Định nghĩa dãy số và hàm số

Podcast

Play an AI-generated podcast conversation about this lesson

Questions and Answers

Định nghĩa nào sau đây là chính xác về dãy số đơn điệu?

Dãy số mà mọi số hạng đều lớn hơn 0.

Dãy số hội tụ về 0.

Dãy số mà mỗi số hạng nhỏ hơn số hạng liền sau.

Dãy số có thể tăng hoặc giảm một cách đều đặn. (correct)

Nguyên lý hội tụ Cauchy cho dãy số phát biểu rằng:

Dãy số có giới hạn thì hội tụ.

Dãy số có các số hạng càng gần nhau thì hội tụ. (correct)

Mọi dãy số đều có giới hạn.

Dãy số đơn điệu và bị chặn luôn hội tụ.

Giới hạn của hàm số tại một điểm liên quan đến giới hạn của dãy số như thế nào?

Không có mối liên hệ giữa hai khái niệm này.

Hàm số liên tục tại điểm đó thì giới hạn dãy số hội tụ đến điểm đó. (correct)

Giới hạn dãy số là trường hợp đặc biệt của giới hạn hàm số.

Giới hạn dãy số là giới hạn trên.

Ví dụ nào sau đây thể hiện cho vô cùng bé (VCB)?

$x^2 o 0$ khi $x o 0$ Signup and view all the answers

Hàm số được xác định là liên tục tại điểm $x_0$ khi:

Giới hạn trái và phải tại $x_0$ đều tồn tại và bằng giá trị hàm số tại $x_0$. Signup and view all the answers

Định lý Cantor về tính liên tục đều áp dụng trên:

Một đoạn đóng. Signup and view all the answers

Đạo hàm phải của hàm số tại một điểm được định nghĩa là:

Giới hạn $\frac{f(x)−f(x_0)}{x−x_0}$ khi $x > x_0$. Signup and view all the answers

Định lý Fermat cho cực trị địa phương khẳng định điều gì?

Tại điểm cực trị, đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Signup and view all the answers

Định lý Rolle yêu cầu điều kiện gì?

Hàm số liên tục trên đoạn và đạo hàm trong khoảng mở của đoạn. Signup and view all the answers

Công thức Taylor áp dụng cho:

Hàm số khả vi nhiều lần. Signup and view all the answers

Tiêu chuẩn khả tích của một hàm số dựa trên điều gì?

Hàm liên tục và bị chặn. Signup and view all the answers

Công thức đổi biến tích phân có dạng nào?

∫a^b f(g(x)) g'(x) dx Signup and view all the answers

Công thức Newton-Leibniz phát biểu rằng gì?

Giá trị tích phân là chênh lệch giá trị nguyên hàm tại cận trên và dưới. Signup and view all the answers

Công thức tính diện tích hình phẳng sử dụng tích phân nào?

Tích phân của |f(x) - g(x)|. Signup and view all the answers

Tích phân suy rộng loại 1 định nghĩa trên miền nào?

Một đoạn có ít nhất một cận vô hạn. Signup and view all the answers

Dấu hiệu so sánh cho tích phân suy rộng dựa trên yếu tố nào?

Mối quan hệ giữa hàm cần tích phân và một hàm chuẩn. Signup and view all the answers

Ví dụ nào dưới đây là công thức tích phân từng phần?

∫u dv = uv - ∫v du Signup and view all the answers

Hàm nào dưới đây không phải là điều kiện để tích phân tồn tại?

Hàm đơn điệu. Signup and view all the answers

Công thức tính tích phân nào là đúng với hàm liên tục?

∫a^b f(x)dx = F(b) - F(a). Signup and view all the answers

Hàm nào dưới đây có thể tích phân trên mọi miền?

Hàm số khả vi nhiều lần. Signup and view all the answers

Study Notes

Định nghĩa và khái niệm cơ bản về dãy số và hàm số

Dãy số đơn điệu: Dãy số mà có thể tăng hoặc giảm một cách đều đặn. Không phải mỗi số hạng đều lớn hơn số hạng liền sau.
Nguyên lý hội tụ Cauchy: Dãy số hội tụ nếu các số hạng càng gần nhau. Đây không phải là điều kiện đủ cho mọi dãy số.
Giới hạn hàm số và dãy số: Giới hạn dãy số là một trường hợp đặc biệt của giới hạn hàm số. Giới hạn hàm số tại một điểm liên quan đến giới hạn dãy số bằng cách mà dãy số hội tụ đến điểm đó khi các phần tử trong dãy tiến gần đến điểm đó. Hàm số liên tục tại một điểm khi giới hạn dãy số hội tụ đến giá trị của hàm số tại điểm đó.
Vô cùng bé (VCB): Ví dụ về VCB là 𝑥^2 tiến về 0 khi 𝑥 tiến về 0.
Hàm số liên tục: Hàm số liên tục tại một điểm khi giới hạn trái và phải tại điểm đó tồn tại và bằng giá trị của hàm số tại điểm đó.

Định lý và phương pháp liên quan đến tính chất của hàm số

Định lý Cantor (tính liên tục đều): Áp dụng trên đoạn đóng.
Đạo hàm phải: Giới hạn của hiệu số hạng khi biến số tiến về giá trị của điểm đó từ phía bên phải.
Định lý Fermat (cực trị địa phương): Tại điểm cực trị, đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định. Điều kiện cần là hàm số phải liên tục tại điểm đó.
Định lý Rolle: Hàm số phải liên tục trên đoạn và có đạo hàm trong khoảng mở của đoạn. Giá trị đầu và cuối đoạn phải khác nhau.
Công thức Taylor: Áp dụng cho hàm số khả vi nhiều lần.
Công thức L'Hôpital: Sử dụng cho giới hạn dạng 0/0.

Nguyên hàm và tích phân

Nguyên hàm: Hàm số có đạo hàm bằng hàm số đã cho.
Công thức đổi biến tích phân: ∫ 𝑎 𝑏 f(g(x))g'(x) dx. Đây là công thức cơ bản để đổi biến trong tích phân.
Tiêu chuẩn khả tích: Hàm số liên tục và bị chặn trên miền tích phân.
Công thức Newton-Leibniz: Giá trị tích phân bằng chênh lệch giá trị nguyên hàm tại cận trên và cận dưới.
Diện tích hình phẳng: Tích phân của |f(x) - g(x)| trong khoảng cần tính diện tích.
Tích phân suy rộng loại 1: Tích phân trên một đoạn có ít nhất một cận vô hạn.
Tích phân suy rộng loại 2: Tích phân trên một miền mà hàm số không liên tục tại một điểm trong đoạn hay không bị chặn.
Công thức tích phân từng phần: ∫udv = uv - ∫vdu.
Dấu hiệu so sánh tích phân suy rộng: So sánh hàm số cần tích phân với một hàm chuẩn để xác định tính hội tụ của tích phân suy rộng.

Studying That Suits You

Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.

Description

Quiz này giúp bạn hiểu rõ các khái niệm cơ bản về dãy số và hàm số, bao gồm dãy số đơn điệu, nguyên lý hội tụ Cauchy, và hàm số liên tục. Tìm hiểu về giới hạn và đặc điểm quan trọng của các hàm số thông qua các định lý liên quan.