Dijkstra-Algorithmus: Kürzeste Pfade im Graphen

Dijkstra-Algorithmus

Einführung

• Der Dijkstra-Algorithmus dient zur Berechnung der kürzesten Pfade von einem Startknoten zu allen anderen Knoten innerhalb eines Graphen.
• Er wurde 1956 von Edsger W. Dijkstra entwickelt.

Eigenschaften

• Löst das Single-Source Shortest Path (SSSP) Problem, indem er die kürzesten Pfade von einem Ausgangsknoten zu allen anderen findet.
• Ist für nicht-negative Kantengewichte geeignet.
• Kann sowohl auf gerichtete als auch auf ungerichtete Graphen angewendet werden.

Notation

• $G = (V, E)$ steht für einen Graphen, wobei $V$ die Menge der Knoten und $E$ die Menge der Kanten darstellt.
• $w(u, v)$ bezeichnet das Gewicht der Kante, die von Knoten $u$ zu Knoten $v$ führt.
• $d(v)$ ist die aktuelle Distanz vom Startknoten zum Knoten $v$.
• $p(v)$ ist der Vorgänger von Knoten $v$ auf dem kürzesten Pfad vom Startknoten.
• $Q$ ist die Menge der noch nicht besuchten Knoten.

Algorithmus

• Initialisierung: Setze die Distanz des Startknotens auf 0 und die Distanz aller anderen Knoten auf unendlich.
• Setze den Vorgänger jedes Knotens auf Null und füge alle Knoten zur Menge Q hinzu.
• Iteration: Solange Q nicht leer ist, wähle den Knoten u aus Q mit der geringsten Distanz d(u).
• Entferne u aus Q und überprüfe für jeden Nachbarn v von u, ob der Pfad über u kürzer ist als der bisher bekannte Pfad zu v.
• Wenn $d(u) + w(u, v) < d(v)$ ist, aktualisiere $d(v)$ und setze $p(v) = u$.

Ergebnisse

• Der Algorithmus liefert die kürzesten Distanzen $d(v)$ von einem Startknoten zu allen anderen Knoten $v$ im Graphen.
• Außerdem werden die Vorgänger $p(v)$ für jeden Knoten gespeichert, wodurch der kürzeste Pfad rekonstruiert werden kann.

Zusammenfassung

• Der Dijkstra-Algorithmus ermittelt effizient die kürzesten Pfade von einem Startknoten zu allen anderen in einem Graphen mit nicht-negativen Kantengewichten.

Bernoulli-Prinzip

Definition

• Das Bernoulli-Prinzip besagt, dass eine Erhöhung der Geschwindigkeit eines Fluids gleichzeitig mit einer Abnahme des Drucks oder einer Abnahme der potenziellen Energie des Fluids einhergeht.

Bernoulli-Gleichung

• Die Gleichung lautet: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
  • $P$ steht für den absoluten Druck des Fluids.
  • $v$ ist die Strömungsgeschwindigkeit des Fluids an einem Punkt entlang der Stromlinie.
  • $h$ ist die Höhe des Punkts über einer Referenzebene.
  • $\rho$ ist die Dichte des Fluids.
  • $g$ ist die Erdbeschleunigung.

Annahmen

• Das Fluid ist inkompressibel und nichtviskos.
• Die Strömung ist stationär und entlang einer Stromlinie.

Anwendungen

• Flugzeuge: Erzeugung von Auftrieb durch unterschiedliche Luftströmungsgeschwindigkeiten über und unter den Flügeln.
• Vergaser: Ansaugen von Kraftstoff in den Motor durch schneller strömende Luft im Venturi-Rohr.
• Parfümzerstäuber: Versprühen von Parfüm durch Unterdruck, der durch Luftstrom über einem Röhrchen erzeugt wird.

3D-gedruckter Roboterarm als Lehrmittel

Titel

• Ein kostengünstiger, 3D-gedruckter Roboterarm als Lehrmittel für Gymnasien.

Autoren

• Álvaro Goñi-Morales, Andrés Peña-Toro, Ricardo Bustos-Salas, Carlos S chindler-Katz

Abstract

• Die Arbeit präsentiert den Entwurf, die Konstruktion und die Evaluierung eines kostengünstigen Open-Source 3D-gedruckten Roboterarms als Lehrmittel für Gymnasien.
• Der Roboterarm wurde mit kostengünstigen Materialien und 3D-Drucktechnologie entworfen.
• Die Ergebnisse zeigen, dass der Roboterarm ein wertvolles Werkzeug für den Unterricht von MINT-Konzepten in Gymnasien ist.
• Er ist erschwinglich, einfach zu montieren und kann in verschiedenen Bildungsaktivitäten eingesetzt werden.
• Keywords: 3D-Druck, Roboterarm, Bildung, MINT.

Einführung

• Robotik ist ein multidisziplinäres Gebiet, das Schüler dazu anregt, sich mit Naturwissenschaften, Technik, Ingenieurwesen und Mathematik (MINT) zu beschäftigen.
• Ein Weg, die Kosten für Robotik zu senken, ist die Verwendung von 3D-Druck.

Verwandte Arbeiten

• Der MeArm ist ein kostengünstiger Roboterarm, der für Bildungszwecke entwickelt wurde und aus lasergeschnittenen Acrylteilen besteht und von einer Arduino-Platine gesteuert wird.
• Der Dobot Magician ist ein kostengünstiger Roboterarm, der für den Desktop-Einsatz entwickelt wurde und aus Aluminium besteht und von einem Computer gesteuert wird.
• Ziel dieser Arbeit ist es, einen kostengünstigen Roboterarm vorzustellen, der mit 3D-Drucktechnologie und kostengünstigen Materialien gebaut werden kann, mit Kosten von nicht mehr als 150 USD.

Beiträge

• Ein kostengünstiger 3D-gedruckter Roboterarm-Entwurf.
• Ein einfach zu montierender Roboterarm-Konstruktionsprozess.
• Eine Evaluierung des Roboterarms als Lehrmittel in Gymnasien.

Materialien und Methoden

• Der Roboterarm wurde unter Verwendung von Fusion 360, einer CAD-Software, entworfen.
• Der Roboterarm besteht aus fünf Hauptteilen: Basis, Schulter, Arm, Ellbogen, Unterarm, Handgelenk und Hand.
• Der Roboterarm wird von einer Arduino-Platine gesteuert und verwendet vier Servomotoren.

Design

• Der Roboterarm wurde modular aufgebaut, um eine einfache Anpassung und Modifikation zu ermöglichen.
• Der Roboterarm ist 40 cm hoch und hat eine Reichweite von 30 cm. Er kann ein maximales Gewicht von 100 Gramm heben.

Konstruktion

• Der Roboterarm wurde mit einem 3D-Drucker gebaut.
• Die Teile wurden mit PLA-Filament gedruckt.
• Die Gesamtkosten für die 3D-gedruckten Teile betrugen ungefähr $50 USD.

Elektronik

• Die elektronischen Komponenten des Roboterarms sind: Arduino Uno Rev3, 4x Tower Pro MG996R Servomotoren, Netzteil 5V 2A, Drähte und Stecker.
• Der Roboterarm wird von einer Arduino Uno Rev3 Platine gesteuert.

Software

• Der Roboterarm wurde mit der Arduino IDE programmiert.

Experimenteller Aufbau

• Der Roboterarm wurde in einem Gymnasium evaluiert.
• Die Schüler wurden in Vierergruppen aufgeteilt.
• Jede Gruppe erhielt einen Roboterarm und eine Reihe von Anweisungen.
• Die Schüler wurden gebeten, den Roboterarm zu montieren und ihn so zu programmieren, dass er eine bestimmte Aufgabe ausführt.
• Die Aufgabe bestand darin, einen kleinen Gegenstand aufzunehmen und ihn an einen anderen Ort zu bewegen.

Ergebnisse

• Die Ergebnisse der Evaluierung zeigten, dass der Roboterarm ein wertvolles Werkzeug für den Unterricht von MINT-Konzepten in Gymnasien ist.
• Die Schüler konnten den Roboterarm montieren, ihn so programmieren, dass er die Aufgabe ausführt und als Team arbeiten.
• Die Gesamtkosten des Roboterarms betragen ca. $140 USD.

Zukünftige Arbeit

• Hinzufügen weiterer Freiheitsgrade zum Roboterarm.
• Verbesserung der Genauigkeit und Präzision des Roboterarms.
• Entwicklung einer grafischen Benutzeroberfläche (GUI) für den Roboterarm.
• Hinzufügen von Sensoren zum Roboterarm, damit er seine Umgebung wahrnehmen kann.

Diskussion

• Die Entwicklung eines kostengünstigen 3D-gedruckten Roboterarms stellt ein erschwingliches und zugängliches Lehrmittel für Gymnasien dar.
• Der Roboterarm bietet praktische Erfahrungen beim Zusammenbau und bei der Programmierung, wodurch die MINT-Bildung gefördert und Schüler dazu angeregt werden, sich mit Robotik zu beschäftigen.
• Darüber hinaus fördert die Open-Source-Natur des Designs und der Software die Zusammenarbeit und Anpassung.

Einschränkungen

• Der Roboterarm hat einige Einschränkungen: er kann ein maximales Gewicht von 100 Gramm heben, und seine Genauigkeit und Präzision müssen verbessert werden.

Schlussfolgerungen

• Dieser Artikel stellte den Entwurf, die Konstruktion und die Evaluierung eines kostengünstigen 3D-gedruckten Roboterarms als Lehrmittel für Gymnasien vor.
• Die Entwicklung dieses Roboterarms ermöglicht ein praktisches Experimentieren und fördert ein tieferes Verständnis der technischen Konzepte.

Der Dijkstra-Algorithmus berechnet die kürzesten Pfade von einem Startknoten zu allen anderen Knoten in einem Graphen. Er ist geeignet für nicht-negative Kantengewichte und kann auf gerichtete sowie ungerichtete Graphen angewendet werden. Der Algorithmus löst das Single-Source Shortest Path (SSSP) Problem.