División Algebraica: Fundamentos y Operaciones

División Algebraica

• Es una operación entre expresiones algebraicas cuyo propósito es hallar el cociente y el residuo.
• Se basa en las leyes de los exponentes y las operaciones aritméticas básicas.

Elementos de la División Algebraica

• Dividendo: Expresión que se divide.
• Divisor: Expresión que divide.
• Cociente: Resultado de la división.
• Residuo: Parte no divisible, pudiendo ser cero o de grado menor que el divisor.

Leyes de los Exponentes en la División

• ( a^m / a^n = a^{m-n} ) (resta de exponentes al dividir potencias con la misma base).
• ( a^{-n} = 1/a^n ) (inversión de la base si el exponente es negativo).

División de Monomios

• Dividir coeficientes numéricos.
• Aplicar leyes de los exponentes a las variables.
• Ejemplo: ( (8x^3y^2) / (2xy) = 4x^2y ).

División de un Polinomio por un Monomio

• Dividir cada término del polinomio por el monomio.
• Aplicar leyes de los exponentes a cada término.
• Ejemplo: ( (6x^4 + 9x^3 - 3x^2) / (3x^2) = 2x^2 + 3x - 1 ).

División de Polinomios

• Similar a la división larga de números.
• Requiere ordenar los polinomios en orden descendente de grados.

Pasos para la División de Polinomios

• Ordenar dividendo y divisor en orden descendente de exponentes.
• Dividir el primer término del dividendo por el primer término del divisor para obtener el primer término del cociente.
• Multiplicar el divisor por el primer término del cociente y restar el resultado del dividendo.
• Bajar el siguiente término del dividendo y repetir hasta que no haya más términos o el grado del residuo sea menor que el del divisor.

Ejemplo Detallado de División de Polinomios

• Dividir ( (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) ) por ( (x - 2) ).
• Paso 1: Dividir ( x^3 ) entre ( x ) para obtener ( x^2 ).
• Paso 2: Multiplicar ( (x - 2) ) por ( x^2 ) para obtener ( x^3 - 2x^2 ).
• Paso 3: Restar ( (x^3 - 6x^2) - (x^3 - 2x^2) = -4x^2 ).
• Paso 4: Bajar el siguiente término, ( +11x ), resultando en ( -4x^2 + 11x ).
• Paso 5: Dividir ( -4x^2 ) entre ( x ) para obtener ( -4x ).
• Paso 6: Multiplicar ( (x - 2) ) por ( -4x ) para obtener ( -4x^2 + 8x ).
• Paso 7: Restar ( (-4x^2 + 11x) - (-4x^2 + 8x) = 3x ).
• Paso 8: Bajar el siguiente término, ( -6 ), resultando en ( 3x - 6 ).
• Paso 9: Dividir ( 3x ) entre ( x ) para obtener ( 3 ).
• Paso 10: Multiplicar ( (x - 2) ) por ( 3 ) para obtener ( 3x - 6 ).
• Paso 11: Restar ( (3x - 6) - (3x - 6) = 0 ).
• Cociente: ( x^2 - 4x + 3 ), Residuo: ( 0 ).

Método de Coeficientes Separados

• Se usa cuando el dividendo y divisor están completos y ordenados respecto a la misma letra.
• Se escriben solo los coeficientes, omitiendo variables.
• Se opera solo con coeficientes, siguiendo el procedimiento de la división larga.
• Se reconstruye el polinomio cociente al final con las variables correspondientes.

Regla de Ruffini (División Sintética)

• Método rápido para dividir un polinomio entre un binomio de la forma ( (x - a) ).

Pasos para la Regla de Ruffini

• Escribir coeficientes del dividendo en una fila.
• Escribir el valor de ( a ) (de ( x - a )) a la izquierda.
• Bajar el primer coeficiente.
• Multiplicar el coeficiente bajado por ( a ) y escribir el resultado debajo del siguiente coeficiente.
• Sumar estos dos números.
• Repetir el proceso hasta el último coeficiente.
• El último número es el residuo, y los demás son los coeficientes del cociente.

Ejemplo de Regla de Ruffini

• Dividir ( (2x^3 - 5x^2 + x + 3) ) por ( (x - 3) ).
• Coeficientes: ( 2, -5, 1, 3 )
• Valor de ( a ): ( 3 )
• Proceso:
  • Bajar el 2.
  • ( 2 * 3 = 6 ), ( -5 + 6 = 1 )
  • ( 1 * 3 = 3 ), ( 1 + 3 = 4 )
  • ( 4 * 3 = 12 ), ( 3 + 12 = 15 )
• Cociente: ( 2x^2 + x + 4 ), Residuo: ( 15 )

Teorema del Residuo

• El residuo de dividir un polinomio ( P(x) ) por ( (x - a) ) es igual a ( P(a) ).
• Para encontrar el residuo, se evalua el polinomio en ( x = a ).
• Ejemplo: Para ( P(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 7 ) y el divisor ( (x - 2) ), el residuo es ( P(2) = (2)^3 - 2(2)^2 + 5(2) - 7 = 8 - 8 + 10 - 7 = 3 ).

Teorema del Factor

• Si ( P(a) = 0 ), entonces ( (x - a) ) es un factor del polinomio ( P(x) ).
• Si al evaluar un polinomio en ( x = a ) el resultado es cero, la división de ( P(x) ) por ( (x - a) ) es exacta (residuo cero).
• Ejemplo: Si ( P(x) = x^2 - 4 ), y evaluamos en ( x = 2 ), ( P(2) = (2)^2 - 4 = 0 ), entonces ( (x - 2) ) es un factor de ( x^2 - 4 ).

Aplicaciones de la División Algebraica

• Simplificación de expresiones algebraicas.
• Factorización de polinomios.
• Resolución de ecuaciones algebraicas.
• Cálculo de límites y derivadas en cálculo.
• Diseño de algoritmos en programación.