Études des mouvements du complexe coude et avant bras

Directives Cliniques

• Les directives s'adressent aux personnes souffrant d'arthrose (OA) du genou et de la hanche.

Directives Nationales pour la Gestion de l'Arthrose du Genou et de la Hanche

• Une information complète et adaptée est essentielle pour la gestion de l'OA.
• Les personnes souffrant d'OA devraient recevoir une éducation, des stratégies d'autogestion et un soutien psychosocial.
• Il est recommandé aux personnes en surpoids souffrant d'OA de perdre du poids par le biais d'un régime alimentaire, d'exercices et de changements comportementaux.
• Il est recommandé aux personnes souffrant d'OA de faire de l'exercice pour améliorer la force, l'amplitude des mouvements et la forme cardiovasculaire.
• La physiothérapie peut être envisagée pour améliorer la fonction et réduire la douleur.
• Les dispositifs d'assistance, tels que les cannes ou les déambulateurs, peuvent être utilisés pour améliorer la fonction et réduire la douleur.
• Les traitements pharmacologiques, tels que les AINS ou les opioïdes, peuvent être envisagés pour réduire la douleur.
• Les injections intra-articulaires, telles que les corticostéroïdes ou l'acide hyaluronique, peuvent être envisagées pour réduire la douleur, mais la recommandation est faible.
• La chirurgie, comme le remplacement articulaire, peut être envisagée lorsque les autres traitements ont échoué.
• L'acupuncture et les remèdes à base de plantes ne sont pas recommandés pour les personnes souffrant d'OA.
• L'efficacité des suppléments nutritionnels, tels que la glucosamine ou la chondroïtine, est limitée, mais ils peuvent être envisagés pour réduire la douleur.
• Il est recommandé d'encourager les personnes souffrant d'OA à participer à des programmes d'autogestion pour apprendre à gérer leur état.
• Un soutien psychosocial devrait être offert aux personnes souffrant d'OA pour les aider à faire face aux défis émotionnels liés à cette maladie chronique.
• Une équipe multidisciplinaire peut assurer une prise en charge complète de l'OA.
• Une équipe multidisciplinaire comprend des médecins, des infirmières, des physiothérapeutes et des ergothérapeutes.
• AAOS est l'abréviation de l'American Academy of Orthopaedic Surgeons.

Fonctions de Hachage Cryptographiques

• Les fonctions de hachage cryptographiques sont essentielles pour la sécurité informatique.

Propriétés de Sécurité

• Résistance aux collisions : difficulté à trouver deux entrées distinctes produisant la même sortie.
• Résistance à la préimage : difficulté à trouver une entrée qui produise une sortie spécifique donnée.
• Résistance à la seconde préimage : difficulté à trouver une deuxième entrée qui produise la même sortie qu'une entrée donnée.

Constructions

• Merkle-Damgard : divise le message en blocs, applique une fonction de compression de manière itérative.
• Sponge : divise le message en blocs, XOR les blocs dans l'état, transforme l'état avec une fonction de permutation.

Applications

• Stockage de mots de passe : hachage des mots de passe avant de les stocker pour protéger contre les violations de données.
• Intégrité des données : calcul du hachage d'un fichier et comparaison avec le hachage stocké pour détecter les modifications.
• Authentification des messages : utilisation d'une fonction de hachage clé (MAC) pour authentifier les messages.

Fonctions de Hachage Cryptographiques

• C'est une fonction H : {0,1}* → {0,1}^n qui satisfait les propriétés suivantes :
  • Facile à calculer : étant donné une entrée x, il est facile de calculer H(x)
  • Résistance aux collisions : il est difficile de trouver deux entrées distinctes x et x' telles que H(x) = H(x').
  • Résistance à la préimage : étant donné une valeur de hachage y, il est difficile de trouver une entrée x telle que H(x) = y
  • Résistance à la seconde préimage : étant donné une entrée x, il est difficile de trouver une autre entrée x' telle que H(x') = H(x)

Propriétés de Sécurité

• Résistance à la collision implique une résistance à la seconde préimage.
• La résistance à la collision n'est pas synonyme de résistance à la préimage.
• La résistance à la seconde préimage n'est pas synonyme de résistance à la préimage.

Constructions

• Merkle-Damgard :
  • Le message est divisé en blocs de taille fixe.
  • Une fonction de compression f est appliquée à chaque bloc, ainsi qu'à la sortie du bloc précédent.
  • La sortie finale est la valeur de hachage.
• Sponge
  • Le message est complété et divisé en blocs.
  • Les blocs sont XORés dans la première partie de l'état.
  • L'état est transformé par une fonction de permutation.
  • La première partie de l'état est sortie comme valeur de hachage.

Applications

• Stockage de mots de passe
  • Salage : ajouter une chaîne aléatoire à chaque mot de passe avant de le hacher.
    • Pour éviter les attaques de tables arc-en-ciel
    • Le sel doit être stocké avec le mot de passe
  • Étirement de la clé : ralentir le processus de hachage.
    • Pour rendre les attaques par force brute plus difficiles
    • Ex. : bcrypt, scrypt, Argon2
• Intégrité des données
  • Calculer le hachage d'un fichier et le stocker séparément.
  • Pour vérifier que le fichier n'a pas été modifié, recalculer le hachage et le comparer au hachage stocké.
  • Ex. : sommes de contrôle, signatures numériques
• Authentification des messages
  • Utiliser une fonction de hachage à clé (MAC) pour authentifier les messages.
  • Pour vérifier que le message n'a pas été falsifié et qu'il provient de l'expéditeur attendu.
  • Ex. : HMAC

Que sont les Nombres Complexes?

• Les nombres complexes peuvent être exprimés sous la forme a + bi.
  • a est la partie réelle.
  • b est la partie imaginaire.
  • i est l'unité imaginaire, définie comme √-1.

L'Unité Imaginaire

• L'unité imaginaire, notée i, est définie comme une solution de l'équation x² = -1.
• Par conséquent, i = √-1 et i² = -1.
  • 3 + 2i est un nombre complexe.
  • -1 - i est un nombre complexe.
  • 4i est un nombre complexe purement imaginaire.
  • 5 est un nombre réel, exprimable sous la forme 5 + 0i.

Opérations avec les nombres complexes

• Addition et soustraction : combinez les parties réelles et imaginaires séparément.
  • (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
  • (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
    • Exemple : (3 + 2i) + (1 - i) = (3 + 1) + (2 - 1)i = 4 + i
• Multiplication : utilisez la propriété distributive et souvenez-vous que i² = -1.
  • (a + bi)(c + di) = a(c + di) + bi(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac - bd) + (ad + bc)i
    • Exemple : (2 + 3i)(1 - i) = 2(1) + 2(-i) + 3i(1) + 3i(-i) = 2 - 2i + 3i - 3i² = 2 + i + 3 = 5 + i
• Division : multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
• Le conjugué de a + bi est a - bi.
  • a+bi/c+di=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i/c²+d²
    • Exemple: 1+2i/3-i=(1+2i)(3+i)/(3-i)(3+i)=3+i+6i + 2i²/9-i²=3+7i-2/9+1=1+7i/10=1/10+7/10i

Conjugué Complexe

• Le conjugué complexe d'un nombre complexe a + bi est a - bi, noté a+bi=a-bi.
• Le produit d'un nombre complexe et de son conjugué est toujours un nombre réel : (a + bi)(a - bi) = a² - (bi)² = a² + b²
  • Exemple : Le conjugué complexe de 3 + 4i est 3 - 4i.
    • (3 + 4i)(3 - 4i) = 3² + 4² = 9 + 16 = 25

Représentation Géométrique

• Les nombres complexes peuvent être représentés graphiquement sur un plan complexe, où l'axe horizontal représente la partie réelle et l'axe vertical représente la partie imaginaire.
• Le nombre complexe a + bi est représenté par le point (a, b) sur le plan complexe.
• La valeur absolue (ou module) d'un nombre complexe z = a + bi, notée |z|, est la distance de l'origine au point (a, b) dans le plan complexe : |z| = √a² + b²

Forme Polaire des nombres complexes

• Un nombre complexe z = a + bi peut être exprimé sous forme polaire comme : z = r(cosθ + isinθ).
  • r = |z| = √a² + b² (module)
    • θ = arctan(b/a) (argument)

Formule d'Euler

• La formule d'Euler offre une connexion fondamentale entre les exponentielles complexes et les fonctions trigonométriques : e^(iθ) = cosθ + isinθ
• En utilisant la formule d'Euler, la forme polaire peut être écrite comme : z = re^(iθ)

Puissances et racines des nombres complexes

Théorème de De Moivre

• Théorème de De Moivre : pour tout nombre complexe sous forme polaire z = r(cosθ + isinθ) et tout entier n : (cos⁡θ+isin⁡θ)^n=cos⁡〖nθ+isin⁡〖nθ〗

Racines des nombres complexes

• Pour trouver les nièmes racines d'un nombre complexe z = r(cosθ + isinθ), utilisez la formule
  • z=ⁿ√r[cos(θ+2πk/n)+isin(θ+2πk/n)], où k = 0,1,2,...,n-1

Aperçu du Système

Introduction

• Les chapitres suivants décriront en détail la conception du Matériel et des Logiciels qui constituent le "Système de Traitement d'Images Acme".
• Ce chapitre fournit une vue d'ensemble du système dans son ensemble, afin d'en comprendre la structure et les fonctionnalités générales.

Diagramme du Système

• Le schéma fonctionnel du système décrit les principaux modules.
  • Source d'image -> Module d'acquisition d'image -> Module de traitement d'image -> Module de sortie d'image
    • Source d'Image : origine des données d'image ; peut être caméra, scanner ou stockage.
    • Module d'Acquisition d'Image : capture / récupère les données de la source d'image et les adapte pour le traitement.
    • Module de Traitement d'Image : effectue divers algorithmes de traitement d'image.
    • Module de Sortie d'Image : présente l'image traitée à l'utilisateur ou la stocke.

Caractéristiques du Système

• Le "Système de Traitement d'Images Acme" possède de nombreuses fonctionnalités :
  • Traitement d'Images en Temps Réel
  • Support de Multiples Formats d'Image.
  • Algorithmes de Traitement d'Images Personnalisables.
  • Interface utilisateur conviviale.

Applications Cibles

• Le "Système de Traitement d'Images Acme" vise diverses applications :
  • Imagerie Médicale : analyse d'images médicales pour la détection des tumeurs et le diagnostic.
  • Surveillance de Sécurité : reconnaissance faciale et suivi des objets.
  • Inspection Industrielle : détection de défauts et contrôle de la qualité.
  • Télédétection : analyse des images de télédétection pour la classification de la couverture terrestre et la détection des changements.

Algèbre linéaire Cours et exercices

• Le polycopié ci-dessous est un support de cours d'algèbre linéaire destiné aux étudiants de la première année des classes préparatoires scientifiques.
• Il comporte cinq chapitres qui traitent les notions fondamentales de l'algèbre linéaire, à savoir: les matrices, les systèmes linéaires, les espaces vectoriels, les applications linéaires et la réduction des endomorphismes.
• Chaque chapitre est composé d'un résumé de cours, d'exercices corrigés et d'exercices proposés.il est possible de considérer comme chapitre 1 les Matrices.
  • Définitions et notations.
  • Opérations sur les matrices.
  • Matrices inversibles.
  • Transposition.
  • Exercices.
• Il est possible de considérer comme chapitre 2 les Systèmes linéaires.
  • Définitions et notations.
  • Opérations élémentaires sur les lignes d'une matrice.
  • Rang d'une matrice.
  • Systèmes de Cramer.
  • Exercices.
• Il est possible de considérer comme chapitre 3 les Espaces vectoriels.
  • Définitions et exemples.
  • Sous-espaces vectoriels.
  • Somme de sous-espaces vectoriels.
  • Familles libres et familles génératrices.
  • Bases et dimension.
  • Exercices.
• Il est possible de considérer comme chapitre 4 les Applications linéaires.
  • Définitions et exemples.
  • Opérations sur les applications linéaires.
  • Image et noyau d'une application linéaire.
  • Rang d'une application linéaire.
  • Théorème du rang.
  • Exercices.
• Il est possible de considérer comme chapitre 5 Réduction des endomorphismes.
  • Eléments propres d'un endomorphisme.
  • Polynôme caractéristique.
  • Diagonalisation.
  • Trigonalisation.
  • Exercices.

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC GIẢI NHANH CHỦ ĐỀ ESTE – LIPIT

• Este

  • Khái Niệm: Este là sản phẩm phản ứng giữa axit cacboxylic và ancol.
    • Este đơn chức có công thức tổng quát là: CnHznO2 (n ≥ 2, este no, đơn chức, mạch hở).
    • Công thức tổng quát của este tạo bởi từ axit cacboxylic Xm chức và ancol Yn chức là:(RCOO)nR'(OH)m-n (với n ≤ m).
  • Cách gọi tên: Tên este = Tên gốc alkyl + Tên gốc axit (đuôi "at").
    • HCOOCH3: Metyl fomat
    • CH3COOC2H5: Etyl axetat
    • C6H5COOCH3: Metyl benzoat
  • Tính chất vật lý
    • Este thường là chất lỏng hoặc chất rắn ở điều kiện thường.
    • Este ít tan trong nước.
    • Este có nhiệt độ sôi thấp hơn so với axit và ancol có cùng số nguyên tử cacbon (do không tạo liên kết hidro).
    • Este có mùi thơm đặc trưng (ví dụ: isoamyl axetat có mùi chuối chín).
  • Tính chất hóa học
    • Phản ứng thủy phân
      • Trong môi trường axit (phản ứng thuận nghịch): RCOOR' + H2O ⇄ RCOOH + R'OH
      • Trong môi trường kiềm (phản ứng một chiều, còn gọi là phản ứng xà phòng hóa): RCOOR' + NaOH → RCOONa + R'OH
    • Phản ứng cháy:
      • CnH2nO2 +（3n-2 ）/2O2 → nCO2 + nH2O
        • Ví dụ: CH3COOCH=CH2 + NaOH → CH3COONa + CH3CHO
  • Điều chế: RCOOH + R'OH \xrightarrow{H_2SO_4 đ, t^o} RCOOR' + H_2O（Phản ứng este hóa, là phản ứng thuận nghịch）

• Lipit

  • Khái niệm: Lipit là chất béo, dầu mỡ động thực vật, sáp,...
    • Lipit là este phức tạp, thường là trieste của glycerol với các axit béo (triglyceride).
  • Cấu tạo:(RCOO)3C3H5 (R thường là C15H31, C17H33, C17H35).
  • Tính chất vật lý
    • Chất béo thường không tan trong nước, nhẹ hơn nước, tan trong dung môi hữu cơ.
    • Chất béo no thường là chất rắn ở nhiệt độ thường (mỡ động vật).
    • Chất béo không no thường là chất lỏng ở nhiệt độ thường (dầu thực vật).
  • Tính chất hóa học
    • Phản ứng thủy phân
      • Trong môi trường axit: (RCOO)3C3H5 + 3H2O ⇄ 3RCOOH + C3H5(OH)3
      • Trong môi trường kiềm (phản ứng xà phòng hóa): (RCOO)3C3H5 + 3NaOH → 3RCOONa + C3H5(OH)3
    • Phản ứng cộng hidro của chất béo lỏng: (C17H33COO)3C3H5 + 3H2 → (C17H35COO)3C3H5
    • Phản ứng oxi hóa: Chất béo dễ bị oxi hóa chậm trong không khí, gây ra hiện tượng ôi thiu.
      • Ứng dụng: Chế biến thực phẩm, sản xuất xà phòng và glycerol, sản xuất một số sản phẩm hóa học khác.
  • Công thức giải nhanh
    • Phản ứng thủy phân este đơn chức：nNaOH = nester, nancol = nester, mmuối + mancol=mester+mNaOH.
    • Phản ứng xà phòng hóa chất béo：nglixerol=1 /3nNaOH, mmuối + mglixerol =mchất béo + mNaOH。

Conception d'un Élément de Traction

• Les éléments de traction sont des éléments structurels soumis à des forces de traction axiales.
  • Exemples : membres de treillis, systèmes de contreventement diagonaux, câbles de ponts suspendus, tirants.

Résistance à la Conception

• La résistance à la conception des éléments de traction est la valeur la plus basse obtenue selon les états limites de plastification et de rupture.

Plastification de la Section Brute

• La résistance à la conception basée sur l'état limite de plastification sur la section brute est :
  • $P_y = F_y A_g$
  • $\phi_t = 0.90$
  • Py=résistance nominale à la limite d'élasticité F_y=contrainte minimale spécifiée à la limite d'élasticité
  • Ag=surface brute de l'élément

Rupture de la Surface Nette Effective

• La résistance à la conception basée sur l'état limite de rupture en traction sur la surface nette effective est :
  • $P_n = F_u A_e$
  • $\phi_t = 0.75$
  • Pn=résistance nominale à la traction Fu=contrainte minimale spécifiée à la traction
  • Ae=surface nette effective
  • $A_e = A_n U$
  • An=surface nette U=coefficient de réduction

Surface Nette

• La surface nette (An) est la surface brute moins les trous.

  • Pour une chaîne de trous s'étendant à travers l'élément, la largeur nette est obtenue en déduisant de la largeur de l'élément la somme des diamètres de tous les trous dans la chaîne et en ajoutant une quantité pour chaque espace de jauge dans la chaîne.

• $A_n = A_g - \sum d_h t + \sum \frac{s^2}{4g} t$

  • An=surface nette Ag=surface brute
  • t=épaisseur de la pièce connectée dh=diamètre du trou
  • s=espacement longitudinal centre à centre (pas) de deux trous consécutifs g=espacement transversal centre à centre (jauge) entre les lignes de jauge des fixations

Surface Nette Effective

• Lorsque la charge de traction est transmise directement à chacun des éléments de la section transversale par des fixations ou des soudures, la surface nette effective (Ae) est égale à la surface nette (An).
  • Lorsque la charge de traction n'est pas transmise directement à tous les éléments de la section transversale, la Spécification AISC exige que la surface nette soit réduite.
    • $A_e = A_n U$
    • Ae=surface nette effective An=surface nette
    • U=coefficient de réduction

Facteurs de Retard de Cisaillement (U)

• Lorsque la charge de traction est transmise par des fixations ou des soudures à travers certains, mais pas tous, les éléments de la section transversale d'un élément, la surface nette effective (Ae) doit être déterminée comme :

  • Ae=AnU
    • An=surface nette
    • U=1 - x̄/L
    • x̄ = distance du centroïde de la zone connectée au plan de la connexion L=longueur de la connexion dans la direction de la charge

• Si U est déjà connu, il n'est pas nécessaire de le calculer.

• Ces valeurs peuvent être trouvées dans le Tableau D3.1 du Manuel de l'Acier AISC.

Exemple

• Données : Un angle de 5 po x 3 1/2 po x 5/16 po est utilisé comme élément de traction et est connecté à une plaque à gousset avec une ligne de (4) boulons de 3/4 po de diamètre comme indiqué ci-dessous. L'acier est A36.
  • Objectif : Déterminer la résistance nominale à la traction de l'angle.
  • Solution
    • Calculer la surface brute.
      • Ag=2.57 in²
    • Calculer la surface nette.
      • An=Ag-∑dh t
      • dh=diamètre du trou = d_bolt +1/8in = 3/4po+1/8po=7/8po=0.875po
      • An=2.57in² - 1(0.875in)(5/16in) = 2.296in²
    • Calculer la Surface Nette Effective.
      • Ae=AnU
      • U=1-x̄/L
      • De la Table 1-7 du Manuel de l'Acier AISC, pour un L5 x 3 1/2 x 5/16
      • x̄=0.864in
      • L=3(3 po) = 9 po
      • U=1-0.864in/9in=0.904
      • Ae=AnU=2.296in²(0.904)=2.075in²
    • Calculer la résistance à la conception basée sur la plastification.
      • Py=FyAg=(36ksi)(2.57in²)=92.52kips
      • ϕt Py=0.90(92.52kips)=83.27kips
    • Calculer la résistance à la conception.
      • Pn=FuAe=(58ksi)(2.075in²)=120.35kips
      • ϕt Pn=0.75(120.35kips)=90.26kips
    • La résistance à la traction de l'angle est la plus petite des deux valeurs : Résistance nominale à la traction=83.27kips.

L'Équation de Champ d'Einstein

• Présentation de l'equation d'Einstein, avec mention des variables Newton, et ses équations.

La Gravité Newtonienne

• Champ d'accélération gravitationnelle g(r)

• Densité de masse ρ(r)

• ∇*g = -4πGρ

• g = -∇ϕ

• ∇²ϕ = 4πGρ

Relativité restreinte

• Introduction de la notation 4-vecteur
• Coordonnée xμ, où μ = 0, 1, 2, 3. x⁰ = ct, xi = x, y, z. (i = 1, 2, 3)
• Tenseur métrique
• 4 produit point vectoriel : A * B = A^(μ)B_(μ) = η_(μν)A^(μ)B^(ν) = -A⁰B⁰ + A¹B¹ + A²B² + A³B³ Exemple : x * x = -c²t² + x² + y² + z²

Relativité générale

• Remplacer le tenseur métrique η_(μν) par g_(μν(x). L'espace-temps est maintenant courbé.
• Remplacer les dérivées ordinaires (∂/∂x^(μ)) par une dérivée covariante ∇_(μ.)
• L'équation dynamique fondamentale est maintenant G_(μν) = 8πGT_(μν) Où :
• G_(μν) est le tenseur d'Einstein. Il décrit la courbure de l'espace-temps.
• T_(μν) est le tenseur d'énergie-impulsion. Il décrit la densité et le flux d'énergie et d'impulsion.
• G est la constante gravitationnelle de Newton.

Le tenseur d'Einstein

G_(μν) = R_(μν) - ½ g_(μν)R Où :

• R_(μν) est le tenseur de Ricci.
• R est le scalaire de Ricci.

Tesseur de Ricci

R_(μν) = R^(α)_(μαα)ν Où :

• R^(α)_(βμν) est le tenseur de Riemann.

Tesseur de Riemann

R^(α)(βμν) = ∂(μ) Γ^(α)(βν) - ∂(ν) Γ^(α)(βμ) + Γ^(α)(σμ) Γ^(σ)(βν) - Γ^(α)(σν) Γ^(σ)(βμ Où : Γ^(α)(βγ) est le symbole de Christoffel.

Le symbole de Christoffel

Γ^(α)_(βγ) = ½ g^(ασ) (∂γ g(βσ) + ∂β g(γσ) - ∂σ g(βγ))

Le tenseur d'énergie-contrainte

T^(μν) = (ρ + p/c²) u^(μ) u^(ν) + pg^(μν) Où :

• ρ est la densité de masse.
• p est la pression.
• u^(μ) = dx^(μ)/dτ est la 4-vitesse.

Espaces Vectoriels

Définition

• Un espace vectoriel est un ensemble non vide V d'objets, appelés vecteurs, sur lequel sont définies deux opérations, appelées addition et multiplication par un scalaire (nombre réel), satisfaisant les axiomes suivants :

Pour tous u, v, w dans V et tous les scalaires c et d :

• u + v est dans V
• u + v = v + u
• (u + v) + w = u + (v + w)
• Il existe un élément 0 dans V, appelé vecteur nul, tel que u + 0 = u
• Pour chaque u dans V, il existe un élément -u dans V, appelé le négatif de u, tel que u + (-u) = 0
• cu est dans V
• c(u + v) = cu + cv
• (c + d)u = cu + du
• c(du) = (cd)u
• 1u = u

Axiome et remarque

• Les axiomes 1 et 6 sont des axiomes de clôture.
• L'axiome 4 dit que V doit contenir un vecteur nul
• L'axiome 5 dit que chaque vecteur de V doit avoir un négatif.
• Le vecteur nul est unique (voir le théorème 1 ci-dessous)
• Le négatif de chaque vecteur est unique (voir le théorème 1 ci-dessous)

Exemples

• ℝⁿ est un espace vectoriel
• Que V = {0} ne contienne que le vecteur nul. Il s'agit d'un espace vectoriel.
• Soit V l'ensemble de toutes les matrices m × n. Il s'agit d'un espace vectoriel.
• Soit S l'ensemble de toutes les fonctions à valeurs réelles définies sur R. Il s'agit d'un espace vectoriel.
• Soit V = R2, avec l'addition définie comme d'habitude, mais la multiplication scalaire définie comme c(x, y) = (cx, y). Alors V n'est PAS un espace vectoriel. L'axiome 9 échoue. Par exemple, 2(3(1, 1)) = 2(3, 1) = (6, 1), mais (2 * 3)(1, 1) = 6(1, 1) = (6, 1).

théorèmes

• Soit u un vecteur de V et soit c un scalaire. Alors :
• Le vecteur nul de l'axiome 4 est unique.
• Le négatif de u dans l'axiome 5 est unique.
• 0u = 0
• c0 = 0
• -u = (-1)u

Sous-espaces

• Soit H un sous-ensemble d'un espace vectoriel V. Alors H est un sous-espace de V si H est lui-même un espace vectoriel sous les opérations définies sur V.

théorèmes

• Soit H un sous-ensemble non vide d'un espace vectoriel V. Alors H est un sous-espace de V si et seulement si les conditions suivantes sont remplies :
• Pour chaque u, v dans H, alors u + v est dans H
• Pour chaque u dans H et un scalaire c, alors cu est dans H

Remarques

• La condition 1 dit que H est fermé sous l'addition
• La condition 2 dit que H est fermé sous la multiplication scalaire.

Examples

• Soit V = R² et soit H = {(x, y) : y = 2x}. Alors H est un sous-espace de V.
• Soit V = R² et soit H = {(x, y) : y = x + 1}. Alors H n'est PAS un sous-espace de V.
• Soit V = S, l'ensemble de toutes les fonctions à valeurs réelles définies sur R, et soit H l'ensemble de toutes les fonctions différentiables. Alors H est un sous-espace de V.

Principe de Bernoulli

• Découvert par Daniel Bernoulli au XVIIIe siècle, le principe stipule que, pour un écoulement non visqueux d'un fluide non conducteur, une augmentation de la vitesse du fluide se produit simultanément avec une diminution de la pression ou une diminution de l'énergie potentielle du fluide.

Application

• Le principe de Bernoulli peut être appliqué à divers aspects de la dynamique des fluides, tels que le calcul de la force de portance sur un profil d'aile ou la compréhension du comportement des fluides dans les tuyaux.

Équation

• L'équation de Bernoulli est une expression mathématique du principe de Bernoulli, qui relie la pression, la vitesse et la hauteur d'un fluide à différents points le long d'une ligne d'écoulement :

$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$

• P est la pression du fluide.
• ρ est la densité du fluide.
• v est la vitesse du fluide.
• g est l'accélération due à la gravité.
• h est la hauteur du fluide au-dessus d'un point de référence.

Conditions

• Le principe et l'équation de Bernoulli sont basés sur certaines hypothèses concernant le fluide et l'écoulement.
  • Le fluide est non visqueux (pas de frottement interne).
  • L'écoulement est régulier (les propriétés du fluide ne changent pas avec le temps).
  • Le fluide est incompressible (la densité est constante).
  • L'écoulement se fait le long d'une ligne de courant (un chemin suivi par une particule de fluide).

Exemple

• L'exemple donné décrit un tuyau horizontal avec un étranglement et comment, selon le principe de Bernoulli, la vitesse du fluide sera plus élevée à l'endroit où le tuyau est le plus étroit, et que ladite force sur une jauge de pression montrera une lecture plus basse, qu'à un point où le tuyau est plus large.