Ecuaciones Lineales y Sistemas

Ecuación lineal

• Definición: Una ecuación lineal es una ecuación de primer grado que describe una línea recta en un plano cartesiano. Tiene la forma general:
  • ( ax + by + c = 0 )
  • Donde ( a ), ( b ), y ( c ) son constantes, y ( x ) e ( y ) son variables.

Sistemas de Ecuaciones

• Definición: Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales que comparten las mismas variables.

• Tipos de sistemas:

  1. Sistema compatible: Tiene al menos una solución. Puede ser:
     • Compatible determinado: Una única solución (intersección de dos líneas).
     • Compatible indeterminado: Infinitas soluciones (líneas coincidentes).
  2. Sistema incompatible: No tiene soluciones (las líneas son paralelas).

• Métodos de resolución:

  1. Sustitución:
     • Despejar una variable en una de las ecuaciones.
     • Sustituir este valor en la otra ecuación.
  2. Igualación:
     • Despejar la misma variable en dos ecuaciones.
     • Igualar las expresiones obtenidas y resolver.
  3. Método gráfico:
     • Representar cada ecuación en un plano cartesiano.
     • Identificar el punto(s) de intersección.
  4. Método de eliminación:
     • Sumar o restar ecuaciones para eliminar una variable.

• Propiedades:

  • Si se multiplica o divide toda la ecuación por una constante diferente de cero, la solución no cambia.
  • Se pueden sumar o restar ecuaciones para encontrar nuevas ecuaciones equivalentes.

• Aplicaciones:

  • Economía: para optimizar recursos.
  • Física: para resolver problemas de movimiento.
  • Ingeniería: en el diseño de estructuras.

Ecuación Lineal

• Una ecuación lineal es de primer grado y representa una línea recta en un plano cartesiano.
• La forma general de una ecuación lineal es ( ax + by + c = 0 ), donde ( a ), ( b ) y ( c ) son constantes, mientras que ( x ) e ( y ) son variables.

Sistemas de Ecuaciones

• Un sistema de ecuaciones consiste en dos o más ecuaciones lineales que comparten las mismas variables.

Tipos de Sistemas

• Compatible: Tiene al menos una solución.
  • Determinado: Una única solución (intersección de dos líneas).
  • Indeterminado: Infinitas soluciones (líneas coincidentes).
• Incompatible: No tiene soluciones (las líneas son paralelas).

Métodos de Resolución

• Sustitución:
  • Despejar una variable en una ecuación y sustituir su valor en la otra.
• Igualación:
  • Despejar la misma variable en dos ecuaciones y igualar las expresiones obtenidas.
• Método Gráfico:
  • Graficar cada ecuación en un plano cartesiano y localizar el(los) punto(s) de intersección.
• Método de Eliminación:
  • Sumar o restar ecuaciones para eliminar una variable y encontrar la solución.

Propiedades

• Multiplicar o dividir toda la ecuación por una constante diferente de cero no altera la solución.
• Es posible sumar o restar ecuaciones para generar nuevas ecuaciones equivalentes.

Aplicaciones

• En economía, se utilizan para optimizar recursos y costos.
• En física, ayudan a resolver problemas relacionados con movimiento y fuerzas.
• En ingeniería, se aplican en el diseño y análisis de estructuras.