Diferansiyel Denklemler

Differential Equations

First-order Differential Equations

• Definition: An equation involving the first derivative of a function.
• General Form: ( y' = f(x, y) )
• Types:
  • Separable:
    • Can be written as ( g(y)dy = h(x)dx ).
    • Solve by integrating both sides.
  • Linear:
    • Takes the form ( y' + p(x)y = q(x) ).
    • Use an integrating factor, ( μ(x) = e^{\int p(x)dx} ).
  • Exact:
    • Form ( M(x,y) + N(x,y) \frac{dy}{dx} = 0 ) must satisfy the condition ( \frac{∂M}{∂y} = \frac{∂N}{∂x} ).
    • Solve by finding a potential function ( φ(x, y) ).
• Applications: Models population growth, radioactive decay, and cooling laws.

Second-order Differential Equations

• Definition: An equation involving the second derivative of a function.
• General Form: ( y'' = f(x, y, y') )
• Types:
  • Linear:
    • Standard form: ( a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = g(x) ).
    • Can be homogeneous (( g(x) = 0 )) or non-homogeneous.
  • Homogeneous:
    • Characteristic equation derived from substituting ( y = e^{rx} ).
    • Roots determine the form of the general solution.
  • Non-homogeneous:
    • Use the method of undetermined coefficients or variation of parameters to find a particular solution.
• Applications: Employed in mechanics, electrical circuits, and vibrations analysis.

Birinci Dereceden Diferansiyel Denklemler

• Tanım: Bir fonksiyonun birinci türevinin yer aldığı denklemlerdir.
• Genel Form: ( y' = f(x, y) )
• Türleri:
  • Ayrılabilir: ( g(y)dy = h(x)dx ) şeklinde yazılabilir.
    • Her iki tarafı integral alarak çözülebilir.
  • Doğrusal: ( y' + p(x)y = q(x) ) biçimindedir.
    • ( μ(x) = e^{\int p(x)dx} ) gibi bir entegre edici faktör kullanılır.
  • Tam: ( M(x,y) + N(x,y) \frac{dy}{dx} = 0 ) şeklindedir ve ( \frac{∂M}{∂y} = \frac{∂N}{∂x} ) koşulunu sağlamalıdır.
    • ( φ(x, y) ) gibi bir potansiyel fonksiyon bulunarak çözülür.
  • Uygulamaları: Nüfus artışı, radyoaktif bozunma ve soğuma yasalarını modellemede kullanılır.

İkinci Dereceden Diferansiyel Denklemler

• Tanım: Bir fonksiyonun ikinci türevinin yer aldığı denklemlerdir.
• Genel Form: ( y'' = f(x, y, y') )
• Türleri:
  • Doğrusal:
    • Standart form: ( a(x)y'' + b(x)y' + c(x)y = g(x) )
    • Homojen (( g(x) = 0 )) veya homojen olmayan olabilir.
  • Homojen:
    • ( y = e^{rx} ) yerine koyma ile karakteristik denklem türetilir.
    • Kökler genel çözümün formunu belirler.
  • Homojen Olmayan:
    • Özel bir çözüm bulmak için belirsiz katsayılar veya varyasyonlar yöntemi kullanılır.
  • Uygulamaları: Mekanik, elektrik devreleri ve titreşim analizi gibi alanlarda kullanılır.

Bu test, birinci ve ikinci dereceden diferansiyel denklemler hakkında temel bilgileri içerir. Sezilebilir, doğrusal ve tam denklemleri öğrenerek, uygulama alanlarını keşfedeceksiniz. Kendi çözümlerinizi geliştirmek için gerekli kavramları kavrayın.