Дискретни случайни величини

Дискретни случайни величини

• Дискретна случайна величина може да приема само краен брой стойности или изброимо безкраен брой стойности.

Функция на вероятностната маса (PMF)

• PMF на дискретна случайна величина X е функция, която дава вероятността X да е равна на определена стойност: $p_X(x) = P(X = x)$.

Функция на кумулативното разпределение (CDF)

• CDF на дискретна случайна величина X е функция, която дава вероятността X да бъде по-малка или равна на определена стойност: $F_X(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_i \leq x} p_X(x_i)$.

Очаквана стойност

• Очакваната стойност на дискретна случайна величина X е средната стойност на X след много изпитания: $E[X] = \sum_x x \cdot p_X(x)$.

Дисперсия

• Дисперсията на дискретна случайна величина X е мярка за това колко са разпръснати стойностите на X: $Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$.

Стандартно отклонение

• Стандартното отклонение на дискретна случайна величина X е квадратният корен от дисперсията на X: $SD(X) = \sqrt{Var(X)}$.

Непрекъснати случайни величини

• Непрекъсната случайна величина е променлива, чиято стойност може да бъде всяка стойност в даден диапазон.

Функция на плътността на вероятността (PDF)

• PDF на непрекъсната случайна величина X е функция, която дава относителната вероятност X да приеме определена стойност: $f_X(x)$.

Функция на кумулативното разпределение (CDF)

• CDF на непрекъсната случайна величина X е функция, която дава вероятността X да бъде по-малка или равна на определена стойност: $F_X(x) = P(X \leq x) = \int_{-\infty}^{x} f_X(x') dx'$.

Разпределения

• За непрекъсната случайна величина X, очакваната стойност се изчислява като $E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_X(x) dx$.
• Дисперсията се изчислява като $Var(X) = E[(X - E[X])^2] = E[X^2] - (E[X])^2$.
• Стандартното отклонение се изчислява като $SD(X) = \sqrt{Var(X)}$.

Общи дискретни разпределения

• Разпределението на Бернули е дискретно вероятностно разпределение, което описва вероятността за успех или неуспех на еднократно изпитание.
• Вероятността при разпределението на Бернули се изчислява като $P(X = x) = p^x (1 - p)^{(1 - x)}$ за $x \in {0, 1}$.
• Очакваната стойност е $E[X] = p$, а дисперсията е $Var(X) = p(1 - p)$.
• Биномното разпределение описва вероятността за получаване на определен брой успехи във фиксиран брой изпитания.
• Вероятността при биномното разпределение се изчислява като $P(X = x) = \binom{n}{x} p^x (1 - p)^{(n - x)}$ за $x \in {0, 1, 2,..., n}$.
• Очакваната стойност е $E[X] = np$, а дисперсията е $Var(X) = np(1 - p)$.
• Разпределението на Поасон описва вероятността за настъпване на определен брой събития във фиксиран период от време или пространство.
• Вероятността при разпределението на Поасон се изчислява като $P(X = x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}$ за $x \in {0, 1, 2,...}$.
• Очакваната стойност е $E[X] = \lambda$, а дисперсията е $Var(X) = \lambda$.

Общи непрекъснати разпределения

• Равномерното разпределение описва вероятността стойност да попадне в определен диапазон, като всички стойности в диапазона са еднакво вероятни.
• Плътността на вероятността при равномерното разпределение се изчислява като $f_X(x) = \frac{1}{b - a}$ за $a \leq x \leq b$.
• Очакваната стойност е $E[X] = \frac{a + b}{2}$, а дисперсията е $Var(X) = \frac{(b - a)^2}{12}$.
• Експоненциалното разпределение описва времето между събитията в процес на Поасон.
• Плътността на вероятността при експоненциалното разпределение се изчислява като $f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$ за $x \geq 0$.
• Очакваната стойност е $E[X] = \frac{1}{\lambda}$, а дисперсията е $Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}$.
• Нормалното разпределение е симетрично и звънчевидно.
• Плътността на вероятността при нормалното разпределение се изчислява като $f_X(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}(\frac{x - \mu}{\sigma})^2}$.
• Очакваната стойност е $E[X] = \mu$, а дисперсията е $Var(X) = \sigma^2$.

Съвместни разпределения

• Съвместното разпределение на две или повече случайни величини е вероятностно разпределение, което описва вероятността всички променливи да приемат определени стойности едновременно.
• За дискретни случайни величини, съвместната PMF се изчислява като $p_{X,Y}(x, y) = P(X = x, Y = y)$.
• За непрекъснати случайни величини, съществува съвместна PDF $f_{X,Y}(x, y)$.
• Маргиналната PMF/PDF на дадена случайна величина е нейното вероятностно разпределение, независимо от стойностите на другите променливи.
• Маргиналната PMF се изчислява като $p_X(x) = \sum_y p_{X,Y}(x, y)$.
• Маргиналната PDF се изчислява като $f_X(x) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{X,Y}(x, y) dy$.
• Условната PMF/PDF на случайна величина X при дадена друга случайна величина Y е вероятностното разпределение на X, при условие че Y е приела определена стойност.
• Условната PMF се изчислява като $p_{X|Y}(x|y) = \frac{p_{X,Y}(x, y)}{p_Y(y)}$.
• Условната PDF се изчислява като $f_{X|Y}(x|y) = \frac{f_{X,Y}(x, y)}{f_Y(y)}$.
• Две случайни величини X и Y са независими, ако тяхното съвместно разпределение е равно на произведението на техните маргинални разпределения.
• Независимостта при дискретните случайни величини се определя чрез $p_{X,Y}(x, y) = p_X(x) \cdot p_Y(y)$.
• Независимостта при непрекъснатите случайни величини се определя чрез $f_{X,Y}(x, y) = f_X(x) \cdot f_Y(y)$.

Ковариация и корелация

• Ковариацията на две случайни величини X и Y е мярка за това колко много се променят двете променливи заедно: $Cov(X, Y) = E[(X - E[X])(Y - E[Y])] = E[XY] - E[X]E[Y]$.
• Корелацията на две случайни величини X и Y е мярка за линейната връзка между двете променливи: $Corr(X, Y) = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}$.

Закон за големите числа

• Слабият закон за големите числа гласи, че средната извадка от поредица от независими и еднакво разпределени (i.i.d.) случайни величини клони към очакваната стойност на променливите: $\bar{X}n = \frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} X_i$ и $P(|\bar{X}_n - E[X]| > \epsilon) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$.
• Силният закон за големите числа гласи, че средната извадка от поредица от независими и еднакво разпределени (i.i.d.) случайни величини клони почти сигурно към очакваната стойност на променливите: $\bar{X}n = \frac{1}{n} \sum{i=1}^{n} X_i$ и $P(\lim_{n \rightarrow \infty} \bar{X}_n = E[X]) = 1$.

Централна гранична теорема

• Централната гранична теорема (CLT) гласи, че сумата (или средната стойност) на голям брой независими и еднакво разпределени (i.i.d.) случайни величини ще бъде приблизително нормално разпределена, независимо от основното разпределение на променливите: $Z_n = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i - nE[X]}{\sqrt{nVar(X)}}$ и $Z_n \xrightarrow{d} N(0, 1)$ as $n \rightarrow \infty$.

Правила за интегриране

• Интегрирането е обратният процес на диференцирането и се използва за намиране на площта под крива или натрупването на количество.

Неопределени интеграли

• Неопределеният интеграл е функция, чиято производна е равна на дадена функция.
• Неопределеният интеграл на $f(x)$ се означава като $\int f(x) dx = F(x) + C$, където $F(x)$ е антипроизводната на $f(x)$, а $C$ е константата на интегриране.

Основни правила за интегриране

• Правило на степента: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1$.
• Правило на константата: $\int k dx = kx + C$.
• Правило на сумата/разликата: $\int [f(x) \pm g(x)] dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx$.
• Правило за умножение с константа: $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$.
• Integral of $e^x$: $\int e^x dx = e^x + C$.
• Integral of $a^x$: $\int a^x dx = \frac{a^x}{ln(a)} + C$.
• Integral of $\frac{1}{x}$: $\int \frac{1}{x} dx = ln|x| + C$.
• Integral of $sin(x)$: $\int sin(x) dx = -cos(x) + C$.
• Integral of $cos(x)$: $\int cos(x) dx = sin(x) + C$.
• Integral of $sec^2(x)$: $\int sec^2(x) dx = tan(x) + C$.
• Integral of $csc^2(x)$: $\int csc^2(x) dx = -cot(x) + C$.
• Integral of $sec(x)tan(x)$: $\int sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C$.
• Integral of $csc(x)cot(x)$: $\int csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C$.
• Integral of $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$: $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = sin^{-1}(x) + C$.
• Integral of $\frac{1}{1+x^2}$: $\int \frac{1}{1+x^2} dx = tan^{-1}(x) + C$.
• Integral of $\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}$: $\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-1}} dx = sec^{-1}(x) + C$.

Определени интеграли

• Определеният интеграл е число, което представя площта под кривата на функция между две точки.
• Определеният интеграл на $f(x)$ от $a$ до $b$ се означава като $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, където $a$ е долната граница на интегриране, $b$ е горната граница на интегриране, а $F(x)$ е антипроизводната на $f(x)$.

Фундаментална теорема на анализа

• Фундаменталната теорема на анализа гласи, че диференцирането и интегрирането са обратни операции.
• Ако $f$ е непрекъсната в $[a, b]$, тогава $F(x) = \int_a^x f(t) dt$ е непрекъсната в $[a, b]$ и диференцируема в $(a, b)$, и $F'(x) = f(x)$.
• Ако $f$ е непрекъсната в $[a, b]$, тогава $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, където $F$ е която и да е антипроизводна на $f$.

Техники на интегриране

• Заместване, интегриране по части, разлагане на елементарни дроби, тригонометрични интеграли, тригонометрични замествания и др.

Практически приложения на интегрирането

• Лице между криви, обеми на ротационни тела, дължина на дъга, лице на ротационна повърхност, работа, средна стойност на функция и др.

Лесен и доказан начин за изграждане на добри навици и премахване на лошите

• Когато промените навиците си, не променяте резултатите си.
• Това, от което се нуждаете, е система.
  1. Ангажирайте се с процеса, а не с целта.
  2. Влюбете се в скуката.

Първи закон: Направете го очевидно.

• Карта на навиците: Записвайте вашите навици.
  • След като си налея чаша кафе всяка сутрин, ще медитирам една минута.
  • След като напусна офиса, ще се разпъна за пет минути.
  • Когато си легна, ще чета двадесет минути.
• Натрупване на навици: Комбинирайте вашите нови навици със стари.
  • Формулата за натрупване на навици е: "След \ [ТЕКУЩ НАВИК], ще \ [НОВ НАВИК]
• Всяко действие се инициира, когато попадне на реплика.
• Намерение за изпълнение: Хората, които разработват конкретен план за кога и къде да изпълнят нов навик, е по-вероятно да го следват.
• "Аз ще \ [ПОВЕДЕНИЕ] в \ [ВРЕМЕ] в \ [МЕСТОНАХОЖДЕНИЕ]."
• След като навикът е кодиран в мозъка ви, вие сте готови да действате винаги, когато се появи свързаната с него реплика.
• Намалете излагането си: - Ако прекарвате твърде много време в социалните медии: Изтрийте приложенията за социални медии от телефона си. - Ако губите време в гледане на телевизия: Поставете телевизора в килер.

Втори закон: Направете го привлекателно.

• Обвързване на изкушенията
  • Обвързването на изкушенията работи, като свързва навик, който искате да направите, с навик, който трябва да направите.
    • Проверявайте социалните медии само докато карате велоергометъра.
    • Гледайте любимото си предаване само докато гладите или извършвате домакинска работа.
      • Формулата за натрупване на навици + обвързване на изкушенията е: "След \ [ТЕКУЩ НАВИК], ще \ [НАВИК, ОТ КОЙТО СЕ НУЖДАЯ]. След \ [НАВИК, ОТ КОЙТО СЕ НУЖДАЯ], ще \ [НАВИК, КОЙТО ИСКАМ]."
• Харесайте култура, в която желаното от вас поведение е нормално поведение.
• Присъединете се култура, в която: 1. Желаното от вас поведение е нормално поведение. 2. Вие вече имате нещо общо с групата.
• Мотивирайте се, когато не ви се прави нищо.
• Как да спрете да отлагате? - Правилото на Златка гласи, че хората изпитват максимален стимули, когато работят по задачи, които са точно на ръба на настоящите им способности.
• "Не е твърде трудно. Не е твърде лесно. Просто правилно."

Трети закон: Направете го лесно.

• Вървете бавно, но никога назад.
• Движение срещу действие: - Движението е, когато планирате да действате. - Действието е вид поведение което ще достави резултат.
• Формиране на навици: Количеството време, през което сте изпълнявали навик, не е толкова важно, колкото броят пъти, когато сте го изпълнявали.
• Най-добрият начин да научите нов навик.
• Правилото за две минути: "Когато започнете нов навик, не трябва да отнема повече от две минути да го направите". - "Четете преди лягане всяка вечер" става "Прочетете една страница". - "Правете тридесет минути йога" става "Извадете постелката ми за йога".
• Спрете да отлагате, като използвате правилото за две минути.
• Как да автоматизираме навик? - Еднократно усилие, което се отплаща с времето.
• Технология: Автоматизирайте вашите спестявания, като прехвърляте пари във вашата пенсионна сметка всеки месец. - Използвайте приложения като Freedom, за да блокирате разсейващи уебсайтове.
• Овладейте изкуството на самоконтрол.
• Колкото повече бариери имате между вас и лошите ви навици, толкова по-малко вероятно е да действате по тях. - Изключете телевизора си след всяка употреба. - Помолете да бъдете премахнати от списъците с имейли.

Четвърти закон: Направете го удовлетворяващо.

• Основното правило за промяна в поведението.
• Какво е проследяване на навици? - Проследяването на навици е обикновен начин да измерите дали сте направили навик. Най-основният формат е да вземете календар и да задраскате всеки ден, в който се придържате към рутината си.
• Никога не пропускайте два пъти.
• Като общо правило, никога не пропускайте два пъти.
• Превърнете незабавното удовлетворение във ваше предимство.
• Как да избегнете лошите навици? - Партньор за отчетност може да създаде незабавна цена за бездействие.
• Договор за навици: Договорът за навици може да се използва за добавяне на някои социални разходи към вашите навици. Работи чрез комбиниране на договор за навици с партньор за отчетност.
• Използвайте наказание във ваша полза.
• По-малко вероятно е да повторим лош навик, ако е болезнен.

Разширени тактики.

• Как да преминете от просто добър към наистина велик.
• Навици + преднамерена практика: Навиците са основата на майсторството.
• Навици + отражение: Отражението и прегледът са това, което превръща един добър спортист във велик.

Заключение: Тайната на трайните резултати.

• Трябва да се съсредоточите върху изграждането на навици, базирани на идентичност.
  1. Решете какъв тип човек искате да бъдете.
  2. Докажете го на себе си с малки победи.
• Истинската причина, поради която навиците имат значение, не е, че могат да ви дадат по-добри резултати (въпреки че могат да направят това), а защото те могат да променят вярванията ви за себе си.

Глава 4. Линейни приложения

1. Общи бележки

• Определение: Нека E и F са две векторни пространства над едно и също поле K. Приложението f: E -> F се нарича линейно, ако за всяко u, v ∈ E, f(u+v)=f(u)+f(v) и за всяка λ ∈ K, за всяко u ∈ E, f(λu)=λf(u).
  • Примери
    • Нулевата функция: f: E -> F, определена от f(u)=0F за всяко u ∈ E
    • Тъждеството: f: E -> E, определено от f(u)=u за всяко u ∈ E
    • Диференциране: f: R[X] -> R[X], определено от f(P)=P'
    • Интегриране: f: R[X] -> R[X]. определена от f(P)(x)=интеграл от 0 до x от P(t) dt
  • Имоти: Нека f: E -> F е линейна функция. Тогава:
    • f(0E)=0F
    • за всяко u ∈ E, f(-u)=-f(u)
    • за всяко u, v ∈ E, f(u-v)=f(u)-f(v)
    • за всяко n ∈ N, за всички u1, ..., un ∈ E, за всички λ1, ..., λn ∈ K: f(сума от i=1 до n от λi ui) = сума от i=1 до n от λi f(ui)

2. Изображение и ядро

• Нека f: E -> F е линейна функция.

Определение

• Изображението на f е наборът от вектори във F, които са образ на поне един вектор от E. Означава се с Im(f).
  • Im(f)={v ∈ F | съществува u ∈ E, v=f(u)}
  • Ядрото на f е наборът от вектори в E, за които изображението е нулев вектор на F.
  • Означава се с Ker(f).

Свойства

• Im(f) e векторно подпространство на F.
• Ker(f) e векторно подпространство на E.

Теорема

• Нека f: E -> F е линейна функция.
  • f е ижективна <=> Ker(f)={0E}
  • f е сюрективна <=> Im(f)=F
  • f e биективна <=> Ker(f)={0E} и Im(f)=F

3. Ранг

• Нека f: E -> F е линейна функция. Предполагаме, че E е от крайна размерност.

Определение

• Рангът на f, отбелязан с rg(f), е размерността на Im(f).
  • rg(f)=dim(Im(f))

Теорема за ранга

• dim(E)=dim(Ker(f))+rg(f)

Следствие

• Ако E и F са от една и съща крайна размерност и f: E -> F е линейна функция, тогава:
  • f ижективна <=> f сюрективна <=> f биективна

Химична кинетика

• Химичната кинетика, известна още като кинетика на реакциите, е изучаване на скоростите на химичните процеси. Химичната кинетика включва изследвания на това как различните експериментални условия могат да повлияят на скоростта на химична реакция и да дадат информация за механизма и преходните състояния на реакцията, както и конструиране на математически модели, които описват характеристиките на химична реакция.

Фактори, влияещи върху скоростите на реакциите

1. Концентрация на реагентите: Увеличаването на концентрацията на един или повече реагенти често ще увеличи скоростта на реакцията. Това се случва, защото по-висока концентрация на реагенти ще доведе до повече сблъсъци на тези реагенти за определен период.
2. Физическо състояние на реагентите и площ на повърхността: Ако реагентите са в една и съща фаза, както в течен раз твор, броят на сблъсъците за единица време зависи от тяхната концентрация. Ако реагентите са в различни фази, скоростта на реакцията е ограничена от площта на контакта между реагентите.
3. Температура: Обикновено провеждането на реакция при по-висока температура доставя повече енергия в системата и увеличава скоростта на реакцията чрез увеличаване на честотата на сблъсъците между молекулите.
4. Наличие на катализатор: Катализаторите са вещества, които увеличават скоростите на реакциите, без да бъдат изразходвани в реакцията. Катализаторите обикновено увеличават скоростите на реакциите чрез понижаване на енергията на активиране или промяна на механизма на реакцията.

• Скорост на реакцията: Обмислете общата реакция: $aA + bB \rightarrow cC + dD$, където a, b, c и d са стехиометрични коефициенти за балансираната реакция. Скоростта на реакцията може да бъде изразена по отношение на промяната в концентрацията на някой от реагентите или продуктите.
• Скорост на реакцията: $Rate = -\frac{1}{a}\frac{\Delta[A]}{\Delta t} = -\frac{1}{b}\frac{\Delta[B]}{\Delta t} = \frac{1}{c}\frac{\Delta[C]}{\Delta t} = \frac{1}{d}\frac{\Delta[D]}{\Delta t}$
• Закон за скорост: Законът за скорост е уравнение, което свързва скоростта на реакция с концентрациите на реагенти и катализатори.
• Обща скорост на реакция: За общата реакция $aA + bB \rightarrow cC + dD$ законът за скорост обикновено има формата: $Rate = k[A]^m[B]^n$, където k е константата на скоростта, [A] и [B] са концентрациите на реагентите, а m и n са порядъците на реакцията спрямо реагентите А и В съответно.
• Катализатор: Катализаторът е вещество, което увеличава скоростта на химическата реакция, без самият той да се променя химически по време на реакцията.
• Енергия на активиране: Енергията на активиране е минималната необходима енергия, за да се случи химическа реакция. Често се обозначава като $E_a$ и се измерва в джаули на мол (J/mol) или килоджаули на мол (kJ/mol). Енергията на активиране е важен параметър в уравнението на Арениус, което описва температурната зависимост на скоростите на реакциите.
• Уравнение на Арениус: Уравнението на Арениус осигурява количествена връзка между константата на скоростта (k) на химическа реакция, енергията на активиране ($E_a$), абсолютната температура (T) и преди константата експоненциален фактор (A): $k = Ae^{-\frac{E_a}{RT}}$, където: k е константата на скоростта, A е преди експоненциален фактор (честотен фактор), $E_a$ е енергията на активиране, R е идеалната газова константа (8.314 J/mol·K), T е абсолютната температура (в келвини).

Статично електричество

• Има два вида електрически заряд: положителен и отрицателен. Еднаквите заряди се отблъскват, а противоположните се привличат. SI единицата за електрически заряд е кулон (C).
  • Запазване на заряда: Общият електрически заряд на изолирана система остава постоянен. Зарядът може да се прехвърля от един обект на друг, но общото количество заряд остава същото.
  • Квантуване на заряда: Електрическият заряд е квантуван, което означава, че съществува в отделни количества. Елементарният заряд, означен с e, е най-малката единица заряд и е приблизително 1,602 x 10-19 C. Един обект може да има заряд, който е цяло число, кратно на e.
    • $Q = ne$, Където: Q е общият заряд, n е цяло число, e е елементарният заряд (1,602 x 10-19 C)
• Методи за зареждане:
  • Зареждане чрез триене: Когато два неутрални обекта се търкат един в друг, електрони могат да бъдат прехвърлени от единия обект към другия. Единият обект става положително зареден (губи електрони), а другият става отрицателно зареден (получава електрони).
  • Зареждане чрез проводимост: Зареждане на неутрален обект чрез контакт със зареден обект. Обектите трябва да влязат във физически контакт, позволявайки заряда да тече, докато достигнат един и същ потенциал.
  • Зареждане чрез индукция: Зареждане на неутрален обект без директен контакт. Зареден обект се приближава до неутралния обект, което води до разделяне на заряда в неутралния обект. След това неутралният обект може да бъде заземен, за да бъдат премахнати или и добавени електрони, което води до нетен заряд.
• Закон на Кулон: Количествено определя силата между два точкови заряда. Силата е право пропорционална на продукта на величините на зарядите и обратно пропорционална на квадрата на разстоянието между тях.
  • $F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$, където: F е електростатичната сила между зарядите, k е константата на Кулон (приблизително 8,9875 x 109 N m2/C2), q1 и q2 са величините на зарядите, r е разстоянието между зарядите.
  • Посока на силата: Ако зарядите са с еднакъв знак (и двете положителни или и двете отрицателни), силата е отблъскваща. Ако зарядите са с противоположни знаци, силата е привличаща.
• Електрически полета: Електрическото поле е област от пространството около зареден обект, където друг зареден обект би изпитал сила. Това е векторно поле, с както магнитуд, така и посока.
  • Линии на електрическото поле: Използват се за визуализация на електрически полета.
    • Линиите на електрическото поле сочат далеч от положителните заряди и към отрицателните заряди.
    • Плътността на полевите линии показва силата на електрическото поле.
    • Линиите на електрическото поле никога не се пресичат.
    • Якост на електрическото поле: Якостта на електрическото поле E в дадена точка се определя като силата F на единица заряд q, изпитана от малък положителен тестов заряд, поставен в тази точка: $E = \frac{F}{q}$. SI единицата за якост на електрическото поле е нютони на кулон (N/C).
    • Електрическо поле, дължащо се на точков заряд: Електрическото поле, дължащо се на точков заряд Q на разстояние r от заряда, се дава от: $E = k \frac{|Q|}{r^2}$, където E е силата на електрическото поле