Woche 1

Die Menge der Zahlen, die mit 0 beginnen und sich bis ins Unendliche erstrecken: 0, 1, 2, 3, ...

Die von Giuseppe Peano formulierten Axiome, die die Struktur der natürlichen Zahlen definieren.

Die Zahl 0 gehört zur Menge der natürlichen Zahlen.

s(n) bezeichnet den Nachfolger einer Zahl n. Dieses Axiom besagt, dass 0 nicht der Nachfolger irgendeiner Zahl ist. Das bedeutet, 0 ist die kleinste natürliche Zahl.

Für jede natürliche Zahl n gibt es einen Nachfolger s(n). Dies stellt sicher, dass es unendlich viele natürliche Zahlen gibt.

Wenn zwei Zahlen n₁ und n₂ verschieden sind, dann sind auch ihre Nachfolger verschieden. Das bedeutet, die Nachfolger-Funktion s(n) ist injektiv (jedes Element hat genau einen eindeutigen Nachfolger).

Das Induktionsaxiom besagt: Wenn eine Teilmenge T⊆N, die folgende Eigenschaften erfüllt: 0∈T, und wenn n∈T, dann auch s(n)∈T, dann ist diese Teilmenge gleich der Menge der natürlichen Zahlen (T=N).

Dieses Axiom ist entscheidend für den Beweis vieler mathematischer Eigenschaften durch Induktion.

Die Notation f(e)=fₑ beschreibt eine Funktion oder Zuordnung. Diese wird oft verwendet, um mathematische Ausdrücke präzise darzustellen.

Eine Menge ist eine Sammlung von eindeutigen Elementen.

Beispiel: S={1,2,3}.

Ein Singleton ist eine Menge mit genau einem Element:

Beispiel: |S∣=1.

In einer Multimenge können Elemente mehrfach vorkommen, z.B.:

Multimenge: S={a,a,b}.

Die Multiplikation eines Elements beschreibt, wie oft es vorkommt.

Die Potenzmenge einer Menge ist die Menge aller Teilmengen von S. Beispiel: Für S={a,b} ist die Potenzmenge: P(S)={∅,{a},{b},{a,b}}.

Die Kardinalität der Potenzmenge ist: Für eine Menge mit Größe ∣S∣=n gilt: ∣P(S)∣=2ⁿ

Die Kardinalität einer Menge S beschreibt die Anzahl der Elemente in dieser Menge.

S ist endlich: Die Menge hat eine endliche Anzahl von Elementen, z. B. S={1,2,3} mit ∣S∣=3.

S ist unendlich: Die Menge hat unendlich viele Elemente. Es gibt verschiedene "Ordnungen" von Unendlichkeit (z. B. abzählbar oder überabzählbar, siehe unten).

Die leere Menge enthält keine Elemente.

Ihre Kardinalität ist ∣∅∣=0. Beispiel: ∅={}.

Eine Menge ist abzählbar unendlich, wenn ihre Elemente in eine Eins-zu-Eins-Beziehung (Bijektion) mit den natürlichen Zahlen (ℕ) gebracht werden können.

Das bedeutet: Es gibt eine Funktion, die jedem Element der Menge genau eine natürliche Zahl zuordnet und umgekehrt.

Beispiele für abzählbar unendliche Mengen:

Die natürlichen Zahlen (ℕ), die ganzen Zahlen (ℤ), oder die rationalen Zahlen (ℚ).

Mathematisch: |S_d∣=∣ℕ∣.

Eine Menge ist zählbar, wenn sie entweder endlich oder abzählbar unendlich ist.

Mathematisch: ∣S _c∣≤∣ℕ∣.

Beispiele: Endliche Mengen wie S={1,2,3}. Abzählbar unendliche Mengen wie die rationalen Zahlen.

Zwei Mengen haben die gleiche Kardinalität, wenn es eine Bijektion zwischen ihnen gibt.

Eine Bijektion ist eine Funktion f:A→B, bei der jedes Element aus A genau einem Element aus B zugeordnet wird und umgekehrt (keine Elemente bleiben übrig).

Beispiel: Die Menge der geraden Zahlen hat die gleiche Kardinalität wie die natürlichen Zahlen, da man eine Bijektion definieren kann: f(n)=2n.

A ist eine Teilmenge von B, wenn jedes Element von A auch ein Element von B ist. A⊆B

∀x∈A:x∈B (Für alle x in A gilt: x ist auch in B).

Beispiel: Wenn A={1,2} und B={1,2,3}, dann ist A⊆B.

A ist eine echte Teilmenge von B, wenn A eine Teilmenge von B ist, aber nicht gleich B (A enthält nicht alle Elemente von B). A⊂B oder A⊊B

∣A∣≤∣B∣ (Die Kardinalität von A ist kleiner oder gleich der Kardinalität von B).

A⊆B∧∃x: x∈B∧x∉A (A ist eine Teilmenge von B, und es gibt mindestens ein Element x, das in B, aber nicht in A ist).

A⊆B aber A≠B

Beispiel: Wenn A={1,2} und B={1,2,3}, dann ist A⊂B.

Aber wenn A={1,2} und B={1,2}, dann ist A keine echte Teilmenge von B, sondern nur eine Teilmenge (A⊆B).

Zwei Mengen A und B sind gleich, wenn jedes Element von A auch in B ist und umgekehrt. A=B

Bedingung: A⊆B∧A⊇B A ist eine Teilmenge von B und A ist eine Obermenge von B.

Äquivalente Formulierung: ∀x: x∈A⟺x∈B Für alle x gilt: x ist ein Element von A genau dann, wenn x ein Element von B ist.

Die Schnittmenge von A und B enthält alle Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind. A∩B

x∈A∩B:(x∈A)∧(x∈B) x ist ein Element der Schnittmenge von A und B, wenn x ein Element von A und x ein Element von B ist.

Die Vereinigungsmenge von A und B enthält alle Elemente, die in A oder in B (oder in beiden) enthalten sind. A∪B

x∈A∪B:(x∈A)∨(x∈B) x ist ein Element der Vereinigungsmenge von A und B, wenn x ein Element von A oder x ein Element von B ist.

Für endliche Mengen A_f und B_f gelten folgende Formeln: Kardinalität der Vereinigungsmenge: ∣A_f ∪ B_f∣=∣A_f∣+∣B_f∣−∣A_f ∩ B_f∣

Die Anzahl der Elemente in der Vereinigungsmenge ist die Summe der Anzahlen der Elemente in A und B, minus der Anzahl der Elemente in der Schnittmenge (um doppeltes Zählen zu vermeiden).

Für endliche Mengen A_f und B_f gelten folgende Formeln:

Wenn A _f ∩B_f =∅, d.h., wenn die Schnittmenge leer ist, dann sind die Mengen disjunkt (haben keine gemeinsamen Elemente).

In diesem Fall vereinfacht sich die Formel zu: ∣A_f ∪ B_f∣=∣A_f∣+∣B_f∣

Die Anzahl der Elemente in der Vereinigungsmenge ist einfach die Summe der Anzahlen der Elemente in A und B.

Das Komplement einer Menge A (bezogen auf ein Universum U) enthält alle Elemente, die in U sind, aber nicht in A. Ā oder A^c

Ā ={x∈U∣x∉A} Alle Elemente von U, die nicht in A enthalten sind.

Ā = U \ A Das Komplement ist die Differenzmenge zwischen dem Universum und der Menge A.

|Ā_f| = |U_f| - |A_f|

Die Gesamtanzahl der Elemente im Universum minus die Anzahl der Elemente in A.

Die Differenzmenge von zwei Mengen A und B enthält alle Elemente, die in A sind, aber nicht in B. A \ B

A \ B ={x∈A∣x∉B} Alle Elemente von A, die nicht in B enthalten sind.

Alternative Darstellung: Die Differenzmenge kann auch als Schnittmenge von A und dem Komplement von B geschrieben werden: A\B=A∩B^c

Die Anzahl der Elemente in der Differenzmenge ist: ∣A_f\B_f∣=∣A_f∣−∣A_f∩B_f∣

Die Anzahl der Elemente von A minus der Anzahl der gemeinsamen Elemente von A und B.

Wenn gilt: B⊆A (B ist eine Teilmenge von A), dann vereinfacht sich die Formel zu: ∣A_f\B_f∣=∣A_f∣−∣B_f∣

Die Anzahl der Elemente in der Differenzmenge ist einfach die Anzahl der Elemente in A minus die Anzahl der Elemente in B.

Die symmetrische Differenz von zwei Mengen enthält alle Elemente, die entweder in der Menge A oder in der Menge B sind, aber nicht in beiden. A⊕B oder (A∪B)(A∩B) geschrieben.

Die symmetrische Differenz ist: Alle Elemente aus der Vereinigungsmenge von A und B, ohne die gemeinsamen Elemente (Schnittmenge).

Die Anzahl der Elemente in der symmetrischen Differenz ist: ∣A_f⊕B_f∣=∣A_f∣+∣B_f∣−2⋅∣A_f∩B_f∣

Die Summe der Kardinalitäten von A und B minus zweimal die Kardinalität ihrer Schnittmenge (weil gemeinsame Elemente doppelt gezählt werden).

Zwei Mengen A und B werden als disjunkt bezeichnet, wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben.

∄x∈A∩B

Es gibt kein Element x, das sowohl in A als auch in B enthalten ist. Die Schnittmenge von A und B ist leer (A∩B=∅).

Eine Familie von Mengen P ist paarweise disjunkt, wenn jede Kombination von zwei verschiedenen Mengen aus P disjunkt ist.

Für alle A,B∈P, wenn A ≠ B, dann gilt A∩B=∅

Betrachte eine Menge von Mengen P. Wenn du zwei beliebige Mengen aus P auswählst, dürfen diese keine gemeinsamen Elemente haben.

Keine zwei Mengen innerhalb der Familie haben gemeinsame Elemente.

Eine Partition einer Menge S ist eine Zerlegung von S in nicht-leere, paarweise disjunkte Teilmengen.

Sei P_s ={A₁ ,A₂ ,...,A_∣PS∣} eine Familie von Mengen, wobei A_i ≠ ∅ für alle _i. Die Mengen A_i sind paarweise disjunkt und ihre Vereinigung ergibt die Menge S.

A_i ≠ ∅ für alle i (keine Menge ist leer).

A _i ∩ A_j =∅ für alle i ≠j (paarweise disjunkt).

⋃_i A_i =S (die Vereinigung aller Mengen ergibt die ursprüngliche Menge S).

Eine Partition teilt eine Menge in kleinere, separate Stücke auf, sodass jedes Element der ursprünglichen Menge genau in einem dieser Stücke enthalten ist.

A∩A ^c =∅ Die Schnittmenge einer Menge A und ihres Komplements A^c ist die leere Menge. Es gibt keine gemeinsamen Elemente zwischen A und A^c.

A∪A^c =U Die Vereinigungsmenge einer Menge A und ihres Komplements A^c ergibt das Universum U. Alle Elemente des Universums sind entweder in A oder in A^c.

(A^c)^c = A Das Komplement des Komplements einer Menge A ist die Menge A selbst.

A∩B=B∩A Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Schnittmenge.

A∪B=B∪A Die Reihenfolge spielt keine Rolle bei der Vereinigungsmenge.

(A∩B)∩C=A∩(B∩C) Die Gruppierung spielt keine Rolle bei der Schnittmenge.

(A∪B)∪C=A∪(B∪C) Die Gruppierung spielt keine Rolle bei der Vereinigungsmenge.

A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) Die Schnittmenge von A mit der Vereinigungsmenge von B und C ist gleich der Vereinigungsmenge der Schnittmengen von A mit B und A mit C.

A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) Die Vereinigungsmenge von A mit der Schnittmenge von B und C ist gleich der Schnittmenge der Vereinigungen von A mit B und A mit C.

∅∩A=∅ Die Schnittmenge der leeren Menge mit einer beliebigen Menge A ist die leere Menge.

U∪A=U Die Vereinigungsmenge des Universums U mit einer beliebigen Menge A ist das Universum U.

U∩A=A Die Schnittmenge des Universums U mit einer beliebigen Menge A ist die Menge A selbst.

∅∪A=A Die Vereinigungsmenge der leeren Menge mit einer beliebigen Menge A ist die Menge A selbst.

A∩A=A Die Schnittmenge einer Menge A mit sich selbst ist die Menge A selbst.

A∪A=A Die Vereinigungsmenge einer Menge A mit sich selbst ist die Menge A selbst.

A∩(A∪B)=A Die Schnittmenge einer Menge A mit der Vereinigungsmenge von A und B ist die Menge A selbst.

A∪(A∩B)=A Die Vereinigungsmenge einer Menge A mit der Schnittmenge von A und B ist die Menge A selbst.

Das Komplement der Schnittmenge mehrerer Mengen ist die Vereinigungsmenge der Komplemente dieser Mengen.

Das Komplement der Vereinigungsmenge mehrerer Mengen ist die Schnittmenge der Komplemente dieser Mengen.