دراسة ديناميكية لجسم صلب في حركة انتقالية

• Étude dynamique d'un solide en mouvement de translation

Référentiel Galiléen

• Définition: un référentiel galiléen est un référentiel où la première loi de Newton (principe d'inertie) peut être vérifiée.

Exemples de Référentiels

• Référentiel héliocentrique: référentiel associé au repère héliocentrique (origine au centre du soleil), dont les trois vecteurs unitaires sont dirigés vers trois étoiles lointaines qui semblent immobiles (est galiléen).
• Référentiel géocentrique: référentiel associé au repère géocentrique (origine au centre de la Terre), dont les trois vecteurs unitaires sont dirigés vers trois étoiles lointaines qui semblent immobiles (est galiléen).
• Référentiel terrestre: référentiel associé au repère terrestre (origine en un point de la Terre), dont les trois vecteurs unitaires sont liés à la Terre (est galiléen).

Remarques

• Tout référentiel en mouvement de translation rectiligne uniforme par rapport à un référentiel galiléen est considéré comme galiléen.

Deuxième loi de Newton

• Exemple: chute libre. Une bille considérée comme un corps ponctuel en chute libre est soumise uniquement à son poids (P). Une bille en chute libre sans vitesse initiale (v₀ = 0) est animée d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré, avec une accélération constante.
• P = ma

Énoncé de la deuxième loi de Newton

• Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces s'exerçant sur un corps ponctuel est égale à chaque instant au produit de la masse (m) de ce corps par son vecteur accélération (a).
• Σ F = ma : Relation Fondamentale de la Dynamique (RFD).

Théorème du centre d'inertie

• Dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie (G) d'un système matériel de masse (m) a le même mouvement qu'un point matériel de même masse, soumis à l'action de l'ensemble des seules forces extérieures au système.
• Σ Fext = maG, où aG est l'accélération du centre d'inertie.

Application

• Glissement d'un solide sur un plan incliné. Soit un solide (S) de centre d'inertie (G) qui glisse sans frottement sur un plan incliné d'un angle (α) par rapport à l'horizontale; on se propose de déterminer l'expression de l'accélération (aG) du centre d'inertie (G).
• Bilan des forces: P (poids de S) et R (réaction du plan).

Représentation des forces

• En appliquant le théorème du centre d'inertie: Σ Fext = maG, donc P + R = maG.
• Projection de la relation sur (x'x): Px + Rx = maGx.
• Px = -||P|| sin α = m||g|| sin α et Rx = 0 donc aGx = ||g|| sin α.

Solide isolé, solide pseudo-isolé

• Un solide isolé est un solide qui n'est soumis à aucune force extérieure (un tel solide n'existe pas dans le champ de pesanteur). Un solide pseudo-isolé est un solide qui est soumis à des forces extérieures qui se compensent (somme nulle).
• Dans le cas d'un solide isolé ou pseudo-isolé: Σ Fext = 0.
• D'apres le theoreme du centre d'inertie: Σ Fext = ma, donc ma = 0 => m ≠ 0 donc a = 0 => v = constante.
• Conclusion: Si le centre d'inertie d'un solide est au repos, il reste au repos. S'il est en mouvement, son mouvement est rectiligne uniforme. Ce résultat est connu sous le nom de principe d'inertie.
• Exercice: P (poids du skieur), R (réaction du piste), f (frottement) et T (Tension).

Mouvement rectiligne uniformément accéléré

• v = at + v₀
• Δv = v - v₀ = aΔt.
• En appliquant la RFD sur le skieur : Σ F = ma = P + R + f + T.
• Projection sur (x'x) : a = ax i + ay j, où le skieur se déplace suivant (x'x).
• Donc ay = 0, ce qui implique a = ax.
• Px + Rx + fx + Tx = ma.
• 0 + 0 - ||f|| + ||T|| cos α = ma.
• ||T|| cos α = ma + ||f|| d'où ||T|| = (ma + ||f||)/cos α.
• AN : ||T|| = (80 + 50) / cos(45°) ≈ 183 N

Exercice N1

• En appliquant le théorème du centre d'inertie: Σ Fext = maG

• P1 + f + T1 = m1a1.

• Projection sur (x'x): 0 + 0 - ||f1|| + ||T1|| = m1a1.

• ||T1|| - ||f1|| = m1a1.

• Si le solide (S2) se déplace d'une distance d alors les alice (S1) se déplace dus meme descence se done asa = ar