Ecuația de gradul 2 și soluțiile sale

Questions and Answers

Care este forma generală a unei ecuații de gradul 2 și ce condiție trebuie să îndeplinească coeficientul 'a'?

Forma generală este $ax^2 + bx + c = 0$, iar coeficientul 'a' trebuie să fie diferit de zero.

Ce reprezintă discriminantul în ecuațiile de gradul 2 și cum se calculează?

Discriminantul, notat cu $D$, se calculează folosind formula $D = b^2 - 4ac$.

Câte soluții reale există pentru o ecuație de gradul 2 când discriminantul este pozitiv?

Există două soluții reale distincte.

Care este formula pentru a calcula soluțiile unei ecuații de gradul 2?

Soluțiile se calculează cu formula $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$. Signup and view all the answers

Cum se poate factoriza o ecuație de gradul 2 și ce simboluri se folosesc pentru soluții?

O ecuație de gradul 2 poate fi factorizată în forma $(x - x_1)(x - x_2) = 0$, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile. Signup and view all the answers

Ce informație oferă semnul coeficientului 'a' în graficul unei ecuații de gradul 2?

Dacă $a > 0$, parabola se deschide în sus, iar dacă $a < 0$, se deschide în jos. Signup and view all the answers

Coeficientul lui x^2 în ecuația de gradul 2 este notat cu ______.

a Signup and view all the answers

Pentru ecuația 2x^2 - 4x - 6 = 0, coeficientul lui x este ______.

-4 Signup and view all the answers

Calculul discriminantului pentru ecuația x^2 + 2x + 1 = 0 dă ______.

0 Signup and view all the answers

Dacă discriminantul este mai mic decât 0, ecuația are ______ soluții reale.

nicio Signup and view all the answers

În ecuația 3x^2 + 6x + 3 = 0, termenul liber este ______.

3 Signup and view all the answers

Pentru ecuația x^2 - 4x + 5 = 0, coeficientul ______ este 5.

c Signup and view all the answers

Soluția unică pentru ecuația x^2 + 2x + 1 = 0 este ______.

-1 Signup and view all the answers

Discriminantul D se calculează folosind formula ______.

D = b^2 - 4ac Signup and view all the answers

Study Notes

Ecuatia de gradul 2 (Ecuația quadratică)

Definiție: O ecuație de gradul 2 are forma generală:
- ( ax^2 + bx + c = 0 )
- unde ( a \neq 0 ), ( a, b, c ) sunt coeficienți.
Coeficienți:
- ( a ): coeficientul termenului de gradul 2
- ( b ): coeficientul termenului de gradul 1
- ( c ): termenul liber
Discriminant (( D )):
- Formula: ( D = b^2 - 4ac )
- Rol: determină natura soluțiilor ecuației:
 - ( D > 0 ): două soluții reale distincte
 - ( D = 0 ): o soluție reală dublă
 - ( D < 0 ): nu are soluții reale (soluții complexe)
Formulele soluțiilor:
- Soluțiile ecuației se calculează folosind formula:
  - ( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} )
Factori de factorizare:
- O ecuație de gradul 2 poate fi factorizată în forma:
  - ( (x - x_1)(x - x_2) = 0 )
- Unde ( x_1 ) și ( x_2 ) sunt soluțiile (rădăcinile) ecuației.
Graficul funcției:
- Graficul ecuației ( y = ax^2 + bx + c ) este o parabolă.
- Deschiderea:
 - Dacă ( a > 0 ): parabolă deschisă în sus
 - Dacă ( a < 0 ): parabolă deschisă în jos
- Vârful parabolei se află la:
 - ( x_v = -\frac{b}{2a} )
 - ( y_v = f(x_v) )
Aplicații:
- Este utilizată în diverse domenii, inclusiv fizică (proiectile), economie (maximizare/minimizare) și inginerie (analiza structurilor).

Definiția ecuației de gradul 2

Ecuația are forma generală: ( ax^2 + bx + c = 0 )
Coeficientul ( a ) nu poate fi zero: ( a \neq 0 )
Coeficienții sunt:
- ( a ): coeficientul termenului de gradul 2
- ( b ): coeficientul termenului de gradul 1
- ( c ): termenul liber

Discriminantul ecuației

Discriminantul, notat cu ( D ), se calculează astfel: ( D = b^2 - 4ac )
Natura soluțiilor ecuației depinde de valoarea lui ( D ):
- ( D > 0 ): două soluții reale distincte
- ( D = 0 ): o soluție reală dublă
- ( D < 0 ): nu are soluții reale, ci soluții complexe

Formulele soluțiilor

Soluțiile ecuației se determină cu formula:
- ( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} )

Factorizarea ecuației

O ecuație de gradul 2 poate fi exprimată sub formă factorizată:
- ( (x - x_1)(x - x_2) = 0 )
( x_1 ) și ( x_2 ) reprezintă soluțiile ecuației (rădăcinile)

Graficul funcției și proprietățile sale

Graficul funcției ( y = ax^2 + bx + c ) este o parabolă
Deschiderea parabolei depinde de semnul lui ( a ):
- ( a > 0 ): parabola se deschide în sus
- ( a < 0 ): parabola se deschide în jos
Vârful parabolei se calculează astfel:
- Abscisa: ( x_v = -\frac{b}{2a} )
- Ordonața: ( y_v = f(x_v) )

Aplicații

Ecuațiile de gradul 2 sunt utilizate în:
- Fizică: studiul proiectilelor
- Economia: probleme de maximizare și minimizare
- Inginerie: analizarea structurilor

Ecuatia de gradul 2 - Definiție

Ecuatia de gradul 2 are forma generală ( ax^2 + bx + c = 0 ) cu ( a \neq 0 ).
Coeficientul ( a ) reprezintă coeficientul lui ( x^2 ).
Coeficientul ( b ) reprezintă coeficientul lui ( x ).
Teremul liber ( c ) este termenul constant al ecuației.

Formula de rezolvare

Soluțiile ecuatiei sunt obținute prin formula: [ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} ]
Discriminantul ( D ) se calculează folosind relația: ( D = b^2 - 4ac ).
- Dacă ( D > 0 ): există două soluții distincte.
- Dacă ( D = 0 ): există o soluție dublă.
- Dacă ( D < 0 ): nu există soluții reale.

Exerciții practice

Exemplul 1:
- Ecuatia: ( 2x^2 - 4x - 6 = 0 )
- Coeficienți: ( a = 2 ), ( b = -4 ), ( c = -6 )
- Discriminant: ( D = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 64 )
- Soluții: ( x_1 = 3 ), ( x_2 = -1 )
Exemplul 2:
- Ecuatia: ( x^2 + 2x + 1 = 0 )
- Coeficienți: ( a = 1 ), ( b = 2 ), ( c = 1 )
- Discriminant: ( D = 0 )
- Soluție unică: ( x = -1 )
Exemplul 3:
- Ecuatia: ( x^2 - 4x + 5 = 0 )
- Coeficienți: ( a = 1 ), ( b = -4 ), ( c = 5 )
- Discriminant: ( D = -4 )
- Nu există soluții reale.

Sfaturi pentru rezolvare

Identifică corect coeficienții ( a ), ( b ) și ( c ) din ecuație.
Calculează discriminantul pentru a determina natura soluțiilor.
Aplică formula de rezolvare cu atenție, respectând semnele coefficientilor.

Practică suplimentară

Rezolvă următoarele ecuații:
- ( 3x^2 + 6x + 3 = 0 )
- ( x^2 - 7x + 10 = 0 )
- ( 5x^2 + 4x + 1 = 0 )
Verifică soluțiile prin substituție în ecuațiile inițiale.

Description

Acest quiz se concentrează pe ecuațiile de gradul 2, cunoscute și sub numele de ecuații quadratice. Vei explora definiția, coeficienții, discriminantul și formulele soluțiilor, precum și metoda de factorizare și graficul funcției. Testează-ți cunoștințele despre aceste concepte fundamentale în matematică.