Disequazioni Irrazionali: Guida

• Le disequazioni irrazionali sono disequazioni in cui l'incognita compare sotto il segno di radice.
• La risoluzione di disequazioni irrazionali richiede attenzione, in quanto l'elevamento a potenza può introdurre soluzioni non valide.
• È fondamentale distinguere tra indice pari e indice dispari della radice.

Disequazioni con indice dispari

• Se l'indice della radice è dispari, si può elevare entrambi i membri della disequazione all'indice della radice senza preoccuparsi del segno.
• Esempio: $\sqrt{x} > 2$ si risolve elevando al cubo entrambi i membri, ottenendo $x > 8$.
• In generale, se $\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$ con $n$ dispari, allora $f(x) > [g(x)]^n$.
• Analogamente, se $\sqrt[n]{f(x)} < g(x)$ con $n$ dispari, allora $f(x) < [g(x)]^n$.

Disequazioni con indice pari

• Se l'indice della radice è pari, è necessario imporre la condizione di esistenza della radice, ovvero che il radicando sia non negativo.
• Inoltre, è necessario distinguere i casi in cui il secondo membro della disequazione è positivo, negativo o nullo.
• Caso 1: $\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$ con $n$ pari.
  • Si impone $f(x) \geq 0$ (condizione di esistenza della radice).
  • Se $g(x) < 0$, la disequazione è sempre verificata (perché una radice di indice pari è sempre non negativa).
  • Se $g(x) \geq 0$, si eleva entrambi i membri alla potenza $n$, ottenendo $f(x) > [g(x)]^n$.
• Caso 2: $\sqrt[n]{f(x)} < g(x)$ con $n$ pari.
  • Si impone $f(x) \geq 0$ (condizione di esistenza della radice).
  • Si impone $g(x) > 0$ (perché una radice di indice pari è sempre non negativa e quindi deve essere minore di un numero positivo).
  • Si eleva entrambi i membri alla potenza $n$, ottenendo $f(x) < [g(x)]^n$.

Riepilogo dei casi con indice pari

• $\sqrt[n]{f(x)} > g(x)$ con $n$ pari:
  • $f(x) \geq 0$
  • $g(x) < 0$ (sempre vera) oppure $g(x) \geq 0$ e $f(x) > [g(x)]^n$
• $\sqrt[n]{f(x)} < g(x)$ con $n$ pari:
  • $f(x) \geq 0$
  • $g(x) > 0$
  • $f(x) < [g(x)]^n$

Esempi di risoluzione

• Esempio 1: $\sqrt{x+1} > x-2$
  • Condizione di esistenza: $x+1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1$
  • Caso $x-2 < 0 \Rightarrow x < 2$: la disequazione è sempre verificata per $-1 \leq x < 2$.
  • Caso $x-2 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$: elevando al quadrato, $x+1 > (x-2)^2 \Rightarrow x+1 > x^2 - 4x + 4 \Rightarrow x^2 - 5x + 3 < 0$. Le radici di $x^2 - 5x + 3 = 0$ sono $x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{13}}{2}$. Quindi, $\frac{5 - \sqrt{13}}{2} < x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$. Intersecando con $x \geq 2$, si ottiene $2 \leq x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$.
  • Soluzione finale: $-1 \leq x < \frac{5 + \sqrt{13}}{2}$.
• Esempio 2: $\sqrt{2x-1} < x-2$
  • Condizione di esistenza: $2x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$
  • Condizione $x-2 > 0 \Rightarrow x > 2$.
  • Elevando al quadrato: $2x-1 < (x-2)^2 \Rightarrow 2x-1 < x^2 - 4x + 4 \Rightarrow x^2 - 6x + 5 > 0$. Le radici di $x^2 - 6x + 5 = 0$ sono $x_1 = 1$ e $x_2 = 5$. Quindi, $x < 1$ oppure $x > 5$.
  • Intersecando le condizioni $x \geq \frac{1}{2}$, $x > 2$ e ($x < 1$ oppure $x > 5$), si ottiene $x > 5$.
  • Soluzione finale: $x > 5$.

Applicazioni pratiche

• Le disequazioni irrazionali trovano applicazione in diversi campi della matematica e della fisica.
• Determinazione del dominio di funzioni contenenti radici: ad esempio, per trovare il dominio di $f(x) = \sqrt{x^2 - 4}$, è necessario risolvere la disequazione $x^2 - 4 \geq 0$.
• Risoluzione di problemi geometrici: ad esempio, per trovare le dimensioni di un rettangolo con area vincolata e un lato espresso tramite una radice.
• Modellizzazione di fenomeni fisici: ad esempio, in problemi di cinematica, l'espressione della velocità o dell'accelerazione può contenere radici.

Metodi di risoluzione

• Il metodo principale consiste nell'eliminare la radice elevando entrambi i membri della disequazione a una potenza appropriata.
• È fondamentale analizzare il segno dei membri della disequazione prima di elevare a potenza, per evitare di introdurre soluzioni non valide.
• In caso di radici con indice pari, è necessario imporre le condizioni di esistenza della radice e analizzare i diversi casi possibili in base al segno del secondo membro.
• È utile riepilogare le condizioni trovate in un sistema di disequazioni e risolverlo per determinare la soluzione finale.
• In alcuni casi, può essere utile effettuare sostituzioni per semplificare la disequazione. Ad esempio, se la disequazione contiene espressioni del tipo $\sqrt{f(x)}$, si può porre $t = \sqrt{f(x)}$ e risolvere la disequazione in $t$.
• Verificare sempre le soluzioni ottenute, sostituendole nella disequazione originale, per escludere eventuali soluzioni non valide introdotte dall'elevamento a potenza.