5u6ytrew

Die Reële Getallestelsel

• Die reële getallestelsel bestaan uit verskeie subversamelings van getalle wat algemeen in wiskunde gebruik word.

Natuurlike Getalle (N)

• Natuurlike getalle is die versameling positiewe heelgetalle wat by 1 begin.
• Simbool: ( N )
• Stel: ( {1, 2, 3, \ldots} )

Heelgetalle (N0)

• Heelgetalle sluit alle natuurlike getalle en nul in.
• Simbool: ( N_0 )
• Stel: ( {0, 1, 2, 3, \ldots} )

Heelgetalle (Z)

• Heelgetalle sluit alle heelgetalle en hul negatiewe teenpool in.
• Simbool: ( Z )
• Stel: ( {\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots} )

Rasionale Getalle (Q)

• Rasionale getalle is getalle wat uitgedruk kan word as 'n breuk van twee heelgetalle, waar die noemer nie nul is nie.
• Simbool: ( Q )
• Voorbeelde: ( \frac{1}{2}, \frac{4}{5}, -\frac{3}{7}, 0.75, 0 )

Irrasionale Getalle (Q')

• Irrasionale getalle kan nie as 'n eenvoudige breuk van twee heelgetalle uitgedruk word nie. Hul desimale uitbreidings is nie-herhalend en nie-eindigend.
• Simbool: ( Q' )
• Voorbeelde: ( \sqrt{2}, \pi, e )

Reële Getalle (R)

• Reële getalle sluit alle rasionale en irrasionale getalle in.
• Simbool: ( R )
• Voorbeelde: Alle getalle op die getallelyn, soos ( \sqrt{2}, -3, 4.5, \pi )

Nie-Reële of Imaginêre Getalle

• Getalle wat 'n negatiewe vierkantswortel het, word nie-reële of imaginêre getalle genoem.
• Voorbeelde: ( \sqrt{-1}, \sqrt{-28}, \sqrt{-5} )

Hiërargie van Getallestelsels

• Reële Getalle (( R ))
  • Rasionale Getalle (( Q ))
    • Heelgetalle (( Z ))
      • Heelgetalle (( N_0 ))
        • Natuurlike Getalle (( N ))
  • Irrasionale Getalle (( Q' ))

Rasionale en Irrasionale Getalle

• Rasionale getalle kan in die vorm ( \tfrac{a}{b} ) geskryf word, waar ( a ) en ( b ) heelgetalle is en ( b \neq 0 ).
• Irrasionale getalle kan nie as 'n breuk met 'n heelgetal teller en noemer geskryf word nie.

Desimale Getalle

• Rasionale getalle sluit in:
  • Eindigende desimale
  • Herhalende enkel syfer desimale
  • Herhalende patroon van veelvuldige syfers desimale

Omskakeling van Eindigende Desimale in Rasionale Getalle

• Vir 'n desimale getal ( x ): [ x = \text{heelgetal deel} + \frac{\text{eerste desimale syfer}}{10} + \frac{\text{tweede desimale syfer}}{100} + \frac{\text{derde desimale syfer}}{1000} + \ldots ]

Omskakeling van Herhalende Desimale in Rasionale Getalle

• Vir 'n herhalende desimaal ( x ):
  1. Laat ( x = \text{herhalende desimaal} ).
  2. Vermenigvuldig ( x ) met 'n mag van 10 sodat die herhalende patroon na die desimaalpunt in lyn is.
  3. Trek die oorspronklike vergelyking van hierdie nuwe vergelyking af.
  4. Los op vir ( x ).

Sleutel Punte

• Rasionale getalle kan uitgedruk word as ( \frac{a}{b} ) met ( a, b \in \mathbb{Z} ) en ( b \neq 0 ).
• Irrasionale getalle kan nie as eenvoudige breuke geskryf word nie en het nie-herhalende, nie-eindigende desimale uitbreidings.
• Desimale vorme:
  • Rasionaal indien eindigend of herhalend
  • Irrasionaal indien nie-eindigend en nie-herhalend
• Afronding van 'n irrasionale getal omskep dit in 'n rasionale benadering.

Afronding

• Stappe om 'n desimale getal af te rond:
  1. Identifiseer die vereiste desimale plek.
     • Tel die aantal desimale plekke wat nodig is en merk die syfer na hierdie posisie.
  2. Bepaal die afrondingsrigting.
     • As die volgende syfer 5 of groter is, rond die laaste syfer van die vereiste desimale plek op.
     • As die volgende syfer minder as 5 is, laat die laaste syfer van die vereiste desimale plek onveranderd.
     • As die syfer wat opgerond moet word 9 is, word dit 0, en die voorafgaande syfer word met 1 opgerond.

Sleutel Punte

• Vir ( x ), afgerond tot ( n ) desimale plekke:
  • Identifiseer die ( n )-de desimale syfer en die ( (n+1) )-de syfer.
  • Pas afrondingsreëls toe gebaseer op die waarde van die ( (n+1) )-de syfer.
  • Pas dienooreenkomstig aan en bied die afgeronde getal aan.

Skatting van Wortelvorme

• Wortelvorme: Die (n)-de wortel van 'n getal wat nie tot 'n rasionale getal vereenvoudig kan word nie.
• Byvoorbeeld, (\sqrt{2}) en (\sqrt{6}) is wortelvorme, maar (\sqrt{4}) is nie, want dit vereenvoudig tot die rasionale getal 2.

Belangrike punte

• Vorm: Wortelvorme is dikwels van die vorm (\sqrt[n]{a}) waar (a) enige positiewe getal is. Byvoorbeeld, (\sqrt{7}) of (\sqrt{5}).
• Vir (n = 2), skryf ons tipies (\sqrt{a}) in plaas van (\sqrt[2]{a}).

Skattingsproses

1. Identifiseer perfekte magte: Bepaal die naaste perfekte kwadrate of derdemagte (of hoër magte) wat die gegewe wortelvorm omring.
   • Volmaakte Kwadrate: Getalle verkry wanneer 'n heelgetal gekwadreer word (bv. 9 van (3^2)).
   • Volmaakte Derdemagte: Getalle verkry wanneer 'n heelgetal tot die derde mag verhef word (bv. 27 van (3^3)).
2. Vergelyking: [ \text{Indien } a \text{ en } b \text{ positiewe heelgetalle is, en } a < b, \text{ dan } \sqrt[n]{a} < \sqrt[n]{b}. ]

Produkte

• Wiskundige uitdrukkings bestaan uit verskeie dele, elk met spesifieke name.
  • Term: 'n Enkele wiskundige entiteit.
  • Uitdrukking: 'n Kombinasie van terme.
  • Koëffisiënt: Die numeriese faktor in 'n term.
  • Eksponent: Die mag waartoe 'n basis verhef word.
  • Basis: Die veranderlike of getal wat tot 'n mag verhef word.
  • Konstante: 'n Term sonder 'n veranderlike.
  • Veranderlike: 'n Simbool wat 'n onbekende hoeveelheid voorstel.
  • Vergelyking: 'n Stelling dat twee uitdrukkings gelyk is.

Vermenigvuldiging van 'n Monoom en 'n Binoom

• 'n Monoom is 'n uitdrukking met een term. 'n Binoom is 'n uitdrukking met twee terme.

Vermenigvuldiging van Twee Binome

• Die algemene formule vir die vermenigvuldiging van twee lineêre binome ((ax + b)(cx + d)) is: \begin{align*} (ax + b)(cx + d) &= acx^2 + adx + bcx + bd \end{align*}

Vermenigvuldiging van 'n Binoom en 'n Trinoom

• 'n Trinoom is 'n uitdrukking met drie terme.
• Om die produk van 'n binoom ((A + B)) en 'n trinoom ((C + D + E)) te vind, gebruik: [ (A + B)(C + D + E) = A(C + D + E) + B(C + D + E). ]
  • Term: 'n Enkele wiskundige entiteit.
  • Uitdrukking: 'n Kombinasie van terme.
  • Koëffisiënt: Numeriese faktor in 'n term.
  • Eksponent: Mag waartoe 'n basis verhef word.
  • Basis: Veranderlike of getal wat tot 'n mag verhef word.
  • Konstante: Term sonder 'n veranderlike.
  • Veranderlike: Simbool wat 'n onbekende hoeveelheid voorstel.
  • Vergelyking: Stelling dat twee uitdrukkings gelyk is.

Operasies

1. Vermenigvuldiging van 'n Monoom en 'n Binoom: [ a(x + y) = ax + ay ]
2. Vermenigvuldiging van Twee Binome: \begin{align*} (ax + b)(cx + d) &= acx^2 + adx + bcx + bd \end{align*}
3. Vermenigvuldiging van 'n Binoom en 'n Trinoom: [ (A + B)(C + D + E) = A(C + D + E) + B(C + D + E) ]

Faktorisering

• Faktorisering is die proses om 'n uitdrukking af te breek in eenvoudiger uitdrukkings (faktore) wat, wanneer vermenigvuldig, die oorspronklike uitdrukking gee.

Gemeenskaplike faktore

• Faktorisering deur 'n gemeenskaplike faktor uit te haal, behels die identifisering en onttrekking van 'n faktor wat gemeenskaplik is aan alle terme in die uitdrukking.

Verskil van Twee Kwadrate

• 'n Verskil van twee kwadrate kan gefaktoriseer word deur die identiteit te gebruik: \begin{align*} a^2 - b^2 &= (a + b)(a - b) \end{align*}

Faktorisering deur Groepering in Pare

• Faktorisering deur groepering behels die groepering van terme met gemeenskaplike faktore en dan die faktorisering van elke groep.

Faktorisering van 'n Kwadratiese Trinoom

• 'n Kwadratiese trinoom van die vorm (ax^2 + bx + c) kan gefaktoriseer word deur twee binome te vind waarvan die produk die oorspronklike trinoom is.

Algemene Prosedure vir Faktorisering van 'n Trinoom

1. Identifiseer enige gemeenskaplike faktore.
2. Skryf twee hakies neer met 'n (x) in elke hakie: [ (x\ \ ) (x\ \ ) ]
3. Lys die faktore van (a) en (c).
4. Genereer moontlike pare faktore.
5. Brei die pare uit om die een te vind wat ooreenstem met die middelterm (bx).

Som en Verskil van Twee Derdemagte

• Som van Twee Derdemagte [ x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 - xy + y^2) ]
• Verskil van Twee Derdemagte [ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) ]
• Hierdie identiteite kan gebruik word om uitdrukkings te faktoriseer wat die som of verskil van derdemagte behels.

Vereenvoudiging van Breuke

Vermenigvuldiging en Deling van Breuke

1. (\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}) waar (b \neq 0) en (d \neq 0)
2. (\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}) waar (b \neq 0), (c \neq 0), en (d \neq 0)

Optelling van Breuke

\[
\frac{a}{b} + \frac{c}{b} = \frac{a + c}{b} \quad \text{waar } b \neq 0
\]

Vereenvoudiging van Algebraïese Breuke

• Om algebraïese breuke te vereenvoudig:
  1. Faktoriseer die teller en die noemer:
     • Pas faktorisasietegnieke toe (gemeenskaplike faktore, verskil van kwadrate, kwadratiese trinome).
  2. Kanselleer gemeenskaplike faktore:
     • Verminder die breuk deur gemeenskaplike faktore in die teller en noemer te kanselleer.

Stappe vir Vereenvoudiging

1. Faktoriseer die uitdrukking:
   • Faktoriseer beide die teller en die noemer om gemeenskaplike faktore te identifiseer.
2. Kanselleer die gemeenskaplike faktore:
   • Vereenvoudig die breuk deur die gemeenskaplike faktore in die teller en noemer te kanselleer.

Algemene Prosedures vir Vereenvoudiging van Komplekse Breuke

1. Faktoriseer alle terme in die teller en noemer.
2. Herskryf die deling as vermenigvuldiging met die resiprook.
3. Kombineer breuke deur 'n gemeenskaplike noemer te vind indien nodig.
4. Vereenvoudig die resulterende uitdrukking.