Podcast
Questions and Answers
Що таке похідна функції?
Що таке похідна функції?
- Межа відношення зміни функції до зміни аргументу, коли зміна аргументу прямує до нуля. (correct)
- Обчислення значення функції в точці.
- Різниця між максимальним і мінімальним значенням функції.
- Система рівнянь, що описує функцію.
Яке з наведених правил вірне для похідної степеневої функції?
Яке з наведених правил вірне для похідної степеневої функції?
- $(x^n)' = nx^{n-1}$ (correct)
- $(x^n)' = n/x^{n-1}$
- $(x^n)' = nx^n$
- $(x^n)' = nx^{n+1}$
Яке правило використовується для обчислення похідної добутку двох функцій?
Яке правило використовується для обчислення похідної добутку двох функцій?
- $ (uv)' = u'v + uv' $ (correct)
- $ (uv)' = uv' - u'v $
- $ (uv)' = u' + v' $
- $ (uv)' = uv $
Як похідні допомагають у знаходженні екстремумів функції?
Як похідні допомагають у знаходженні екстремумів функції?
Яка інформація повідомляє про поведінку графіка функції за похідною?
Яка інформація повідомляє про поведінку графіка функції за похідною?
Яка з наведених формул є формулою ланцюгового правила?
Яка з наведених формул є формулою ланцюгового правила?
Яке з тверджень вірне стосовно другої похідної?
Яке з тверджень вірне стосовно другої похідної?
Який із наступних варіантів не є частиною основних правил диференціювання?
Який із наступних варіантів не є частиною основних правил диференціювання?
Який вигляд має похідна сталого функціонала?
Який вигляд має похідна сталого функціонала?
Study Notes
Визначення похідної
- Похідна функції - це межа відношення зміни функції до зміни аргументу, коли зміна аргументу прямує до нуля.
- Для функції f(x) похідна позначається f'(x) або df/dx.
- Формально, похідна визначається як:
- ( f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} )
Правила диференціювання
-
Основні правила:
- Похідна константи: ( (c)' = 0 )
- Лінійність: ( (af + bg)' = af' + bg' )
-
Правила для степеневих функцій:
- ( (x^n)' = nx^{n-1} )
-
Правила для добутків:
- Правило добутку: ( (uv)' = u'v + uv' )
-
Правила для часток:
- Правило частки: ( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} )
-
Ланцюгове правило:
- ( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) )
Застосування похідних
- Знаходження екстремумів: Похідні використовуються для визначення точок максимума та мінімуму функції, нули похідної вказують на можливі екстремуми.
- Аналіз змінності: Знаходження знака похідної допомагає визначити, де функція зростає або спадає.
- Вирішення задач на оптимізацію: Похідні використовуються для знаходження оптимальних значень в економіці, техніці тощо.
- Кривизна графіка: Друга похідна підказує про опуклість або увігнутість графіка функції.
Графіки функцій
-
Залежність між похідною та графіком:
- Якщо f'(x) > 0, то f(x) зростає на інтервалі.
- Якщо f'(x) < 0, то f(x) спадає.
- Якщо f'(x) = 0, може бути максимум, мінімум або точка повернення (інфлексії).
-
Графіки похідних:
- Функція похідної може бути використана для візуалізації поведінки оригінальної функції.
- Кросування осі X графіком похідної вказує на зміни в зростанні або спаданні функції.
Визначення похідної
- Похідна функції - це межа відношення зміни функції до зміни аргументу, коли зміна аргументу прямує до нуля.
- Позначається f'(x) або df/dx.
- Формула похідної: ( f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} )
Правила диференціювання
- Основні правила:
- Похідна константи: ( (c)' = 0 )
- Лінійність: ( (af + bg)' = af' + bg' )
- Правила для степеневих функцій:
- ( (x^n)' = nx^{n-1} )
- Правила для добутків:
- Правило добутку: ( (uv)' = u'v + uv' )
- Правила для часток:
- Правило частки: ( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} )
- Ланцюгове правило:
- ( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) )
Застосування похідних
- Допомагають знайти екстремуми (максимуми та мінімуми) функції.
- Нулі похідної вказують на можливі екстремуми.
- Допомагають визначити, де функція зростає або спадає.
- Використовуються для знаходження оптимальних значень в різних сферах (економіка, техніка).
- Друга похідна вказує на опуклість або увігнутість графіку функції.
Графіки функцій
- Залежність між похідною та графіком:
- Якщо f'(x) > 0, то f(x) зростає на інтервалі.
- Якщо f'(x) < 0, то f(x) спадає.
- Якщо f'(x) = 0, може бути максимум, мінімум або точка повернення (інфлексії).
- Графіки похідних:
- Графік похідної відображає поведінку оригінальної функції.
- Перетинання осі X графіком похідної вказує на зміни в зростанні або спаданні функції.
Studying That Suits You
Use AI to generate personalized quizzes and flashcards to suit your learning preferences.
Description
Цей тест охоплює визначення, правила та застосування похідних у диференціальному численні. Ви дізнаєтеся про основні правила диференціювання, включаючи ланцюгове правило та застосування похідних для знаходження екстремумів функцій.
