Eigenvalue और Eigenvector

ज़रूर, यहां आपके अध्ययन नोट्स हैं:

आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर

• मान लीजिए $A$ एक $n \times n$ मैट्रिक्स है। एक अदिश $\lambda$ को $A$ का आइगेनवैल्यू कहा जाता है यदि $\mathbb{R}^n$ में एक गैर-शून्य वेक्टर $x$ ऐसा मौजूद है

  $Ax = \lambda x$

• इस मामले में, $x$ को $\lambda$ से संबद्ध $A$ का एक आइगेनवेक्टर कहा जाता है।

टिप्पणियाँ

• eigenvectors ≠ 0
• eigenvalues = 0 स्वीकार्य है

आइगेनवैल्यू कैसे खोजें?

• यदि $\lambda$ $A$ का एक आइगेनवैल्यू है, तो $x \neq 0$ ऐसा मौजूद है कि $Ax = \lambda x$।

  $Ax = \lambda x \Rightarrow Ax = \lambda I x \Rightarrow Ax - \lambda I x = 0 \Rightarrow (A - \lambda I)x = 0$

• $x \neq 0$ तभी मौजूद हो सकता है जब

  $\det(A - \lambda I) = 0$

• यह $A$ का विशेषता समीकरण है। इस समीकरण के मूल $A$ के आइगेनवैल्यू हैं।

आइगेनवेक्टर कैसे खोजें?

• प्रत्येक आइगेनवैल्यू $\lambda$ के लिए, हम रैखिक प्रणाली $(A - \lambda I)x = 0$ का समाधान करते हैं। इस प्रणाली के गैर-शून्य समाधान $\lambda$ से संबद्ध आइगेनवेक्टर हैं।

उदाहरण

• $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$ के आइगेनवैल्यू और आइगेनवेक्टर ज्ञात करें।

समाधान

• विशेषता समीकरण है

  $\det(A - \lambda I) = 0 \Rightarrow \det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 \ 2 & 1-\lambda \end{bmatrix} = 0$

  $(1-\lambda)^2 - 4 = 0 \Rightarrow 1 - 2\lambda + \lambda^2 - 4 = 0 \Rightarrow \lambda^2 - 2\lambda - 3 = 0$

  $\lambda = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} = 1 \pm 2$

  $\lambda_1 = 3, \lambda_2 = -1$

• $\lambda_1 = 3$ के लिए:

  $(A - 3I)x = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} -2 & 2 \ 2 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = 0$

  $-2x_1 + 2x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2$

  $x = \begin{bmatrix} x_1 \ x_1 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$

  $\lambda_1 = 3$ से संबद्ध आइगेनवेक्टर: $v_1 = \begin{bmatrix} 1 \ 1 \end{bmatrix}$

• $\lambda_2 = -1$ के लिए:

  $(A - (-1)I)x = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix} 2 & 2 \ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \ x_2 \end{bmatrix} = 0$

  $2x_1 + 2x_2 = 0 \Rightarrow x_1 = -x_2$

  $x = \begin{bmatrix} x_1 \ -x_1 \end{bmatrix} = x_1 \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$

  $\lambda_2 = -1$ से संबद्ध आइगेनवेक्टर: $v_2 = \begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}$

टिप्पणी

• भिन्न आइगेनवैल्यू से संबद्ध आइगेनवेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।