Einführung in die Aussagenlogik

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Questions and Answers

Welche der folgenden Formeln ist syntaktisch korrekt?

  • 𝑝¬ ∨ 𝑞
  • 𝑝 ∧∨ 𝑞
  • 𝑝 (correct)
  • ¬ 𝑝 ∧ 𝑞 (correct)

Was ist eine Belegung in der aussagenlogischen Semantik?

  • Ein Satz von Regeln für logische Schlussfolgerungen
  • Eine Abbildung, die Variablen Wahrheitswerte zuordnet (correct)
  • Eine Definition der Syntax einer Formel
  • Eine Aufzählung aller möglichen Formeln

Was zeigt die Wahrheitstabelle in Bezug auf eine aussagenlogische Formel?

  • Die Belegung und die resultierenden Wahrheitswerte (correct)
  • Die dem Atom zugeordneten Wahrheitswerte
  • Die Verknüpfungen zwischen den Variablen
  • Die syntaktische Struktur der Formel

Welcher der folgenden Wahrheitswerte ist korrekt zugeordnet, wenn 𝐵 eine Belegung ist?

<p>𝐵 𝑥 = f, wenn x falsch ist (A), 𝐵 𝑥 = w, wenn x wahr ist (D)</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Formeln ist syntaktisch nicht korrekt?

<p>x1 ∨ 𝑥2 ∧ (C)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt am besten die Rolle von atomaren Aussagen in der Aussagenlogik?

<p>Sie sind grundlegende Behauptungen, die als wahr oder falsch bewertet werden. (A)</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen ist atomar?

<p>Berlin ist die Hauptstadt von Deutschland. (C)</p> Signup and view all the answers

Wie werden die Wahrheitswerte in der Aussagenlogik abgekürzt?

<p>w für wahr, f für falsch. (B), 1 für richtig, 0 für falsch. (C)</p> Signup and view all the answers

Welche logischen Operatoren werden verwendet, um Aussagen zu verknüpfen?

<p>UND, ODER und NICHT. (B)</p> Signup and view all the answers

In welchem Bereich ist die Logik in der Informatik nicht relevant?

<p>Kochrezepte erstellen. (B)</p> Signup and view all the answers

Was wird mit Wissensrepräsentation in der Informatik angestrebt?

<p>Darstellung von menschlichem Wissen in Form von Regeln. (C)</p> Signup and view all the answers

Welcher Begriff beschreibt das logische Schließen als Suche nach Lösungen für komplexe Probleme?

<p>Optimierung. (C)</p> Signup and view all the answers

Welches dieser Konzepte gehört nicht zur Informatik-logischen Anwendung?

<p>Künstlerisches Design. (B)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt der Junktor NICHT (¬) in der Aussagenlogik?

<p>Er ist ein unärer Operator. (B), Er verändert den Wahrheitswert einer Aussage. (D)</p> Signup and view all the answers

Wie wird eine Implikation in der Aussagenlogik formalisiert?

<p>𝑎 → 𝑏 (A)</p> Signup and view all the answers

Was bedeutet bei der Aussage "Wenn es regnet, dann wirst du nass", wenn es nicht regnet?

<p>Es kann auch andere Gründe geben, nass zu werden. (D)</p> Signup and view all the answers

In welchem Fall ist die Aussage ¬𝑎 wahr?

<p>Wenn die Aussage 𝑎 falsch ist. (B)</p> Signup and view all the answers

Was bedeutet der Ausdruck 'Aussagenlogik'?

<p>Er unterscheidet zwischen wahren und falschen Aussagen. (B)</p> Signup and view all the answers

Welches Beispiel stellt eine logische Implikation dar?

<p>Ich werde schlafen, wenn ich müde bin. (C)</p> Signup and view all the answers

Welche Bedingung führt dazu, dass die Implikation 𝑎 → 𝑏 falsch ist?

<p>Wenn 𝑎 wahr und 𝑏 falsch ist. (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist ein Beispiel für logisches ODER in der Aussagenlogik?

<p>Es regnet oder die Straße ist nass. (C)</p> Signup and view all the answers

Wie kann die Implikation a → b ausgedrückt werden?

<p>¬a ∨ b (C)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Aussage ¬a ∨ b in einem umgangssprachlichen Beispiel?

<p>Entweder greife nicht auf die heiße Herdplatte, oder du verbrennst dir die Hand. (A)</p> Signup and view all the answers

Wie kann die Äquivalenz a 𝑏 ausgedrückt werden?

<p>a ∧ b ∨ (¬a ∧ ¬b) (C)</p> Signup and view all the answers

Welche der folgenden Aussagen ist eine Tautologie?

<p>a ∨ ¬a (D)</p> Signup and view all the answers

Wenn v die Aussage "Verena war am Tatort" beschreibt, was könnte die Aussage ¬v bedeuten?

<p>Verena war nicht am Tatort. (A)</p> Signup and view all the answers

In welcher der folgenden Situationen wäre die Aussage (a → b) falsch?

<p>a ist wahr, b ist falsch. (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist die korrekte Interpretation der Aussage "Wenn du Raucher bist, dann bist du nicht gesund"?

<p>Rauchen erhöht das Risiko, nicht gesund zu sein. (C)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Wahrheitstafel für die Aussage ¬a ∨ b?

<p>Die Werte sind wahr, wenn entweder ¬a oder b wahr ist. (B)</p> Signup and view all the answers

Was sind die Minterme in der Aussagenlogik?

<p>Die entsprechenden Konjunktionsterme (D)</p> Signup and view all the answers

Wie wird eine aussagenlogische Formel in die kanonische disjunktive Normalform (kDN) überführt?

<p>Indem fehlende Variablen ohne Verfälschung hinzugefügt werden (C)</p> Signup and view all the answers

Welches Gesetz wird verwendet, um Terme während des Erstellungsprozesses zusammenzufassen?

<p>Idempotenzgesetz (D)</p> Signup and view all the answers

Was geschieht im ersten Schritt bei der Erzeugung der kanonischen Normalformen?

<p>Die Anwesenheit aller Minterme oder Maxterme wird geprüft (B)</p> Signup and view all the answers

Was passiert, wenn noch Variablen in den Termen fehlen?

<p>Ein fehlendes Atom wird ausgewählt und eingefügt (C)</p> Signup and view all the answers

Wie wird eine fehlende Variable in einen Konjunktionsterm eingefügt?

<p>Durch Einfügen der Expression 𝐾 ∧ (𝑎 ∨ ¬𝑎) (A)</p> Signup and view all the answers

Welcher Prozess wird als erstes bei der Umformung einer Formel verwendet?

<p>Überprüfung der vorhandenen Terme (C)</p> Signup and view all the answers

Welche dieser Aussagen beschreibt die kanonische Normalform (kKN)?

<p>Sie ist die Konjunktion aller Maxterme einer Formel (D)</p> Signup and view all the answers

Was ist die Bedeutung von $p(t_1, …, t_n)^{oldsymbol{ ext{ℐ,𝒵}}}$, wenn $t_1^{oldsymbol{ ext{ℐ,𝒵}}}, …, t_n^{oldsymbol{ ext{ℐ,𝒵}}} ∈ p^{oldsymbol{ ext{ℐ}}}$?

<p>Es ist wahr. (A)</p> Signup and view all the answers

Was bedeutet {$oldsymbol{ ext{ℐ,𝒵}}$} $⊭ G$ für eine Formel $G$?

<p>Die Formel $G$ ist in dieser Interpretation nicht gültig. (D)</p> Signup and view all the answers

Wann erfüllt die Interpretation ${oldsymbol{ ext{ℐ,𝒵}}} ⊨ F$ eine Formel $F$?

<p>Mindestens eine der rekursiven Bedingungen ist erfüllt. (A)</p> Signup and view all the answers

Was kennzeichnet die quantifizierte Aussage $ orall x.G$?

<p>G muss für jedes $x$ wahr sein. (D)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Formel $G_1 → G_2$ in Bezug auf ihre Wahrheitswerte?

<p>$G_1$ ist falsch und $G_2$ kann beliebig sein. (B)</p> Signup and view all the answers

Welche Aussage über die gegenteilige Formel $ eg G$ trifft zu?

<p>Es ist immer wahr, wenn $G$ wahr ist. (C)</p> Signup and view all the answers

Was beschreibt die Aussage $ ext{∃} x.G$?

<p>G ist für mindestens ein $x$ wahr. (D)</p> Signup and view all the answers

Bei welcher Formel müssen sowohl $G_1$ als auch $G_2$ wahr sein, damit die gesamte Formel wahr ist?

<p>$G_1 ∧ G_2$ (A)</p> Signup and view all the answers

Wie verhalten sich die Wahrheitswerte der Formeln $G_1 ∨ G_2$ und $G_1 ∧ G_2$ zueinander?

<p>Das eine erfordert mindestens eine wahre Teilformel. (B)</p> Signup and view all the answers

In welchem Fall ist die Abbildung $t^{oldsymbol{ ext{ℐ,𝒵}}}$ undefiniert?

<p>Wenn $t$ nicht im Definitionsbereich liegt. (B)</p> Signup and view all the answers

Flashcards

Atomare Aussage

Eine Behauptung, die eindeutig als "wahr" oder "falsch" eingestuft werden kann.

Logische Operatoren

Verknüpfungen, die Aussagen miteinander verbinden und deren Wahrheitswert beeinflussen.

Wahrheitswerte

Die möglichen Werte einer Aussage: wahr oder falsch.

Atome (in der Aussagenlogik)

Die Grundbausteine der Aussagenlogik, die Behauptungen darstellen, die eindeutig wahr oder falsch sind.

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Beispiel für Aussage

"Berlin ist die Hauptstadt Deutschlands"

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Beispiel für keine Aussage

"Horb wird irgendwann Hauptstadt Deutschlands"

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Verknüpfte Aussagen

Aussagen, die durch logische Operatoren miteinander verbunden werden.

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logische Oder

Eine Verknüpfung, die wahr ist, wenn mindestens eine der Aussagen wahr ist.

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Nicht-Operator (¬)

Er negiert einen Wahrheitswert. Falsch wird zu Wahr, Wahr zu Falsch.

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Implikation (wenn…dann)

Eine Verknüpfung, die aussagt, dass aus Aussage a Aussage b folgt.

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Aussage a

Eine Aussage (z.B. Es regnet)

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Aussage b

Eine Aussage (z.B. die Straße wird nass)

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Wahrheitstafel

Eine Tabelle, die alle möglichen Wahrheitskombinationen von Aussagen und Operatoren aufzeigt.

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Syntaktisch korrekte Formel

Eine Formel in der Aussagenlogik, die den Regeln der Syntax folgt und somit gültig ist.

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Syntaktisch nicht korrekte Formel

Eine Formel in der Aussagenlogik, die den Regeln der Syntax nicht folgt und somit ungültig ist.

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Belegung (Aussagenlogik)

Eine Zuordnung von Wahrheitswerten (wahr oder falsch) zu den Aussagenvariablen in einer aussagenlogischen Formel.

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Wahrheitswert einer Formel

Der Wahrheitswert einer aussagenlogischen Formel hängt davon ab, welche Wahrheitswerte den Variablen zugewiesen wurden (Belegung).

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Wahrheitstabelle

Eine Tabelle, die alle möglichen Belegungen von Variablen und die resultierenden Wahrheitswerte einer aussagenlogischen Formel auflistet.

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Kanonische Disjunktive Normalform (kDN)

Eine aussagenlogische Formel, die als Disjunktion von Konjunktionen dargestellt wird, wobei jede Konjunktion alle Variablen der Formel enthält, entweder in positiver oder negativer Form.

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Kanonische Konjunktive Normalform (kKN)

Eine aussagenlogische Formel, die als Konjunktion von Disjunktionen dargestellt wird, wobei jede Disjunktion alle Variablen der Formel enthält, entweder in positiver oder negativer Form.

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Minterm

Ein Konjunktionsterm in einer kDN, der alle Variablen enthält und einen bestimmten Wahrheitswert der Formel repräsentiert.

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Maxterm

Ein Disjunktionsterm in einer kKN, der alle Variablen enthält und einen bestimmten Wahrheitswert der Formel repräsentiert.

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Algorithmus kDN/kKN

Eine Methode zur Umformung von Normalformen in kanonische Normalformen durch Hinzufügen fehlender Variablen und Anwendung des Distributivgesetzes.

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fehlende Variablen

Variablen, die in einem Term einer aussagenlogischen Formel nicht vorkommen, obwohl sie in der Gesamtformel vorkommen.

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Implikation (→)

Eine logische Verknüpfung, die angibt, dass eine Aussage (a) eine andere Aussage (b) impliziert. a → b bedeutet: Wenn a wahr ist, dann ist b wahr.

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Äquivalenz (↔)

Eine logische Verknüpfung, die angibt, dass zwei Aussagen den gleichen Wahrheitswert haben.

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¬a (Negation)

Die Negation von a. Wenn a wahr ist, ist ¬a falsch, und wenn a falsch ist, ist ¬a wahr.

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a → b als ¬a ∨ b

Die Implikation a → b ist logisch äquivalent zu ¬a ∨ b.

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Tautologie

Eine Aussage, die immer wahr ist, unabhängig vom Wahrheitswert ihrer Bestandteile.

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Wahrheitstafel

Eine Tabelle, die alle möglichen Wahrheitswerte für eine logische Aussage oder mehrere Aussagen in allen Kombinationen zeigt.

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a ∧ b

Die Konjunktion von a und b. Nur wahr, wenn beide a und b wahr sind.

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a ∨ b

Die Disjunktion von a und b. Wahr, wenn mindestens eine von a oder b wahr ist.

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a ↔ b

Die Äquivalenz von a und b. Wahr, wenn a und b denselben Wahrheitswert haben (beide wahr oder beide falsch).

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a ≡ b

a ≡ b ist eine alternative Notation für a ↔ b.

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Atomrische Aussagen

Die grundlegenden Bausteine der Aussagenlogik, die entweder wahr oder falsch sind.

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Mordfall-Aussagen

Aussagen die im Rahmen eines Mordfalls vorkommen und die Verknüpfung von Ereignissen und Personen beschreiben.

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Interpretation ℐ

Eine Zuweisung, die jede Konstante und jede Variable den entsprechenden Wert in der Modellmenge Δℐ zuordnet.

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Zuweisung 𝒵

Eine Zuordnung von Variablen zu Werten in der Modellmenge Δℐ.

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Atom 𝑝(𝑡1, …, 𝑡𝑛)

Ein Grundbaustein in der Prädikatenlogik, der einen Wahrheitswert (1 oder 0) hat.

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𝑝(𝑡1, …, 𝑡𝑛)ℐ,𝒵 = 1

Ein Atom ist wahr, wenn die Terme 𝑡1ℐ,𝒵, …, 𝑡𝑛ℐ,𝒵 im Prädikat 𝑝 ℐ enthalten sind.

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𝑝(𝑡1, …, 𝑡𝑛)ℐ,𝒵 = 0

Ein Atom ist falsch, wenn die Terme 𝑡1ℐ,𝒵, …, 𝑡𝑛ℐ,𝒵 nicht im Prädikat 𝑝 ℐ enthalten sind.

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ℐ, 𝒵 ⊨ 𝐹

Die Interpretation ℐ und die Zuweisung 𝒵 erfüllen die Formel 𝐹.

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∀𝑥.𝐺

Für alle Werte von 𝑥 gilt G.

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∃𝑥.𝐺

Es existiert ein Wert von 𝑥, für den G gilt.

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Modellmenge Δℐ

Die Menge der möglichen Werte für Variablen in der Prädikatenlogik.

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Study Notes

Theoretische Informatik 1 - Markus Kaupp 2024

  • Vorlesungsunterlagen für Theoretische Informatik 1 im Jahr 2024 von Markus Kaupp.
  • Titelbild der Vorlesung wurde von KI-gestütztem Programm Microsoft Designer erstellt.
  • Der Prompt für das Titelbild lautete: „Erstelle ein Bild zum Thema Theoretische Informatik, das Studierende motiviert, sich mit dem Thema auseinanderzusetzen...“
  • Zur Teilnahme an der Vorlesung kann die Plattform Particify genutzt werden, um Feedback zum Tempo zu geben und Verständnisfragen zu stellen.
  • Die Vorlesung besteht aus verschiedenen Themen, darunter Einführung, was gute Informatiker ausmacht (Abstraktion und Logik), was theoretische Informatik ist, die vier Säulen, Grundlagen der Logik, Aussagenlogik, Implikation, Äquivalenz, Syntax, Semantik, kanonische Normalformen, Resolution, Umgangssprache zur Prädikatenlogik.
  • Logik, als Kunst des Denkens
  • Die Struktur von Argumenten wird analysiert, unabhängig vom Inhalt der Aussagen (formale Logik).
  • Wichtige Persönlichkeiten: Edsger W. Dijkstra (Informatiker, Turing-Award-Gewinner).
  • Die Informatik umfasst verschiedene Teilbereiche: Technische Informatik, Theoretische Informatik, Praktische Informatik und Angewandte Informatik.
  • Die vier Säulen der Informatik: Rechnerarchitekturen, Software-Engineering, Algorithmentheorie.
  • Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik.
  • Prädikate und Quantoren ermöglichen Aussagen über Objekte und deren Eigenschaften.
  • Quantoren (∃, ∀): Existenz- und Allquantor.
  • Teilformeln: Alle Teilausdrücke, die selbst Formeln sind.
  • Freie und gebundene Variablen.
  • Logische Formeln und Sätze.
  • Semantik, Interpretierungen und Beispiel.
  • Einordnung von Äquivalenz, Tautologie, Unerfüllbarkeit und Beispiele.
  • Normalformen (disjunktiv und konjunktiv) und deren algorithmische Erzeugung.
  • Automatische Resolution in PROLOG.
  • Backtracking und deren Ablauf.
  • Beispiele und Übungsaufgaben.
  • Die Nutzung verschiedener Tools und Plattformen (z. B. Particify)
  • Literaturverzeichnis (die genaue Liste ist nicht verfügbar).

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