Einführung in Matrizen

Matrizen

• Eine Matrix ist eine Tabelle von Zahlen.
• Die Zahlen in der Tabelle werden Elemente der Matrix genannt.

Beispielmatrix

• Die Matrix A enthält 3 Zeilen und 3 Spalten: $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} $$

Notation

• Matrizen werden typischerweise durch Großbuchstaben dargestellt.
• Die Elemente einer Matrix werden durch den entsprechenden Kleinbuchstaben mit zwei Indizes bezeichnet.
• Der erste Index steht für die Zeile und der zweite für die Spalte des Elements.
• Zum Beispiel bezeichnet $a_{23}$ das Element in der zweiten Zeile und dritten Spalte.

Dimension

• Die Dimension einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten definiert.
• Eine Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist eine $m \times n$ Matrix.

Operationen

Addition

• Matrizen können nur dann addiert werden, wenn sie die gleiche Dimension haben.
• Die Addition erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ und $B$ Matrizen der Größe $m \times n$ sind, dann ist $C = A + B$ eine $m \times n$ Matrix, bei der $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Skalarmultiplikation

• Eine Matrix kann mit einem Skalar multipliziert werden.
• Die Multiplikation erfolgt elementweise.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $k$ ein Skalar ist, dann ist $B = kA$ eine $m \times n$ Matrix, wobei $b_{ij} = ka_{ij}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Matrizenmultiplikation

• Matrizen können nur dann multipliziert werden, wenn die Anzahl der Spalten der ersten Matrix gleich der Anzahl der Zeilen der zweiten Matrix ist.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix und $B$ eine $n \times p$ Matrix ist, dann ist $C = AB$ eine $m \times p$ Matrix, wobei $c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kj}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Eigenschaften

Assoziativität

$$(AB)C = A(BC)$$

Distributivität in Bezug auf die Addition

$$A(B + C) = AB + AC$$ $$(A + B)C = AC + BC$$

Nichtkommutativität

• Im Allgemeinen gilt $AB \neq BA$.

Transponierung

• Die Transponierte einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^T$, wird durch Vertauschen von Zeilen und Spalten von $A$ erhalten.
• Wenn $A$ eine $m \times n$ Matrix ist, dann ist $A^T$ eine $n \times m$ Matrix, so dass $(a^T){ij} = a{ji}$ für alle $i$ und $j$ gilt.

Eigenschaften der Transponierung

$$(A + B)^T = A^T + B^T$$ $$(kA)^T = kA^T$$ $$(AB)^T = B^T A^T$$ $$(A^T)^T = A$$

Identitätsmatrix

• Die Identitätsmatrix, bezeichnet als $I$, ist eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonalen und Nullen an anderer Stelle. $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 0 \ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$
• Für jede Matrix $A$ gilt $AI = IA = A$.

Inverse

• Die Inverse einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^{-1}$, ist die Matrix, für die $AA^{-1} = A^{-1}A = I$ gilt.
• Nur quadratische Matrizen können eine Inverse haben.
• Eine Matrix mit einer Inversen wird als invertierbar oder regulär bezeichnet.
• Eine Matrix ohne Inverse wird als singulär bezeichnet.

Determinante

• Die Determinante einer Matrix ist eine Zahl, die aus den Elementen der Matrix berechnet werden kann.
• Sie wird als det$(A)$ oder $|A|$ bezeichnet.

Eigenschaften der Determinanten

• det$(A^T)$ = det$(A)$
• det$(AB)$ = det$(A)$det$(B)$
• det$(A^{-1})$= 1/det$(A)$

Berechnung der Determinante

2x2-Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$ det$(A) = ad - bc$

3x3-Matrix

$$ A = \begin{bmatrix} a & b & c \ d & e & f \ g & h & i \end{bmatrix} $$ det$(A) = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh$

Kofaktormatrix

• Die Kofaktormatrix (Comatrix) einer Matrix $A$, bezeichnet als Com$(A)$, ist die Matrix, deren Elemente die Kofaktoren von $A$ sind.
• Der Kofaktor $c_{ij}$ des Elements $a_{ij}$ ist definiert als $c_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$, wobei $M_{ij}$ die Determinante der Matrix ist, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte von $A$ erhalten wird.

Eigenschaft

$$A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)} \text{Com}(A)^T$$

Lösen von linearen Gleichungssystemen

• Matrizen können verwendet werden, um lineare Gleichungssysteme zu lösen.
• Betrachten Sie das folgende lineare Gleichungssystem:

$$ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases} $$

• Dieses System kann in Matrixform geschrieben werden: $Ax = b$, wobei

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} &... & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} &... & a_{2n} \... &... &... &... \ a_{m1} & a_{m2} &... & a_{mn} \end{bmatrix} $$

$$ x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \... \ x_n \end{bmatrix} $$

$$ b = \begin{bmatrix} b_1 \ b_2 \... \ b_m \end{bmatrix} $$

• Wenn $A$ invertierbar ist, dann ist die Lösung des Systems $x = A^{-1}b$.

Vorlesung 18: Kanalkapazität

• Die Kanalkapazität ist die maximale Rate, mit der Informationen zuverlässig über einen Kommunikationskanal übertragen werden können.
• Sie wird in Bits pro Kanalnutzung gemessen.

Kommunikationssystem

• Ein Kommunikationssystem besteht aus einer Informationsquelle, einem Sender, einem Kanal, einem Empfänger und einem Empfänger.
• Die Informationsquelle erzeugt die zu sendende Nachricht.
• Der Sender wandelt das Nachrichtensignal in eine geeignete Form für die Übertragung über den Kanal um.
• Der Kanal ist das physikalische Medium, über das das Signal übertragen wird.
• Der Empfänger rekonstruiert die ursprüngliche Nachricht aus dem empfangenen Signal.
• Der Empfänger ist der beabsichtigte Empfänger der Nachricht.

Diskreter, gedächtnisloser Kanal (DMC)

• In einem DMC wird der Kanal durch eine Menge von Übergangswahrscheinlichkeiten $P(y|x)$ definiert.
• Dabei ist $x$ das Eingangssymbol und $y$ das Ausgangssymbol.
• Der Kanal ist gedächtnislos, d.h. der aktuelle Ausgang hängt nur vom aktuellen Eingang ab und nicht von vergangenen Eingängen oder Ausgängen.

Kanalkapazität eines DMC

• Die Kanalkapazität $C$ eines DMC ist gegeben durch: $C = \max_{p(x)} I(X; Y)$

Dabei gilt:

• $I(X; Y)$ ist die gegenseitige Information zwischen dem Eingang $X$ und dem Ausgang $Y$.
• $p(x)$ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Eingangs.

Eigenschaften der Kanalkapazität

• $C \geq 0$: Die Kanalkapazität ist nichtnegativ.
• $C \leq \min(\log |X|, \log |Y|)$: Die Kanalkapazität wird durch die Größe der Eingangs- und Ausgangsalphabete begrenzt.

Beispiele für die Berechnung der Kanalkapazität

Rauschfreier binärer Kanal

• Gegeben ist eine Kanalmatrix, bei der der Ausgang immer gleich dem Eingang ist:

$p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

• Die Kanalkapazität beträgt $C = 1$ Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Kanal mit nicht überlappenden Ausgängen

• Gegeben ist eine Kanalmatrix, bei der der Ausgang eine deterministische Funktion des Eingangs ist, aber nicht notwendigerweise gleich:

$p(y|x) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{bmatrix}$

• Die Kanalkapazität beträgt $C = 1$ Bit pro Kanalnutzung.

Verrauschter Fernschreiber

• Für ein Alphabet der Größe $|X| = a$ wird jeder Eingang sich selbst und dem nächsten Buchstaben mit gleicher Wahrscheinlichkeit zugeordnet:

$C = \log a - 1$

Binärer symmetrischer Kanal (BSC)

• Ein binärer Kanal mit einer Crossover-Wahrscheinlichkeit $p$.
• Ein Bit wird während der Übertragung mit der Wahrscheinlichkeit $p$ umgedreht.

$C = 1 - H(p)$, wobei $H(p)$ die binäre Entropiefunktion ist.

Binärer Auslöschungskanal (BEC)

• Ein binärer Kanal, bei dem ein Bit entweder mit der Wahrscheinlichkeit $1 - \alpha$ korrekt übertragen oder mit der Wahrscheinlichkeit $\alpha$ gelöscht wird.

$C = 1 - \alpha$

• Diese Beispiele veranschaulichen, wie die Kanalkapazität für verschiedene Arten von Kanälen berechnet wird.
• Sie zeigen wie diese von den Kanaleigenschaften und der Eingangsverteilung abhängt.

Das Prinzip von Bernoulli

• Das Prinzip von Bernoulli, das im 18. Jahrhundert von Daniel Bernoulli entdeckt wurde, besagt, dass für eine reibungslose Strömung eine Erhöhung der Geschwindigkeit des Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potentiellen Energie des Fluids einhergeht.

Wie Flügel Auftrieb erzeugen

• Die Luft strömt schneller über die Oberfläche des Flügels als darunter.
• Die höhere Geschwindigkeit erzeugt einen geringeren Druck oben.
• Der Auftrieb entsteht durch den Druckunterschied.

Tragflügeldesign

• Die spezialisierte Form maximiert den Auftrieb.
• Abgerundete Vorderkante, scharfe Hinterkante.

Druckverteilung

• Geringerer Druck oben.
• Höherer Druck unten.

Gleichung

$\frac{V^2}{2} + gz + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$

Dabei gilt:

• $V$ ist die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids.
• $g$ ist die Erdbeschleunigung
• $z$ ist die Höhe
• $p$ ist der Druck
• $\rho$ ist die Dichte.

Zusammenfassung

Einführung

• Dieser Bericht fasst die wichtigsten Ergebnisse der PSRA (Preliminary System Risk Assessment)-Risikobewertung des Systems zusammen.

Schlüsselergebnisse

Identifizierte Bedrohungen

• Phishing: Social-Engineering-Angriffe zum Abgreifen von Anmeldedaten.
• Malware: Schadsoftware, die die Integrität des Systems gefährdet.
• DDoS-Angriffe: Unterbrechung des Dienstes durch Sättigung der Ressourcen.

Entdeckte Schwachstellen

• Veraltete Software: Fehlende Sicherheitspatches.
• Schwache Konfigurationen: Standardpasswörter und lasche Zugriffsrichtlinien.
• Fehlende Netzwerksegmentierung: Erleichterung der lateralen Bewegung im Fall eines Einbruchs.

Potenzielle Auswirkungen

• Datenverlust: Exfiltration oder Verschlüsselung sensibler Informationen.
• Dienstunterbrechung: Nichtverfügbarkeit des Systems, die den Betrieb beeinträchtigt.
• Reputationsschaden: Verlust des Vertrauens von Nutzern und Kunden.

Empfehlungen

Bedrohungsminimierung

• Einführung einer Multi-Faktor-Authentifizierung (MFA).
• Verwendung von Anti-Malware-Lösungen und Firewalls.
• Überwachung und Filterung des Netzwerkverkehrs zur Erkennung von Anomalien.

Behebung von Schwachstellen

• Regelmäßige Aktualisierung der Software und Anwendung von Sicherheitspatches.
• Stärkung der Passwortrichtlinien und der Zugriffskontrolle.
• Segmentierung des Netzwerks zur Begrenzung der lateralen Bewegung.

Nächste Schritte

• Durchührung von Penetrationstests, um die Wirksamkeit der Sicherheitsmaßnahmen zu validieren.
• Entwicklung eines Reaktionsplans für Vorfälle zur Minderung der Auswirkungen möglicher Angriffe.
• Schulung des Personals in IT-Sicherheit und Sensibilisierung für Bedrohungen.

Fazit

• Die PSRA-Bewertung hat die Identifizierung signifikanter Risiken ermöglicht, die sich auf die Sicherheit des Systems auswirken könnten.
• Die Umsetzung der vorgeschlagenen Empfehlungen ist grundlegend, um die Sicherheitsvorkehrungen zu verstärken und die Assets der Organisation zu schützen.

Reguläre Ausdrücke

• Ein regulärer Ausdruck ist eine Zeichenkette, die ein Suchmuster definiert.
• Sie werden verwendet, um Zeichenketten zu durchsuchen, zu bearbeiten oder zu manipulieren.

Syntax regulärer Ausdrücke

• Reguläre Ausdrücke bestehen aus Literalen Zeichen und Metazeichen

Metazeichen

Zeichenklassen

Quantoren

Beispiele

• 'a.c': Passt auf abc,adc,aec usw.
• 'a*' Passt auf '',a,aa,aaa, usw.
• 'a+' Passt auf 'a', 'aa', etc. (Aber nicht auf '').
• 'a?'`` Passt auf ''oder 'a'`.
• '[abc]'Passt auf 'a', 'b'oder 'c'.
• '[a-z]': Passt auf jeden Kleinbuchstaben
• '[0-9]': Passt auf jede Ziffer
• '^abc$': Passt nur auf die Zeichenkette 'abc'
• '\d{3}-\d{2}-\d{4}': Passt auf ein Datum im Format "XXX-XX-XXXX"

Verwendung

• Reguläre Ausdrücke werden in vielen Programmiersprachen und Texteditoren unterstützt.
• Text zu suchen und zu ersetzen
• Daten zu validieren
• Text zu extrahieren
• Text zu parsen

Werkzeuge

• Regex101: https://regex101.com/
• RegExr: https://regexr.com/

Hinweise

• Reguläre Ausdrücke können komplex und schwer zu lesen sein.
• Es ist wichtig, reguläre Ausdrücke sorgfältig zu testen, um sicherzustellen, dass sie das gewünschte Ergebnis liefern.
• Es gibt viele verschiedene Dialekte von regulären Ausdrücken.
• Die Syntax kann sich je nach verwendeter Programmiersprache oder Tool unterscheiden.

Die trigonometrischen Funktionen

Trigonometrische Verhältnisse

Rechtwinklige Dreiecke

• Gegeben sei ein rechtwinkliges Dreieck mit dem spitzen Winkel $\theta$:
• Sinus (sin): $\sin \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Kosinus (cos): $\cos \theta = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$
• Tangens (tan): $\tan \theta = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$

Reziproke Kennzahlen

• Kosekans (csc): $\csc \theta = \frac{1}{\sin \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Gegenkathete}}$
• Sekans (sec): $\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = \frac{\text{Hypotenuse}}{\text{Ankathete}}$
• Kotangens (cot): $\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Gegenkathete}}$

Der Einheitskreis

• Betrachten Sie einen Einheitskreis (Radius = 1), dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt.
• Ein Winkel $\theta$ wird gegen den Uhrzeigersinn von der positiven x-Achse aus gemessen.
• Der Punkt, an dem die Endseite von $\theta$ den Einheitskreis schneidet, hat die Koordinaten $(\cos \theta, \sin \theta)$.
• $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$

Schlüsselwerte

Graphen trigonometrischer Funktionen

Sinusfunktion

• $y = \sin x$
• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Domain: $(-\infty, \infty)$
• Range: $[-1, 1]$

Kosinusfunktion

• $y = \cos x$
• Periode: $2\pi$
• Amplitude: 1
• Domain: $(-\infty, \infty)$
• Range: $[-1, 1]$

Tangensfunktion

• $y = \tan x$
• Periode: $\pi$
• Domain: $x \neq \frac{\pi}{2} + n\pi$, wobei n eine ganze Zahl ist.
• Range: $(-\infty, \infty)$
• Vertikale Asymptoten(senkrechte Linien): $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$

Trigonometrische Identitäten

Pythagoreische Identitäten

• $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$
• $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$
• $1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$

Winkel-Summen- und Differenzidentitäten

• $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$
• $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$
• $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$

Doppelwinkelidentitäten

• $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
• $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$
• $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

Halbwinkelidentitäten

• $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
• $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
• $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta}$

Inverse trigonometrische Funktionen

Inverser Sinus (arcsin oder $\sin^{-1}$)

• $y = \sin^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\sin y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $-\frac{\pi}{2} \leq y \leq \frac{\pi}{2}$.

Inverser Kosinus (arccos oder $\cos^{-1}$)

• $y = \cos^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\cos y = x$, wobei $-1 \leq x \leq 1$ und $0 \leq y \leq \pi$.

Inverser Tangens (arctan oder $\tan^{-1}$)

• $y = \tan^{-1} x$ dann und nur dann, wenn $\tan y = x$, wobei $-\infty < x < \infty$ und $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$.

Gesetze

Sinussatz

• In einem beliebigen Dreieck mit den Seiten a, b, c und den Winkeln A, B, C, die diesen Seiten gegenüberliegen:

$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$

Kosinussatz

• In einem beliebigen Dreieck mit den Seiten a, b, c