Диференціальне числення: Похідні

Визначення похідної

• Похідна функції - це межа відношення зміни функції до зміни аргументу, коли зміна аргументу прямує до нуля.
• Для функції f(x) похідна позначається f'(x) або df/dx.
• Формально, похідна визначається як:
  • ( f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} )

Правила диференціювання

1. Основні правила:

   • Похідна константи: ( (c)' = 0 )
   • Лінійність: ( (af + bg)' = af' + bg' )

2. Правила для степеневих функцій:

   • ( (x^n)' = nx^{n-1} )

3. Правила для добутків:

   • Правило добутку: ( (uv)' = u'v + uv' )

4. Правила для часток:

   • Правило частки: ( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} )

5. Ланцюгове правило:

   • ( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) )

Застосування похідних

• Знаходження екстремумів: Похідні використовуються для визначення точок максимума та мінімуму функції, нули похідної вказують на можливі екстремуми.
• Аналіз змінності: Знаходження знака похідної допомагає визначити, де функція зростає або спадає.
• Вирішення задач на оптимізацію: Похідні використовуються для знаходження оптимальних значень в економіці, техніці тощо.
• Кривизна графіка: Друга похідна підказує про опуклість або увігнутість графіка функції.

Графіки функцій

• Залежність між похідною та графіком:

  • Якщо f'(x) > 0, то f(x) зростає на інтервалі.
  • Якщо f'(x) < 0, то f(x) спадає.
  • Якщо f'(x) = 0, може бути максимум, мінімум або точка повернення (інфлексії).

• Графіки похідних:

  • Функція похідної може бути використана для візуалізації поведінки оригінальної функції.
  • Кросування осі X графіком похідної вказує на зміни в зростанні або спаданні функції.

Визначення похідної

• Похідна функції - це межа відношення зміни функції до зміни аргументу, коли зміна аргументу прямує до нуля.
• Позначається f'(x) або df/dx.
• Формула похідної: ( f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} )

Правила диференціювання

• Основні правила:
  • Похідна константи: ( (c)' = 0 )
  • Лінійність: ( (af + bg)' = af' + bg' )
• Правила для степеневих функцій:
  • ( (x^n)' = nx^{n-1} )
• Правила для добутків:
  • Правило добутку: ( (uv)' = u'v + uv' )
• Правила для часток:
  • Правило частки: ( \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} )
• Ланцюгове правило:
  • ( (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x) )

Застосування похідних

• Допомагають знайти екстремуми (максимуми та мінімуми) функції.
• Нулі похідної вказують на можливі екстремуми.
• Допомагають визначити, де функція зростає або спадає.
• Використовуються для знаходження оптимальних значень в різних сферах (економіка, техніка).
• Друга похідна вказує на опуклість або увігнутість графіку функції.

Графіки функцій

• Залежність між похідною та графіком:
  • Якщо f'(x) > 0, то f(x) зростає на інтервалі.
  • Якщо f'(x) < 0, то f(x) спадає.
  • Якщо f'(x) = 0, може бути максимум, мінімум або точка повернення (інфлексії).
• Графіки похідних:
  • Графік похідної відображає поведінку оригінальної функції.
  • Перетинання осі X графіком похідної вказує на зміни в зростанні або спаданні функції.