Ecuaciones Diferenciales Lineales Variantes en el Tiempo

Ecuaciones Diferenciales Lineales y No Lineales

• Una ecuación diferencial lineal es aquella en la que la variable dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales.
• Un ejemplo de ecuación diferencial lineal es: dx/dt + (1 - cos(2t))x = 0.
• Una ecuación diferencial se denomina no lineal cuando no es lineal.
• Ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales son aquellas que contienen potencias, productos o otras funciones de las variables dependientes y sus derivadas.

Principio de Superposición

• En sistemas lineales, la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de excitación diferentes es la suma de las dos respuestas individuales.
• El principio de superposición se aplica en sistemas lineales y no en sistemas no lineales.
• En sistemas lineales, la respuesta a varias entradas puede calcularse tratando una entrada cada vez y después sumando los resultados.

Sistemas Lineales y No Lineales

• Sistemas lineales son aquellos que se representan mediante ecuaciones diferenciales lineales.
• Sistemas no lineales son aquellos que se representan mediante ecuaciones no lineales.
• En un sistema dinámico, si la causa y el efecto son proporcionales, se mantiene el principio de superposición y se concluye que el sistema es lineal.

Unidades de Fuerza y Masa

• La unidad de fuerza en el sistema SI es el newton (N).
• La unidad de masa en el sistema SI es el kilogramo (kg).
• La unidad de fuerza en el sistema cgs es la dina (dyn).
• La unidad de masa en el sistema cgs es el gramo (g).

Amortiguadores

• Un amortiguador es un elemento que provee resistencia en el movimiento mecánico.
• La dimensión del coeficiente de fricción viscosa de torsión es par/velocidad angular.
• El efecto de un amortiguador en el comportamiento dinámico de un sistema mecánico es similar al de un resistor eléctrico en el comportamiento dinámico de un sistema eléctrico.

Procedimiento General para la Obtención de Respuestas

• 1. Obtener un modelo matemático del sistema (escribir la ecuación diferencial del sistema, using la segunda ley de Newton).
• 2. Si el sistema incluye amortiguamiento, suponer que la solución es de la forma de una función exponencial con constantes indeterminadas.
• 3. Determinar el exponente a partir de la ecuación característica.
• 4. Evaluar las constantes indeterminadas, usando las condiciones iniciales.

Sistemas Mecánicos con Dos o Más Grados de Libertad

• La descripción geométrica de los movimientos de un sistema mecánico puede llegar a ser complicada.
• En sistemas con dos o más grados de libertad, se necesita más de una coordenada para describir el movimiento.
• El enfoque de d'Alembert se aplica tanto a sistemas traslacionales como rotacionales y proporciona una simplificación analítica importante en situaciones complicadas que involucran traslación y rotación combinadas.