RZG

Die Schrödinger-Gleichung

• Die Schrödinger-Gleichung beschreibt das Verhalten von Teilchen in der Quantenmechanik.

Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung

• Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung wird verwendet, um die zeitliche Entwicklung der Wellenfunktion eines Teilchens zu bestimmen: $$ i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\Psi(x,t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x,t) \right] \Psi(x,t) $$

  • $\Psi(x,t)$ ist die Wellenfunktion des Teilchens.
  • $V(x,t)$ ist die Funktion der potentiellen Energie.

Zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung

• Die zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung wird für stationäre Zustände verwendet: $$ E\psi(x) = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) + V(x)\psi(x) $$

  • $\psi(x)$ ist die zeitunabhängige Wellenfunktion.
  • $E$ ist die Energie des Teilchens.

Freies Teilchen

• Für ein freies Teilchen gilt $V(x) = 0$. $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi(x) = E\psi(x) $$

  • Die allgemeine Lösung ist: $$ \psi(x) = A e^{ikx} + B e^{-ikx} $$

    • $k = \frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}$
    • A, B sind Konstanten.

Teilchen im Kasten

• Potentielle Energie: $V(x) = \begin{cases} 0, & 0 < x < a \ \infty, & \text{sonst} \end{cases}$

• Die Wellenfunktion ist: $$ \psi(x) = \begin{cases} A \sin(kx) + B \cos(kx), & 0 < x < a \ 0, & \text{sonst} \end{cases} $$

  • Randbedingungen:
    • $\psi(0) = 0 \implies B = 0$
    • $\psi(a) = 0 \implies A \sin(ka) = 0$
    • $ka = n\pi, \quad n = 1, 2, 3,...$
    • $k = \frac{n\pi}{a}$
    • $E_n = \frac{\hbar^2 k^2}{2m} = \frac{\hbar^2 \pi^2}{2ma^2}n^2 = \frac{h^2}{8ma^2}n^2$
    • Die normalisierte Wellenfunktion ist: $$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right) $$

Harmonischer Oszillator

• Potentielle Energie eines harmonischen Oszillators: $V(x) = \frac{1}{2}m\omega^2 x^2$
• Energieniveaus des harmonischen Oszillators sind quantisiert: $$ E_n = \left(n + \frac{1}{2}\right)\hbar\omega; \quad n = 0, 1, 2, 3,... $$

Beispiel

• Elektron in einem Kasten der Breite $a = 1 \text{ Å} = 10^{-10} \text{ m}$: $$ \begin{aligned} &E_1 = \frac{h^2}{8ma^2}(1)^2 = \frac{(6.626 \times 10^{-34} \text{ Js})^2}{8(9.109 \times 10^{-31} \text{ kg})(10^{-10} \text{ m})^2} \ &= 6.024 \times 10^{-18} \text{ J} \ &= \frac{6.024 \times 10^{-18} \text{ J}}{1.602 \times 10^{-19} \text{ J/eV}} = 37.6 \text{ eV} \end{aligned} $$

Matrizen

• Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema von Zahlen oder Symbolen.
• Matrizen werden verwendet, um lineare Transformationen darzustellen, lineare Gleichungssysteme zu lösen und andere mathematische Operationen durchzuführen.

Notation

• Matrizen werden üblicherweise mit Großbuchstaben wie $A$, $B$ oder $C$ bezeichnet.
• Die Elemente einer Matrix werden durch Kleinbuchstaben mit Indizes bezeichnet, die ihre Zeilen- und Spaltenposition angeben, z. B. $a_{ij}$, wobei $i$ die Zeilennummer und $j$ die Spaltennummer ist.
• Die Größe einer Matrix wird durch die Anzahl der Zeilen und Spalten angegeben, geschrieben als $m \times n$, wobei $m$ die Anzahl der Zeilen und $n$ die Anzahl der Spalten ist.

Beispiel

$$ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} $$

Typen von Matrizen

• Quadratische Matrix: Eine Matrix mit der gleichen Anzahl von Zeilen und Spalten (d. h. $m = n$).
• Zeilenmatrix: Eine Matrix mit nur einer Zeile (d. h. $1 \times n$).
• Spaltenmatrix: Eine Matrix mit nur einer Spalte (d. h. $m \times 1$).
• Nullmatrix: Eine Matrix, in der alle Elemente Null sind.
• Einheitsmatrix: Eine quadratische Matrix mit Einsen auf der Hauptdiagonalen und Nullen anderswo. Bezeichnet mit $I$. $$ I = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \ 0 & 1 & \cdots & 0 \ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{bmatrix} $$
• Diagonalmatrix: Eine quadratische Matrix, in der alle Nicht-Diagonalelemente Null sind.

Matrixoperationen

• Addition und Subtraktion: Matrizen können addiert oder subtrahiert werden, wenn sie die gleichen Dimensionen haben. Die Operation wird elementweise durchgeführt. $$ (A + B){ij} = a{ij} + b_{ij} $$
• Skalarmultiplikation: Das Multiplizieren einer Matrix mit einem Skalar beinhaltet das Multiplizieren jedes Elements der Matrix mit dem Skalar. $$ (cA){ij} = c \cdot a{ij} $$
• Matrixmultiplikation: Das Produkt zweier Matrizen $A$ ($m \times n$) und $B$ ($n \times p$) ist eine Matrix $C$ ($m \times p$), wobei $$ c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \cdot b_{kj} $$

Transponierte einer Matrix

• Die Transponierte einer Matrix $A$, bezeichnet als $A^T$, wird durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von $A$ erhalten. $$ (A^T){ij} = a{ji} $$

Inverse einer Matrix

• Die Inverse einer quadratischen Matrix $A$, bezeichnet als $A^{-1}$, ist eine Matrix, so dass: $$ A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I $$
  • Nur quadratische Matrizen, die nicht-singulär sind (d. h. eine Determinante ungleich Null haben), haben eine Inverse.

Determinante einer Matrix

• Die Determinante einer quadratischen Matrix ist ein Skalarwert, der aus den Elementen der Matrix berechnet werden kann und bestimmte Eigenschaften der Matrix verschlüsselt.
  • Die Determinante einer Matrix $A$ wird als $\det(A)$ oder $|A|$ bezeichnet.
• Für eine $2 \times 2$-Matrix: $$ A = \begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix} $$ $$ \det(A) = ad - bc $$

Anwendungen

• Lineare Algebra: Lösen von linearen Gleichungssystemen.
• Computergrafik: Transformationen von Bildern und Objekten.
• Physik: Darstellung physikalischer Größen und Transformationen.
• Datenanalyse: Speichern und Manipulieren von Daten.

Kurzanleitung zum Verfassen von Antworten für Essayfragen

• Bestimme, welche Art von Essay verlangt wird (argumentativ, expositorisch, analytisch).
• Verstehe die Frage gründlich: Lies sie sorgfältig, identifiziere Schlüsselwörter und paraphrasiere die Frage.
• Erstelle eine Thesis: Die Thesis ist die Hauptidee deines Essays und sollte klar, prägnant und fokussiert sein.
  • Um eine Thesis zu erstellen: Beantworte die Frage, sei spezifisch und präsentiere ein Argument.
• Schreibe den Essay:
  • Einleitung: Beginne mit einem interessanten Satz, präsentiere das Thema und erkläre die Thesis.
  • Entwicklungsparagraphen: Beginne mit einem Themensatz, präsentiere Beweise, erkläre die Beweise und verbinde die Beweise mit der Thesis.
  • Schlussfolgerung: Paraphrasiere die Thesis, fasse die Hauptpunkte zusammen und hinterlasse dem Leser eine abschließende Idee.
• Überprüfe den Essay: Ergibt der Essay Sinn? Ist die Thesis klar? Ist der Essay gut organisiert? Gibt es Grammatik- oder Rechtschreibfehler?
• Zusätzliche Tipps: Verwende eine klare und prägnante Sprache, vermeide Jargon und Redundanzen, zitiere die Quellen korrekt und bitte jemanden, den Essay zu überprüfen.

Klassifikationsalgorithmen

• Klassifikation ist eine überwachte Lernaufgabe, bei der die Klasse einer neuen Beobachtung anhand eines Satzes von gekennzeichneten Beobachtungen vorhergesagt wird.

Arten von Klassifikationsalgorithmen

• Es gibt viele verschiedene Klassifikationsalgorithmen, die in verschiedene Kategorien eingeteilt werden können:
  • Lineare Algorithmen: Diese Algorithmen verwenden eine lineare Funktion, um die Daten in verschiedene Klassen zu trennen.
    • Beispiele: Logistische Regression, Lineare Support Vector Machine.
  • Nichtlineare Algorithmen: Diese Algorithmen verwenden eine nichtlineare Funktion, um die Daten in verschiedene Klassen zu trennen.
    • Beispiele: Kernel-Support-Vector-Machines, Entscheidungsbäume, Random Forests, Neuronale Netze.

Bewertung von Klassifikationsalgorithmen

• Die Leistung eines Klassifikationsalgorithmus kann mit verschiedenen Metriken bewertet werden, darunter:
  • Genauigkeit: Der Anteil der korrekt klassifizierten Beobachtungen. $$ \text{Accuracy} = \frac{\text{Anzahl der korrekt klassifizierten Beobachtungen}}{\text{Gesamtzahl der Beobachtungen}} $$
  • Präzision: Der Anteil der korrekt identifizierten positiven Beobachtungen. $$ \text{Precision} = \frac{\text{Anzahl der True Positives}}{\text{Anzahl der True Positives + Anzahl der False Positives}} $$
  • Recall: Der Anteil der positiven Beobachtungen, die korrekt identifiziert werden. $$ \text{Recall} = \frac{\text{Anzahl der True Positives}}{\text{Anzahl der True Positives + Anzahl der False Negatives}} $$
  • F1-Score: Der harmonische Mittelwert von Präzision und Recall. $$ F_1 = 2 \cdot \frac{\text{precision} \cdot \text{recall}}{\text{precision} + \text{recall}} $$
  • ROC-Kurve: Die ROC-Kurve (Receiver Operating Characteristic) ist eine grafische Darstellung der Leistung eines binären Klassifikators, wenn sich sein Diskriminierungsschwellenwert ändert. Sie bildet die True-Positive-Rate (TPR) gegen die False-Positive-Rate (FPR) ab.
  • AUC: Die Fläche unter der ROC-Kurve (AUC) ist ein Maß für die Fähigkeit eines Klassifikators, Klassen zu unterscheiden. Eine AUC von 1 steht für einen perfekten Klassifikator, während eine AUC von 0,5 für einen Zufallsklassifikator steht.

Häufige Klassifikationsalgorithmen

• Hier sind einige der gängigsten Klassifikationsalgorithmen:
  • Logistische Regression: Ein linearer Algorithmus, der die logistische Funktion verwendet, um die Wahrscheinlichkeit vorherzusagen, dass eine Beobachtung zu einer bestimmten Klasse gehört.
  • Support Vector Machine (SVM): Ein nichtlinearer Algorithmus, der die optimale Hyperebene findet, um die Daten in verschiedene Klassen zu trennen.
  • Entscheidungsbaum: Ein nichtlinearer Algorithmus, der eine Baumstruktur erstellt, um die Klasse einer Beobachtung vorherzusagen.
  • Random Forest: Ein nichtlinearer Algorithmus, der ein Ensemble von Entscheidungsbäumen erstellt und die Klasse einer Beobachtung vorhersagt, indem er die Vorhersagen der einzelnen Bäume aggregiert.
  • Neuronales Netz: Ein nichtlinearer Algorithmus, der von der Struktur des menschlichen Gehirns inspiriert ist. Neuronale Netze können komplexe Beziehungen zwischen Daten lernen und können zur Lösung eines breiten Spektrums von Klassifikationsproblemen verwendet werden.

Anwendungen der Klassifikation

• Die Klassifikation wird in einer Vielzahl von Anwendungen eingesetzt, darunter:
  • Medizinische Diagnose: Die Klassifikation kann verwendet werden, um Krankheiten anhand medizinischer Daten zu diagnostizieren.
  • Betrugserkennung: Die Klassifikation kann verwendet werden, um betrügerische Transaktionen zu erkennen.
  • Sentimentanalyse: Die Klassifikation kann verwendet werden, um das Gefühl eines Textes zu bestimmen.
  • Bilderkennung: Die Klassifikation kann verwendet werden, um Objekte in Bildern zu identifizieren.
  • Natural Language Processing (NLP): Die Klassifikation kann verwendet werden, um ein breites Spektrum von NLP-Problemen zu lösen, wie z. B. Textklassifikation, Sprachübersetzung und Fragenbeantwortung.