Ecuaciones de Segundo Grado

Unidad 5: Ecuaciones de Segundo Grado

• Una ecuación de segundo grado con una incógnita puede expresarse como $ax^2 + bx + c = 0$, donde $a \neq 0$.
• a, b, c son los coeficientes, con a siendo distinto de cero, y c es el término independiente.
• x es la incógnita.

Tipos de Ecuaciones de Segundo Grado

Completas: $ax^2 + bx + c = 0$

• Se resuelven utilizando la fórmula: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• El discriminante es $\Delta = b^2 - 4ac$.
  • Si $\Delta > 0$, hay dos soluciones reales distintas.
  • Si $\Delta = 0$, hay dos soluciones reales iguales, es decir, una solución real.
  • Si $\Delta < 0$, no hay solución real.

Incompletas

• Si $b = 0$, la ecuación es $ax^2 + c = 0$, y la solución es $x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$.
• Si $c = 0$, la ecuación es $ax^2 + bx = 0$, y las soluciones son $x_1 = 0$ y $x_2 = -\frac{b}{a}$.
• Si $b = 0$ y $c = 0$, la ecuación es $ax^2 = 0$, y la solución es $x = 0$ (solución doble).

Propiedades de las Soluciones

• Para una ecuación $ax^2 + bx + c = 0$ con soluciones $x_1$ y $x_2$:
  • La suma de las soluciones es: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$.
  • El producto de las soluciones es: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$.

Factorización de un Trinomio de Segundo Grado

• Se factoriza como: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$.

Vectores

• Un vector representa una magnitud física con módulo (longitud) y dirección.
• El módulo es la longitud del vector, siempre positivo.
• La dirección es la recta que contiene al vector.
• El sentido es la orientación dentro de la recta.

Componentes de un Vector

• En un sistema cartesiano (x, y), se descompone en $A_x$ y $A_y$, donde $\vec{A} = (A_x, A_y)$.
• $A_x = |\vec{A}| \cos(\theta)$ y $A_y = |\vec{A}| \sin(\theta)$.
• $|\vec{A}|$ es el módulo y $\theta$ es el ángulo con el eje x.

Suma de Vectores

• Se suman las componentes correspondientes: $\vec{A} + \vec{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y)$.

Producto Escalar

• $\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}| |\vec{B}| \cos(\theta)$, donde $\theta$ es el ángulo entre los vectores.
• También se calcula como $\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y$.

Producto Vectorial

• Resulta en un vector perpendicular a ambos vectores originales.
• El módulo es $|\vec{A} \times \vec{B}| = |\vec{A}| |\vec{B}| \sin(\theta)$.
• La dirección se determina con la regla de la mano derecha.
• En componentes: $\vec{A} \times \vec{B} = (A_y B_z - A_z B_y, A_z B_x - A_x B_z, A_x B_y - A_y B_x)$.
• En dos dimensiones, $|\vec{A} \times \vec{B}| = A_x B_y - A_y B_x$.

Álgebra Lineal

Cuerpos

• Un cuerpo $\mathbb{K}$ tiene suma y multiplicación que cumplen asociatividad, conmutatividad, elemento neutro (0 para la suma, 1 para la multiplicación) y elemento inverso (opuesto para la suma, inverso multiplicativo para la multiplicación, excepto para 0).
• La multiplicación es distributiva respecto a la suma.

Espacios Vectoriales

• Un espacio vectorial E sobre un cuerpo $\mathbb{K}$ con suma y multiplicación por un escalar, debe cumplir:
  • (E,+) es un grupo conmutativo (asociatividad, elemento neutro ($0_E$), elemento opuesto, conmutatividad).
  • La multiplicación por un escalar $(\lambda, x) \mapsto \lambda \cdot x$ satisface:
  • $(\lambda + \mu) \cdot x = \lambda \cdot x + \mu \cdot x$.
  • $\lambda \cdot (x+y) = \lambda \cdot x + \lambda \cdot y$.
  • $(\lambda \times \mu) \cdot x = \lambda \cdot (\mu \cdot x)$.
  • $1 \cdot x = x$.

Sub-espacio Vectorial

• Un subconjunto F de un espacio vectorial E es un sub-espacio vectorial si:
  • F no está vacío.
  • $\forall x,y \in F, x+y \in F$.
  • $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in F, \lambda \cdot x \in F$.

Aplicación Lineal

• Una app $f: E \to F$ entre dos espacios vectoriales E y F sobre el mismo cuerpo $\mathbb{K}$ es lineal si:
  • $\forall x,y \in E, f(x+y) = f(x) + f(y)$.
  • $\forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall x \in E, f(\lambda \cdot x) = \lambda \cdot f(x)$.

Base

• Una base de un espacio vectorial E son vectores $(e_1, \dots, e_n)$ de E que es a la vez libre y generadora.
  • Libre: $\forall \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{K}$, Si $\lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n = 0_E \implies$ entonces $\lambda_1 = \dots = \lambda_n = 0$. -Generadora: $\forall x \in E, \exists \lambda_1, \dots, \lambda_n \in \mathbb{K}$ tal que $x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$.

Dimensión

• La dimensión de un espacio vectorial E es el número de vectores en una base de E. Si E admite una base finita, se denomina dimensión finita.

Matrices (Definiciones)

• Una matriz $A$ de tamaño $m \times n$ a coeficientes en un cuerpo $\mathbb{K}$ es un tableau de números.
  • $A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix}$
• $M_{m,n}(\mathbb{K})$ es el conjunto de matrices de tamaño $m \times n$ en $\mathbb{K}$.

Operaciones sobre las matrices

• Adición: Si $A, B \in M_{m,n}(\mathbb{K})$, entonces $A+B$ es la matriz definida por $(A+B){ij} = A{ij} + B_{ij}$.
• Multiplicación por un escalar: Si $A \in M_{m,n}(\mathbb{K})$ y $\lambda \in \mathbb{K}$, entonces $\lambda \cdot A$ es la matriz definida por $(\lambda \cdot A){ij} = \lambda \cdot A{ij}$.
• Multiplicación de matrices: Si $A \in M_{m,n}(\mathbb{K})$ y $B \in M_{n,p}(\mathbb{K})$, entonces $A \times B$ es la matriz definida por $(A \times B){ij} = \sum{k=1}^n A_{ik} \times B_{kj}$.

Matriz Inversa

• Una matriz $A \in M_{n,n}(\mathbb{K})$ es inversible s'il existe una matriz $B \in M_{n,n}(\mathbb{K})$ tal que $A \times B = B \times A = I_n$, donde $I_n$ es la matriz identidad de tamaño $n \times n$. Se nota $A^{-1}$ la inversa de $A$.

Transpuesta

• La transpuesta de una matriz $A \in M_{m,n}(\mathbb{K})$ es la matriz $A^T \in M_{n,m}(\mathbb{K})$ definida por $(A^T){ij} = A{ji}$.

Determinantes

• El determinante de una matriz $A \in M_{n,n}(\mathbb{K})$, notado $\det(A)$, es un escalar que puede ser calculado de diferentes maneras.
• Para una matriz $2 \times 2$: $\det\pmatrix{ a & b \cr c & d } = ad - bc$
• Para una matriz $3 \times 3$: $\det\pmatrix{ a & b & c \cr d & e & f \cr g & h & i } = a(ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg)$

Propiedades de los Determinantes

• $\det(A \times B) = \det(A) \times \det(B)$
• $\det(A^T) = \det(A)$
• $A$ es inversible si y solo si $\det(A) \neq 0$

Valores Propios y Vectores Propios (Definiciones)

• Sea $A \in M_{n,n}(\mathbb{K})$. Un escalar $\lambda \in \mathbb{K}$ es una valor propio de $A$ si existe un vector non nulo $v \in \mathbb{K}^n$ tal que $A \times v = \lambda \cdot v$. El vettore $v$ se llama vector propio asociado a la valor propio $\lambda$.

Polinomio Característico

El polinomio característico de $A$ se define como $p_A(\lambda) = \det(A - \lambda I_n)$. Los valores propios de $A$ son las raíces del polinomio característico.

Diagonalizacion

Una matriz $A \in M_{n,n}(\mathbb{K})$ es diagonalizable si existe una matrix inversible $P \in M_{n,n}(\mathbb{K})$ y una matrix diagonal $D \in M_{n,n}(\mathbb{K})$ tales que $A = P \times D \times P^{-1}$. Los elementos diagonales de $D$ son los valores propios de $A$, y las columnas de $P$ son los vectores propios correspondientes.

Trading Algorítmico y Ejecución de Órdenes

Introducción

• El trading algorítmico usa programas de computadora para ejecutar órdenes de trading.
• Los algoritmos de ejecución de órdenes buscan optimizar factores como precio, tiempo y tamaño del trade, minimizando el impacto en el mercado y los costos de transacción.

Ventajas del Trading Algorítmico

• Rapidez y eficiencia: Los algoritmos analizan datos y ejecutan trades más rápido que los humanos.
• Reducción de costos: Menores costos de transacción debido a la optimización en la ejecución de las órdenes.
• Reducción del sesgo emocional: Los algoritmos toman decisiones basadas en reglas predefinidas, eliminando factores emocionales.
• Backtesting: Capacidad de probar estrategias de trading con datos históricos.
• Acceso a múltiples mercados: Los algoritmos simultáneamente monitorean y tranzan en distintos mercados.

Algoritmos de Ejecución de Órdenes

Time-Weighted Average Price (TWAP)

• Descripción: Busca ejecutar una orden en un periodo específico para alcanzar el precio promedio durante ese tiempo.
• Fórmula: $TWAP = \frac{\sum_{i=1}^{n} P_iV_i}{\sum_{i=1}^{n} V_i}$, donde $P_i$ = Precio en el tiempo $i$, $V_i$ = Volumen en el tiempo $i$, y $n$ = Número de intervalos de tiempo.

Volume-Weighted Average Price (VWAP)

• Descripción: Ejecuta órdenes para coincidir con el precio promedio ponderado por volumen, tomando en cuenta el volumen de trading.
• Fórmula: $VWAP = \frac{\sum_{i=1}^{n} P_iQ_i}{\sum_{i=1}^{n} Q_i}$, donde $P_i$ = Precio del trade $i$, $Q_i$ = Cantidad del trade $i$, y $n$ = Número de trades.

Implementation Shortfall

• Descripción: Busca minimizar la diferencia entre el precio de ejecución y el precio al momento de decidir el trade.
• Objetivo: Minimizar el costo del trading, considerando el impacto al mercado y el costo de oportunidad.

Market Participation

• Descripción: El algoritmo participa en un porcentaje específico del volumen del mercado.
• Objetivo: Ejecutar órdenes grandes sin impactar significativamente el precio del mercado.

Factores que Afectan la Ejecución de Órdenes

• Volatilidad del mercado: Alta volatilidad aumenta el riesgo de movimientos adversos en el precio.
• Liquidez: Baja liquidez puede llevar a mayores costos de transacción e impacto en el mercado.
• Tamaño de la orden: Órdenes grandes son más difíciles de ejecutar sin afectar el precio del mercado.
• Timing: El tiempo del día y las condiciones del mercado influyen en la calidad de la ejecución.

Gestión de Riesgos en Trading Algorítmico

• Limit Orders: Utilizar limit orders para controlar el precio máximo pagado o el precio mínimo recibido.
• Stop-Loss Orders: Implementar stop-loss orders para limitar posibles pérdidas.
• Monitoreo: Monitorear continuamente el rendimiento del algoritmo y las condiciones del mercado.
• Modelos de riesgo: Emplear a modelos de riesgo para evaluar y gestionar riesgos potenciales.

Cinética Química

Velocidad de Reacción

• Se refiere a la rapidez con la que los reactivos se transforman en productos en una reacción química.
• Se cuantifica midiendo el cambio en la concentración de reactivos o productos por unidad de tiempo.
• Los factores que afectan la velocidad de reacción son:
  • Concentración de los reactivos.
  • Temperatura.
  • Área de la superficie.
  • Catalisis.

Ley de Velocidad

• La ley de velocidad es una ecuación que relaciona la velocidad de una reacción química con la concentración de los reactivos.
  • $aA + bB \longrightarrow cC + dD$
  • $rate = k[A]^m[B]^n$, donde:
    • k es la constante de velocidad.
    • [A] y [B] son las concentraciones de los reactivos.
    • m y n son los órdenes de reacción.

Orden de Reacción

• El orden de reacción define como la velocidad es afectada por la concentración de los reactivos.
  • Primer orden: Rate $\propto$ [A]
  • Segundo orden: Rate $\propto$ [A]$^2$
• La ley de velocidad sólo puede ser determinada experimentalmente. Usamos datos de velocidad iniciales para encontrar el orden de velocidad de cada reactivo.

Ley de Velocidad Integrada

Expresión de la Ley de Velocidad Integrada

La ley de velocidad integrada relaciona la concentración de los reactivos al tiempo. Tiene diferentes formas, dependiendo del orden global de la reacción.

• Donde: - $[A]_t$ = concentración de A en el tiempo t - $[A]_0$ es la concentración inicial de A.

Vida Media

• Vida media. es el tiempo requerido para que la mitad del reactivo sea convertido en producto. La expresión de vida media depende del orden de velocidad.

Mecanismo de Reacción

• Pasos elementales. son una serie de reacciones simples que representan la reacción global.
• Paso determinante de la velocidad. Es el paso más lento en un mecanismo de reacción, que determina la velocidad global de la reacción.
• Catalizador: Un catalizador es una sustancia que incrementa la velocidad de una reacción química sin ser consumido en el proceso.
  • Los catalizadores homogéneos. están en la misma fase que los reactivos.
  • Los catalizadores heterogéneos. están en una fase diferente que los reactivos.

Temperatura

La ecuación de Arrhenius describe la relación entre la constante de velocidad $k$ con la temperatura $T$. - $k = Ae^{\frac{-E_a}{RT}}$, en donde: - $A$ es el factor de frecuencia. - $E_a$ es la energía de activación. - $R$ es la constante de los gases. Energía de Activación. La cantidad mínima de energía requerida para que ocurra una reacción.

Algoritmo del gradiente

• Se busca el minimizador de una función $f$.
• Comenzar con una estimación $x_0$, y actualizarla como: $x_{k+1} = x_k + t_k d_k$, donde $d_k$ es una dirección y $t_k \geq 0$ es un tamaño de paso.
• La opción más sencilla es el algoritmo del gradiente : $d_k = -\nabla f(x_k)$.

Teorema

• Si $\nabla f$ es Lipschitz continua con constante $L > 0$, y $t_k = t \in (0, 2/L)$. Entonces el algoritmo de gradiente converge a un punto estacionario.

Prueba

- $f(x_{k+1}) = f(x_k - t \nabla f(x_k))$.
- Usando la continuidad Lipschitz de $\nabla f$, se tiene que $f(x_{k+1}) \leq f(x_k) - t \nabla f(x_k)^T \nabla f(x_k) + \frac{Lt^2}{2} ||\nabla f(x_k)||^2$
- $= f(x_k) - t(1 - \frac{Lt}{2}) ||\nabla f(x_k)||^2$.
- Dado que $t \in (0, 2/L)$, se tiene que $1 - \frac{Lt}{2} > 0$. Entonces $f(x_{k+1}) \leq f(x_k) - t(1 - \frac{Lt}{2}) ||\nabla f(x_k)||^2$, así que $f(x_k)$ es un valor decreciente.
-  Dado que $f$ está acotada por debajo, $f(x_k)$ converge en algún valor $f^*$.
- Además,$\sum_{k=0}^{\infty} t(1 - \frac{Lt}{2}) ||\nabla f(x_k)||^2 \leq f(x_0) - f^* < \infty$.
- Esto implica que $||\nabla f(x_k)|| \to 0$ cuando $k \to \infty$. Por tanto, el algoritmo del gradiente converge a un punto estacionario.

Tasa de Convergencia

• El algoritmo del gradiente converge lentamente, la tasa de convergencia es lineal.
• El teorema anterior dice que $||\nabla f(x_k)|| \to 0$ cuando $k \to \infty$ pero no determina la velocidad de la convergencia.

Ejemplo

• Dada la función $f(x) = \frac{1}{2} x^T Q x$, donde $Q$ es una matrix positiva simétrica definida, el algoritmo del gradiente es:

• $x_{k+1} = x_k - t Q x_k = (I - tQ) x_k$.

• Sea $q_1, \dots, q_n$ los vectores propios de $Q$, y $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ los valores propios, entonces $x_0 = \sum_{i=1}^{n} a_i q_i$ así que $x_k = (I - tQ)^k x_0 = \sum_{i=1}^{n} (1 - t \lambda_i)^k a_i q_i$. Se necesita $t$ tal que $|1 - t \lambda_i| < 1$ para todos los valores de $i$, lo equivalente a que $0 < t < 2/\lambda_i$ para cada valor de $i$, por ende, es necesario escoger $t \in (0, 2/\lambda_{max})$.

• Para maximizar la tasa de convergencia, se quiere minimizar $\max_i |1 - t \lambda_i|$.

• Siendo $\lambda_{min}$ y $\lambda_{max}$ el mínimo y máximo valor propio de $Q$, el $t$ óptimo es:

• $t^* = \frac{2}{\lambda_{min} + \lambda_{max}}$.

• Con esta opción de $t$, se tiene que:

  • $\max_i |1 - t^* \lambda_i| = \frac{\lambda_{max} - \lambda_{min}}{\lambda_{max} + \lambda_{min}} = \frac{k - 1}{k + 1}$,

Donde $k = \lambda_{max}/\lambda_{min}$ es el número de condición de $Q$, así que:

• $||x_k|| \leq (\frac{k - 1}{k + 1})^k ||x_0||$, lo que significa que la tasa de convergencia es linear.

Introducción a la Economía

Definiciones básicas

• Economía: Ciencia que estudia la forma en que las sociedades administran los recursos escasos para producir bienes y servicios, y distribuirlos entre los distintos individuos.
• Microeconomía: Estudio del modo en que los hogares y las empresas toman decisiones e interactúan en los mercados.
• Macroeconomía: Estudio de los fenómenos que afectan al conjunto de la economía, como la inflación, el desempleo y el crecimiento económico.

Diez principios de la economía

• Disyuntivas: Elegir implica renunciar a algo.
• Costo de oportunidad: Es la mejor alternativa a la que renunciamos cuando tomamos una decisión (Aquello a lo que se renuncia para conseguir algo).
• Análisis marginal: Comparación de beneficios y costos adicionales al tomar una decisión.
• Incentivos: Las personas responden a ellos.
• Comercio: Puede mejorar el bienestar de todos porque especializa las actividades.
• Mercados: Son generalmente eficientes para organizar la actividad económica.
• Estado: Puede corregir fallos de mercado y externalidades.
• Productividad: La clave del nivel de vida de un país. (cantidad de bienes y servicios producidos por cada hora de trabajo)
• Inflación: Aumento generalizado de los precios, causado por la impresión excesiva de dinero.
• Curva de Phillips: Disyuntiva a corto plazo entre inflación y desempleo. (muestra la disyuntiva o intercambio a corto plazo entre la inflación y el desempleo.)

Modelos económicos

• Modelo: Simplificación de la realidad que facilita su comprensión.
• Supuestos: Simplificaciones que facilitan la comprensión.

Diagrama de flujo circular

• Modelo visual que muestra el flujo del dinero entre hogares y empresas a través de mercados. - Hogares: Propietarios de los factores de producción (trabajo, tierra y capital) y consumen bienes y servicios. - Empresas: Producen bienes y servicios utilizando los factores de producción.
• Eficiencia: Maximo aprovechamiento de los recursos.
• Costo de oportunidad: Lo que se sacrifica para obtener algo.
• Crecimiento económico: Expansión de la FPP.

Tipos de economía

• Economía de mercado: Decisiones descentralizadas de empresas y hogares.
• Economía planificada: Decisiones centralizadas por el Estado.
• Economía mixta: Combinación de mercado y planificación.

Economía positiva frente a economía normativa

• Economía positiva: Describe la realidad tal como es.
• Economía normativa: Dice como debería ser la realidad.

Análisis marginal

• El análisis marginal es un examen de los efectos adicionales de una actividad sobre la decisión inicial. Permite comparar el beneficio marginal y el coste marginal de una determinada opción. - Beneficio marginal: Beneficio adicional que se obtiene al realizar una unidad más de una actividad. - Coste marginal: Coste adicional que se incurre al realizar una unidad más de una actividad.

Representaciones gráficas

• Las representaciones gráficas son una herramienta útil para analizar y comprender las relaciones entre variables económicas.
  • Gráficos de barras: Se utilizan para comparar diferentes categorías de datos.
  • Gráficos de líneas: Se utilizan para mostrar la evolución de una variable a lo largo del tiempo.
  • Gráficos circulares: Se utilizan para mostrar la proporción de cada categoría en relación con el conjunto.
  • Diagramas de dispersión: Se utilizan para mostrar la relación entre dos variables.

Explora las ecuaciones de segundo grado: completas e incompletas. Aprende a identificar los coeficientes y a resolverlas usando la fórmula general y el discriminante. Descubre cómo determinar el número de soluciones reales según el valor del discriminante.