Ecuaciones cuadráticas: Factorización y más

• Una ecuación cuadrática es una ecuación polinómica de segundo grado.
• La forma general de una ecuación cuadrática es ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes, con a ≠ 0.
• Si a = 0, la ecuación se convierte en una ecuación lineal, no cuadrática.

Resolución de ecuaciones cuadráticas

• Existen varios métodos para resolver ecuaciones cuadráticas.
• Los métodos más comunes son la factorización, completar el cuadrado y el uso de la fórmula cuadrática.

Factorización

• La factorización implica expresar la ecuación cuadrática como el producto de dos binomios.
• Por ejemplo, la ecuación x² + 5x + 6 = 0 se puede factorizar como (x + 2)(x + 3) = 0.
• Para que el producto de dos factores sea cero, al menos uno de los factores debe ser cero.
• Por lo tanto, las soluciones son x + 2 = 0 o x + 3 = 0, lo que da x = -2 y x = -3.

Completar el cuadrado

• Completar el cuadrado es un método para transformar la ecuación cuadrática en una forma donde un lado es un cuadrado perfecto.
• La ecuación ax² + bx + c = 0 se puede reescribir como a(x + b/(2a))² - (b² - 4ac)/(4a) = 0.
• Despejando x de esta forma, se obtienen las soluciones de la ecuación cuadrática.

Fórmula cuadrática

• La fórmula cuadrática es una fórmula general que proporciona las soluciones de cualquier ecuación cuadrática.
• La fórmula se deriva del método de completar el cuadrado.
• Para la ecuación ax² + bx + c = 0, la fórmula cuadrática es x = (-b ± √(b² - 4ac)) / (2a).
• El símbolo ± indica que hay dos soluciones: una con el signo más y otra con el signo menos.

Discriminante

• El discriminante es la parte de la fórmula cuadrática bajo la raíz cuadrada: b² - 4ac.
• El discriminante determina la naturaleza de las soluciones de la ecuación cuadrática.
• Si el discriminante es positivo (b² - 4ac > 0), la ecuación tiene dos soluciones reales distintas.
• Si el discriminante es cero (b² - 4ac = 0), la ecuación tiene una solución real repetida.
• Si el discriminante es negativo (b² - 4ac < 0), la ecuación tiene dos soluciones complejas conjugadas.

Naturaleza de las raíces

• Las raíces de una ecuación cuadrática son los valores de x que satisfacen la ecuación.
• Las raíces pueden ser reales o complejas, dependiendo del discriminante.
• Las raíces reales pueden ser racionales o irracionales.
• Las raíces racionales pueden expresarse como una fracción de dos enteros.
• Las raíces irracionales no pueden expresarse como una fracción de dos enteros.

Suma y producto de las raíces

• Para una ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0, la suma de las raíces (x₁ + x₂) es igual a -b/a.
• El producto de las raíces (x₁ * x₂) es igual a c/a.
• Estas relaciones son útiles para verificar las soluciones de la ecuación cuadrática.
• También son útiles para construir una ecuación cuadrática con raíces dadas.

Gráfica de una ecuación cuadrática

• La gráfica de una ecuación cuadrática y = ax² + bx + c es una parábola.
• La parábola es una curva en forma de U.
• Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba.
• Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo.
• El vértice de la parábola es el punto más alto o más bajo de la curva.
• La coordenada x del vértice es -b/(2a).
• La coordenada y del vértice se encuentra sustituyendo la coordenada x del vértice en la ecuación cuadrática.
• El eje de simetría es una línea vertical que pasa por el vértice.
• La ecuación del eje de simetría es x = -b/(2a).
• Las intersecciones con el eje x son los puntos donde la parábola cruza el eje x.
• Las intersecciones con el eje x son las soluciones de la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0.
• La intersección con el eje y es el punto donde la parábola cruza el eje y.
• La intersección con el eje y es el punto (0, c).

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

• Las ecuaciones cuadráticas se utilizan en muchas áreas de las matemáticas, la ciencia y la ingeniería.
• Se utilizan para modelar el movimiento de proyectiles.
• Se utilizan para optimizar áreas y volúmenes.
• Se utilizan para diseñar puentes y edificios.
• Se utilizan en finanzas para calcular tasas de interés y rendimientos de inversión.

Ejemplos de problemas

• Problema 1: Resolver la ecuación x² - 5x + 6 = 0.
• Solución: Factorizar la ecuación como (x - 2)(x - 3) = 0. Las soluciones son x = 2 y x = 3.
• Problema 2: Resolver la ecuación 2x² + 3x - 2 = 0.
• Solución: Usar la fórmula cuadrática: x = (-3 ± √(3² - 4 * 2 * -2)) / (2 * 2) = (-3 ± √25) / 4. Las soluciones son x = 1/2 y x = -2.
• Problema 3: Encontrar el vértice de la parábola y = x² - 4x + 3.
• Solución: La coordenada x del vértice es -(-4) / (2 * 1) = 2. La coordenada y del vértice es 2² - 4 * 2 + 3 = -1. El vértice es (2, -1).

Aprende sobre ecuaciones cuadráticas, su forma general y métodos de resolución. Incluye factorización y completar el cuadrado. Descubre cómo encontrar las soluciones.