Ecuaciones de Primer Grado

• Las ecuaciones de primer grado son igualdades algebraicas en las que la(s) variable(s) están elevadas a la potencia uno.
• También se conocen como ecuaciones lineales.
• La forma general de una ecuación de primer grado con una incógnita es ax + b = 0, donde a y b son constantes y x es la variable.
• Resolver una ecuación de primer grado implica encontrar el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea verdadera.

Componentes de una ecuación de primer grado

• Términos: Son las expresiones algebraicas separadas por los signos de igualdad (=), suma (+) o resta (-).
• Incógnita: Es la variable cuyo valor se busca (generalmente representada por x).
• Coeficientes: Son los números que multiplican a las incógnitas.
• Términos independientes: Son los números que no están multiplicados por ninguna incógnita.

Métodos de resolución

• Despeje: Consiste en aislar la incógnita en un lado de la ecuación, realizando operaciones algebraicas en ambos lados de la igualdad para mantener el equilibrio.
• Operaciones inversas: Se utilizan las operaciones inversas (suma/resta, multiplicación/división) para eliminar los términos que acompañan a la incógnita.
• Transposición de términos: Pasar un término de un lado de la ecuación al otro, cambiando su signo.

Pasos para resolver ecuaciones de primer grado

• Simplificar la ecuación: Eliminar paréntesis, combinar términos semejantes en cada lado de la igualdad.
• Aislar la incógnita: Transponer los términos que no contienen la incógnita al otro lado de la ecuación.
• Despejar la incógnita: Dividir ambos lados de la ecuación por el coeficiente de la incógnita.
• Verificar la solución: Sustituir el valor encontrado de la incógnita en la ecuación original para comprobar que la igualdad se cumple.

Tipos de soluciones

• Solución única: La ecuación tiene un único valor para la incógnita que satisface la igualdad.
• Sin solución: No existe ningún valor de la incógnita que haga que la igualdad sea verdadera. En este caso, al simplificar la ecuación, se llega a una contradicción (ej: 0 = 1).
• Infinitas soluciones: Cualquier valor de la incógnita satisface la igualdad. En este caso, al simplificar la ecuación, se llega a una identidad (ej: 0 = 0).

Ejemplos

• Resolver 2x + 3 = 7
  • Restar 3 a ambos lados: 2x = 4
  • Dividir por 2 a ambos lados: x = 2
• Resolver 3x - 5 = x + 1
  • Restar x a ambos lados: 2x - 5 = 1
  • Sumar 5 a ambos lados: 2x = 6
  • Dividir por 2 a ambos lados: x = 3
• Resolver 4x + 2 = 4x + 5
  • Restar 4x a ambos lados: 2 = 5 (contradicción)
  • No tiene solución
• Resolver 2(x + 1) = 2x + 2
  • Expandir: 2x + 2 = 2x + 2
  • Restar 2x a ambos lados: 2 = 2 (identidad)
  • Tiene infinitas soluciones

Ecuaciones con paréntesis

• Eliminar los paréntesis aplicando la propiedad distributiva (multiplicar el número que está fuera del paréntesis por cada término dentro del paréntesis).
• Luego, seguir los pasos para resolver ecuaciones de primer grado.
• Ejemplo: 3(x - 2) + 5 = 2x - 1
  • 3x - 6 + 5 = 2x - 1
  • 3x - 1 = 2x - 1
  • x = 0

Ecuaciones con fracciones

• Multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para eliminar las fracciones.
• Luego, seguir los pasos para resolver ecuaciones de primer grado.
• Ejemplo: x/2 + 1/3 = 5/6
  • mcm(2, 3, 6) = 6
  • 6(x/2 + 1/3) = 6(5/6)
  • 3x + 2 = 5
  • 3x = 3
  • x = 1

Aplicaciones

• Las ecuaciones de primer grado se utilizan para resolver problemas en diversas áreas, como:
  • Matemáticas
  • Física
  • Economía
  • Ingeniería

Ejemplos de problemas de aplicación

• Problema: La edad de Juan es el doble de la edad de María. Si la suma de sus edades es 36, ¿cuál es la edad de cada uno?
  • Sea x la edad de María, entonces la edad de Juan es 2x.
  • x + 2x = 36
  • 3x = 36
  • x = 12 (edad de María)
  • 2x = 24 (edad de Juan)
• Problema: Un rectángulo tiene un perímetro de 28 cm. Si la base es 3 cm más larga que la altura, ¿cuáles son las dimensiones del rectángulo?
  • Sea h la altura del rectángulo, entonces la base es h + 3.
  • 2h + 2(h + 3) = 28
  • 2h + 2h + 6 = 28
  • 4h = 22
  • h = 5.5 cm (altura)
  • h + 3 = 8.5 cm (base)

Consideraciones adicionales

• Es importante verificar que la solución obtenida tenga sentido en el contexto del problema.
• En algunos casos, la solución puede ser un número no entero o incluso una expresión algebraica.
• Al resolver ecuaciones con fracciones, es importante simplificar las fracciones antes de realizar cualquier operación.
• Prestar atención a los signos al transponer términos y realizar operaciones algebraicas.

Las ecuaciones de primer grado son igualdades algebraicas con variables elevadas a la potencia uno. Resolver implica encontrar el valor de la incógnita que satisface la igualdad. Incluyen términos, incógnitas, coeficientes y términos independientes.