Vektorräume
    • $\mathbb{R}^n$ ist ein Vektorraum auf $\mathbb{R}$ mit der üblichen Additions- und Skalarmultiplikation.
    • Man könnte sagen, die Menge der Matrizen $m \times n$ mit Koeffizienten in $\mathbb{K}$, die als $M_{m,n} (\mathbb{K})$ bezeichnet wird, ist ein Vektorraum auf $\mathbb{K}$.
    • Die Menge der stetigen Funktionen von $\mathbb{R}$ nach $\mathbb{R}$ ist ein Vektorraum über $\mathbb{R}$. -$\mathbb{C}$ ist ein Vektorraum über $\mathbb{R}$.

Untervektorräume

• Eine Teilmenge F eines Vektorraums E ist ein Untervektorraum von E, wenn: F nicht leer ist.
• Für alle u, v ∈ F, u +v ∈ F.
• Für alle λ ∈ K und u ∈ F, λ u ∈ F. Lineare Kombinationen und Basen

Hauptpunkte linearer Kombination

• Seien v1...vn Vektoren von E. Eine lineare Kombination dieser Vektoren ist ein Ausdruck der Form: - λ 1 v1 + λ 2 v2 +...+ λ n vn, wobei λ 1,...λ n ∈ K.
• Erzeugter Raum: Der von den Vektoren v1,....vn erzeugte Raum ist die Menge aller Linearkombinationen dieser Vektoren.
• Freie Familie: Eine Familie von Vektoren (v1,...vn) heißt frei (oder linear unabhängig), wenn:
• λ 1 v1 + λ 2 v2 +...+ λ n vn = 0 impliziert λ 1 = λ 2 =...= λ n = 0
• Eine Erzeugerfamilie ist eine erzeugende Familie: Eine Vektorfamilie (v1,...vn) wird als erzeugend bezeichnet, wenn jeder Vektor in E als Linearkombination von v1,...,vn geschrieben werden kann.

Basis

• Eine Basis von E ist eine Vektorfamilie, die sowohl frei als auch erzeugend ist.

Die Dimension eines Vektorraums

• Wenn E eine endliche Basis hat, dann haben alle Basen von E die gleiche Anzahl von Elementen. Diese Zahl wird als die Dimension von E bezeichnet, notiert als dim(E).
• Lineare Anwendungen
• Eine Anwendung f: E→F zwischen zwei Vektorräumen E und F zum gleichen Feld K ist linear, wenn : -f (u+v)= f(u)+f (v)für alle u, v ∈ E. -f (λ u)=λ f (u)für alle λ ∈ K und u ∈ E.
• Kernel: Der Kernel von f, notiert als ker(f), ist die Menge der Vektoren in E, die auf den Nullvektor in F abgebildet werden : -ker(f)={u ∈ E∣ f(u)=0}
• Bild Das Bild von f, notiert als Im(f), ist die Menge der Vektoren in F, die das Bild mindestens eines Vektors in E sind : - Im(f)={v ∈ F∣∃ u ∈ E, f(u)=v}

Automatisierter Handel

Vorteile

• Geschwindigkeit: Algorithmen können Trades viel schneller als Menschen ausführen.
• Genauigkeit: Algorithmen können Trades mit größerer Genauigkeit als Menschen ausführen.
• Kosten: Der algorithmische Handel kann die Transaktionskosten senken, indem er den Handelsprozess automatisiert.
• Verfügbarkeit: Algorithmen können 24/7 ohne menschliches Zutun handeln.

Nachteile

• Komplexität: Algorithmische Handelsstrategien können komplex sein und sich nur schwer entwickeln lassen.
• Debugging: Algorithmische Handelsstrategien können nur schwer debuggt werden.
• Überoptimierung: Algorithmische Handelsstrategien können für historische Daten überoptimiert werden und in einem Live-Handel möglicherweise keine gute Leistung erbringen.
• Unerwartete Ereignisse: Algorithmische Handelsstrategien sind möglicherweise nicht in der Lage, unerwartete Ereignisse auf dem Markt zu bewältigen.
• Gemeinsame Begriffe:
  • API: Eine API (Application Programming Interface) ist eine Reihe von Protokollen und Tools zum Erstellen von Softwareanwendungen. --Backtesting: Backtesting ist der Prozess des Testens einer Handelsstrategie anhand historischer Daten.
    • Papierhandel: Papierhandel ist der Prozess des Handels einer Strategie in einer simulierten Umgebung, ohne echtes Geld zu riskieren. -Live-Handel: Der Live-Handel ist der Handel in einem Live-Handelskonto.

Häufige Begriffe

• API: Eine API (Application Programming Interface) ist eine Reihe von Protokollen und Tools zum Erstellen von Softwareanwendungen.
• Backtesting: Backtesting ist der Prozess des Testens einer Handelsstrategie anhand historischer Daten.
• Papierhandel: Papierhandel ist der Prozess des Handels einer Strategie in einer simulierten Umgebung, ohne echtes Geld zu riskieren.
• Live-Handel: Der Live-Handel ist der Handel in einem Live-Handelskonto.

Arten algorithmischer Handelsstrategien

1. Die Trendfolgestrategie
   • Sie identifizieren und verfolgen Trends im Markt.
2. Mittelschichtstrategie
   • Mittelschichtstrategien identifizieren und handeln basierend auf Abweichungen vom Mittelwert.
3. Arbitrage-Strategie
   • Sie identifizieren und nutzen Preisunterschiede in unterschiedlichen Märkten.
4. Statistische Arbitrage-Strategie
   • Sie verwenden Sie statistische Modelle, um Falschbewertungen im Markt zu identifizieren und mit ihnen zu handeln.
5. Makerstrategie
   • Sie stellen dem Markt Liquidität zur Verfügung, indem sie Geld- und Briefkurse angeben. Mathe im Handel
   • Gleitender Durchschnitt: Ein technischer Indikator, der Preisdaten glättet, indem er den Durchschnittspreis über einen bestimmten Zeitraum berechnet.
     • Simple Moving Average (SMA):
       • SMA = A1 + A2 +...+ An/n
     • Exponential Moving Average (EMA):
       • EMAt (wenn t=1),
       • EMA = SMA+α⋅(Preis t−EMA t-1), wenn t > 1

Bollinger-Bänder

• Ein technischer Indikator, der die Volatilität eines Marktes misst.
  • Mittleres Band: 20-Tage Simple Moving Average
    • Oberes Band: 20-Tage SMA + (20-Tage Standardabweichung x 2)
    • Unteres Band: 20-Tage SMA - (20-Tage Standardabweichung x 2)