Диференціальне числення: Похідні

Study Notes

Визначення похідної

Похідна функції - це межа відношення зміни функції до зміни аргументу, коли зміна аргументу прямує до нуля.
Для функції f(x) похідна позначається f'(x) або df/dx.
Формально, похідна визначається як:
- ( f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} )

Правила диференціювання

Основні правила:
- Похідна константи: ( (c)' = 0 )
- Лінійність: ( (af + bg)' = af' + bg' )
Правила для степеневих функцій:
- ( (x^n)' = nx^{n-1} )
Правила для добутків:
- Правило добутку: ( (uv)' = u'v + uv' )
Правила для часток:
- Правило частки: ( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} )
Ланцюгове правило:
- ( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) )

Застосування похідних

Знаходження екстремумів: Похідні використовуються для визначення точок максимума та мінімуму функції, нули похідної вказують на можливі екстремуми.
Аналіз змінності: Знаходження знака похідної допомагає визначити, де функція зростає або спадає.
Вирішення задач на оптимізацію: Похідні використовуються для знаходження оптимальних значень в економіці, техніці тощо.
Кривизна графіка: Друга похідна підказує про опуклість або увігнутість графіка функції.

Графіки функцій

Залежність між похідною та графіком:
- Якщо f'(x) > 0, то f(x) зростає на інтервалі.
- Якщо f'(x) < 0, то f(x) спадає.
- Якщо f'(x) = 0, може бути максимум, мінімум або точка повернення (інфлексії).
Графіки похідних:
- Функція похідної може бути використана для візуалізації поведінки оригінальної функції.
- Кросування осі X графіком похідної вказує на зміни в зростанні або спаданні функції.

Визначення похідної

Похідна функції - це межа відношення зміни функції до зміни аргументу, коли зміна аргументу прямує до нуля.
Позначається f'(x) або df/dx.
Формула похідної: ( f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} )

Правила диференціювання

Основні правила:
- Похідна константи: ( (c)' = 0 )
- Лінійність: ( (af + bg)' = af' + bg' )
Правила для степеневих функцій:
- ( (x^n)' = nx^{n-1} )
Правила для добутків:
- Правило добутку: ( (uv)' = u'v + uv' )
Правила для часток:
- Правило частки: ( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} )
Ланцюгове правило:
- ( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) )

Застосування похідних

Допомагають знайти екстремуми (максимуми та мінімуми) функції.
Нулі похідної вказують на можливі екстремуми.
Допомагають визначити, де функція зростає або спадає.
Використовуються для знаходження оптимальних значень в різних сферах (економіка, техніка).
Друга похідна вказує на опуклість або увігнутість графіку функції.

Графіки функцій

Залежність між похідною та графіком:
- Якщо f'(x) > 0, то f(x) зростає на інтервалі.
- Якщо f'(x) < 0, то f(x) спадає.
- Якщо f'(x) = 0, може бути максимум, мінімум або точка повернення (інфлексії).
Графіки похідних:
- Графік похідної відображає поведінку оригінальної функції.
- Перетинання осі X графіком похідної вказує на зміни в зростанні або спаданні функції.

Description

Цей тест охоплює визначення, правила та застосування похідних у диференціальному численні. Ви дізнаєтеся про основні правила диференціювання, включаючи ланцюгове правило та застосування похідних для знаходження екстремумів функцій.