Déterminants et propriétés des matrices

Déterminants

• Le déterminant d'une matrice carrée $A$, noté $\det(A)$, est un scalaire calculé par $\det(A) = \sum_{\sigma \in \mathcal{S}n} \epsilon(\sigma) \prod{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}$.
• $\mathcal{S}_n$ représente toutes les permutations possibles des indices de la matrice, et $\epsilon(\sigma)$ est le signe de la permutation.

Propriétés des Déterminants

• Le déterminant de la transposée de $A$ est égal au déterminant de $A$: $\det(A^T) = \det(A)$.
• Le déterminant du produit de deux matrices est le produit de leurs déterminants: $\det(A \cdot B) = \det(A) \cdot \det(B)$.
• Une matrice $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul: $\det(A) \neq 0$.
• Le déterminant de l'inverse de $A$ est l'inverse de son déterminant: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• Si $A$ est une matrice triangulaire, son déterminant est le produit des éléments diagonaux.
• Ajouter une combinaison linéaire des autres lignes (ou colonnes) à une ligne (ou colonne) ne modifie pas le déterminant.
• Échanger deux lignes (ou colonnes) multiplie le déterminant par $-1$.
• Multiplier une ligne (ou colonne) par un scalaire $\lambda$ multiplie le déterminant par $\lambda$.

Calcul Pratique des Déterminants

• Le développement du déterminant par rapport à une ligne $i$ est : $\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{ij}$.
• Le développement du déterminant par rapport à une colonne $j$ est : $\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \Delta_{ij}$.
• $\Delta_{ij}$ est le déterminant de la sous-matrice obtenue en supprimant la $i$-ème ligne et la $j$-ème colonne de $A$.
• Simplifier la matrice en utilisant les propriétés des déterminants pour faciliter le calcul.

Systèmes d'Équations Linéaires

• Un système de $m$ équations linéaires à $n$ inconnues a la forme: $\qquad \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 +... + a_{1n}x_n = b_1 \ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 +... + a_{2n}x_n = b_2 \... \ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 +... + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$

Écriture Matricielle des Systèmes Linéaires

• Un système d'équations linéaires peut être écrit sous la forme matricielle $AX = B$.
• $A$ est la matrice des coefficients, $X$ est le vecteur des inconnues, et $B$ est le vecteur des termes constants.

Méthodes de Résolution des Systèmes d'Équations Linéaires

• La méthode de Gauss-Jordan transforme la matrice augmentée $(A|B)$ en forme échelonnée réduite.
• Le théorème de Rouché-Fontené stipule qu'un système $AX=B$ a des solutions si et seulement si $rg(A) = rg(A|B)$.
• Si $rg(A) = rg(A|B) = n$, la solution est unique.
• Si $rg(A) = rg(A|B) < n$, il existe une infinité de solutions dépendant de $n - rg(A)$ paramètres.
• Un système de Cramer a une solution unique $X = A^{-1}B$ si $A$ est carrée inversible.
• La $i$-ème composante de la solution est donnée par $x_i = \frac{\det(A_i)}{\det(A)}$, où $A_i$ est $A$ avec sa $i$-ème colonne remplacée par $B$.

Espaces Vectoriels

• Un espace vectoriel $E$ sur un corps $\mathbb{K}$ est un ensemble muni d'une addition et d'une multiplication par un scalaire.
• Un sous-espace vectoriel de $E$ est une partie non vide de $E$ stable par combinaison linéaire.

Propriétés dans les Espaces Vectoriels

• Une famille de vecteurs $(v_1,..., v_n)$ est libre si $\sum_{i=1}^{n} \lambda_i v_i = 0 \Rightarrow \lambda_i = 0 \ \forall i$.
• Une famille de vecteurs $(v_1,..., v_n)$ est génératrice si tout vecteur de $E$ peut s'écrire comme combinaison linéaire de ces vecteurs.
• Une base de $E$ est une famille libre et génératrice.
• La dimension de $E$ est le nombre de vecteurs dans une base de $E$.

Applications Linéaires

• Une application linéaire $f: E \rightarrow F$ vérifie:
• $f(u + v) = f(u) + f(v) \ \forall u, v \in E$.
• $f(\lambda u) = \lambda f(u) \ \forall \lambda \in \mathbb{K}, \forall u \in E$.
• Le noyau de $f$ est $\ker(f) = {u \in E | f(u) = 0_F}$.
• L'image de $f$ est $Im(f) = {f(u) | u \in E}$.
• Théorème du rang: $\dim(E) = \dim(\ker(f)) + \dim(Im(f))$.

Algèbre linéaire

Définition des déterminants

• Pour $A \in M_n(\mathbb{K})$, le déterminant de $A$, noté $\det(A)$, est défini par la formule : $\det(A) = \sum_{\sigma \in \sigma_n} \epsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)}$.
• $\sigma_n$ est l'ensemble des permutations de ${1, \cdots, n}$ et $\epsilon(\sigma)$ la signature de la permutation $\sigma$.
• Si $A = (a) \in M_1(\mathbb{K})$, alors $\det(A) = a$.
• Si $A = \begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix} \in M_2(\mathbb{K})$, alors $\det(A) = ad - bc$.

Propriétés des déterminants

• Le déterminant est une forme $n$-linéaire alternée.
• Le déterminant d'une matrice avec deux lignes identiques est nul.
• Le déterminant d'une matrice triangulaire est le produit de ses éléments diagonaux.
• Le déterminant du produit de deux matrices est le produit de leurs déterminants : $\det(AB) = \det(A) \det(B)$.
• Une matrice $A$ est inversible si et seulement si son déterminant est non nul : $A$ inversible $\Leftrightarrow \det(A) \neq 0$.
• Pour $A$ inversible: $\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}$.
• $\det(A^T) = \det(A)$.
• Le déterminant est invariant en ajoutant à une ligne un multiple d'une autre : $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ pour $i \neq j$.

Calcul pratique des déterminants

• Utiliser les opérations élémentaires pour triangulariser la matrice.
• Développement par rapport à une ligne $i$ : $\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij})$.
• Développement par rapport à la colonne $j$ : $\det(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j} a_{ij} \det(A_{ij})$.
• $A_{ij}$ est la matrice obtenue en supprimant la ligne $i$ et la colonne $j$ de $A$.

Applications des déterminants

• Calcul de l'inverse d'une matrice: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} {}^t! \text{Com}(A)$ où $\text{Com}(A)$ est la matrice des cofacteurs de $A$.
• Résolution de systèmes linéaires via les formules de Cramer.
• Calcul du rang d'une matrice.
• Polynôme caractéristique.
• Déterminant de Gram.

Chapitre 14: Stratégies et Tactiques de Tarification

Qu'est-ce que le Prix?

• Le prix est le sacrifice total qu'un consommateur est prêt à faire pour acquérir un produit ou service spécifique.
• Ce sacrifice peut inclure l'argent, le temps et l'énergie.

Les 5 C de la Tarification

1. Objectifs de l'Entreprise

• La tarification doit soutenir et s'aligner sur les objectifs globaux de l'entreprise.
• Quatre objectifs courants : axé sur le profit, axé sur les ventes, axé sur la concurrence, axé sur le client.

2. Clients

• Comprendre comment les consommateurs perçoivent la valeur.
• Influence du "prix de référence".
• Élasticité-prix de la demande.

3. Coûts

• Types de coûts : variable, fixe et total.
• Analyse du seuil de rentabilité.

4. Concurrence

• Impact de la concurrence sur les stratégies de tarification.
• Environnements concurrentiels : monopole, oligopole, concurrence monopolistique, concurrence pure.

5. Membres du Canal

• Les fabricants, grossistes et détaillants ont des points de vue différents sur la tarification.
• Importance de la protection de la marque par les fabricants.
• L'objectif des détaillants est de maximiser les ventes et les bénéfices.
• Marché gris : Vente de produits de marque par des canaux de distribution non autorisés.

Considérations pour la Fixation des Prix

• Les objectifs de l'entreprise, les clients, les coûts, la concurrence et les membres du canal sont des considérations importantes.
• Problèmes potentiels : désalignement avec la mission de l'entreprise, tarification incorrecte, guerres de prix, conflits entre fabricants et détaillants.

Stratégies de Tarification

• Approches de fixation des prix, à long ou court terme.

Stratégies de Tarification à Long Terme

• Tarification basse quotidienne (EDLP) : maintenir des prix constamment bas ; réduit les coûts de recherche pour les consommateurs.
• Tarification haute/basse : réduire temporairement les prix grâce à des promotions ; crée de l'enthousiasme et attire les clients.

Nouvelles Stratégies de Tarification de Produits

• Tarification de pénétration du marché : fixer un prix initial bas pour gagner rapidement des parts de marché ; décourage la concurrence.
• Écrémage des prix : fixer un prix initial élevé que les innovateurs et les premiers adaptateurs sont prêts à payer, puis baisser progressivement le prix pour capter davantage de clients sensibles au prix ; courant sur les marchés technologiques.

Tactiques de Tarification

• Méthodes à court terme pour atteindre des objectifs spécifiques.

Tactiques de Tarification Visant les Consommateurs

• Prix groupés : Vendre plusieurs produits ensemble à un seul prix.
• Tarification de leader : Fixer des prix plus bas que la normale pour augmenter le trafic en magasin.
• Ligne de prix : Offrir des produits à un nombre limité de points de prix prédéterminés.
• Tarification impaire-paire : Terminer les prix par des nombres impairs (par exemple, 4,99 $) pour créer l'illusion d'une bonne affaire.
• Règle de 100 : Les remises en pourcentage sont plus efficaces pour les articles en dessous de 100 $, les remises en dollars pour les articles au-dessus de 100 $.

Tactiques de Tarification Visant les Entreprises

• Réductions saisonnières : Réductions de prix pour les achats hors saison.
• Escomptes de caisse : Réduction de prix pour paiement rapide en espèces ; Exemple : "2/10, N/30" (escompte de 2% si payé dans les 10 jours, sinon net dû dans les 30 jours).
• Indemnités : Réductions de prix pour l'exécution d'activités spécifiques.
• Forfaits publicitaires et listages.
• Réductions sur quantité.
• Tarification uniforme livrée contre zone : Facturer un forfait de fret à tous les clients, quel que soit l'emplacement, par rapport à la facturation de tarifs différents en fonction de la distance d'expédition.

Algèbre Relationnelle

Introduction

• L'algèbre relationnelle est un langage de requête théorique qui manipule des relations(tables) et crée d'autres relations.

Concepts clés

• Relation : Tableau de données avec des lignes (tuples) et des colonnes (attributs).
• Opérateurs : Symboles effectuant des opérations sur les relations.
• Requête : Expression composée d'opérateurs et de relations.

Opérateurs de base

Sélection (σ)

• Filtre les tuples d'une relation qui répondent à une condition.
• Syntaxe : $\sigma_{\text{condition}}(R)$.
• Exemple : $\sigma_{\text{salaire > 50000}}(\text{Employés})$ (trouve les employés dont le salaire est supérieur à 50000).

Projection (π)

• Sélectionne certaines colonnes d'une relation.
• Syntaxe : $\pi_{\text{attribut1, attribut2,...}}(R)$.
• Exemple : $\pi_{\text{nom, département}}(\text{Employés})$ (affiche les noms et départements des employés).

Union (∪)

• Combine les tuples de deux relations compatibles (mêmes attributs).
• Syntaxe : $R \cup S$.
• Exemple : $\text{EmployésTempsPlein} \cup \text{EmployésTempsPartiel}$.

Intersection (∩)

• Trouve les tuples communs à deux relations compatibles.
• Syntaxe : $R \cap S$.
• Exemple : $\text{Gestionnaires} \cap \text{Ingénieurs}$.

Différence (−)

• Trouve les tuples présents dans une relation mais pas dans l'autre.
• Syntaxe : $R - S$.
• Exemple : $\text{Gestionnaires} - \text{Ingénieurs}$.

Produit cartésien (×)

• Combine chaque tuple d'une relation avec chaque tuple d'une autre.
• Syntaxe : $R \times S$.
• Exemple : $\text{Employés} \times \text{Dépendants}$.

Opérateurs dérivés

Jointure (⋈)

• Combine les tuples de deux relations en fonction d'une condition.
• Syntaxe : $R \Join_{\text{condition}} S$.
• Exemple : $\text{Employés} \Join_{\text{Employés.départementID = Départements.départementID}} \text{Départements}$.

Division (÷)

• Trouve les tuples d'une relation qui correspondent à tous les tuples d'une autre relation.
• Syntaxe : $R \div S$.
• Exemple : $\text{ÉtudiantsInscrits} \div \text{CoursOfferts}$.

Renommage (ρ)

• Renomme une relation ou ses attributs.
• Syntaxe : $\rho_{\text{nouveauNom}}(R)$ ou $\rho_{\text{nouveauNom(attribut1, attribut2, ... )}}(R)$.
• Exemple : $\rho_{\text{Personnel}}(\text{Employés})$ (renomme la relation "Employés" en "Personnel").

Exemples de requêtes

• Trouver les noms des employés travaillant dans le département "Informatique" : $\pi_{\text{nom}}(\sigma_{\text{département = 'Informatique'}}(\text{Employés}))$.
• Trouver les employés qui gagnent plus de 60000 et sont gestionnaires : $\sigma_{\text{salaire > 60000 \land fonction = 'Gestionnaire'}}(\text{Employés})$.

Avantages

• Fondement théorique solide pour les langages de requête et permet l'optimisation des requêtes.

Limitations

• Moins intuitif par rapport aux langages déclaratifs comme SQL et est difficile à utiliser pour des requêtes complexes.

Vecteurs propres et valeurs propres

Motivation

• Rechercher la solution à l'équation de différence $y_{k+1} = Ay_k, \quad k = 0, 1, 2,...$.
• Si A est une matrice diagonale, les entrées de $y_k$ peuvent être résolues indépendamment.
• Si A n'est pas diagonale, il est possible de la transformer en une matrice diagonale à l'aide d'une matrice P inversible.
• Soit $y_k = Px_k$, où $x_{k+1} = (P^{-1}AP)x_k = Bx_k$, et B sera diagonale.

Qu'est-ce que la statistique descriptive ?

Objectif

• La statistique descriptive est une branche de la statistique dédiée à la collecte, l'organisation, l'analyse et l'interprétation des données dans le but de décrire les particularités d'un jeu de données.
• L'objectif premier consiste à offrir une vision d'ensemble des données, révélant modèles, tendances et associations, sans extrapoler à d'autres ensembles plus vastes.

Types

• Univariée : Analyse d'une seule variable.
• Bivariée : Etude des liens entre deux variables.
• Multivariée : Analyse des relations entre trois variables ou plus.

Mesures de tendance centrale

• La moyenne (moyenne arithmétique) : somme de toutes les valeurs divisée par le nombre total de valeurs. $$\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} X_i}{N}$$
• La médiane : la valeur centrale d'un jeu de données une fois trié.
• Le mode : la valeur qui apparaît le plus souvent dans un jeu de données.

Mesures de dispersion

• Domaine d'application : la différence entre les valeurs maximale et minimale.
• Variance : mesure de la dispersion autour de la moyenne. $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \mu)^2}{N}$$
• Écart type : racine carrée de la variance, indiquant en moyenne de combien les données s'écartent de la moyenne. $$\sigma = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \mu)^2}{N}}$$

Graphiques

• Histogramme : Affiche la distribution de fréquence d'une variable continue.
• Diagramme à barres : compare les fréquences de différentes catégories.
• Camembert : indique la proportion de chaque catégorie par rapport au total.
• Nuage de points : visualisation de la relation entre deux variables.

Tableaux

• Les tableaux sont utilisés pour traiter les données de manière nette et concise.

Thermodynamique du génie chimique

Equilibre vapeur-liquide (EVL)

Concepts clés

• Pour un système polycomposé en équilibre avec des phases liquide et vapeur, les fugacités des composants dans chaque phase sont égales: $\qquad \hat{f}{i}^{v} = \hat{f}{i}^{l} \quad i = 1,2,3, \dots, N$ où $\hat{f}{i}^{v}$ est la fugacité du composant i dans la phase vapeur et $\hat{f}{i}^{l}$ est la fugacité du composant i dans la phase liquide.
• Aux pressions faibles à modérées, la phase vapeur se comporte comme un gaz idéal $\qquad \hat{f}{i}^{v} = y{i}P$ où $y_i$ est la fraction molaire du composant i en phase vapeur et P est la pression.
• Equation $\qquad \hat{f}{i}^{l} = x{i} \gamma_{i} f_{i}$ où $\gamma_{i}$ est le coefficient d'activité et $f_{i}$ est la fugacité du liquide pur au système de température et de pression.
• Condition VLE $\qquad y_{i}P = x_{i} \gamma_{i} P_{i}^{sat} \quad i = 1,2,3, \dots, N$ où $x_i$ est la fraction molaire du composant i dans la phase liquide et $P_i^{sat}$ est la pression de vapeur saturante.

Calculs d'équilibre vapeur-liquide

• Point de bulle $\qquad \sum_{i=1}^{N} y_{i} = \sum_{i=1}^{N} \frac{x_{i} \gamma_{i} P_{i}^{sat}}{P} = 1$.
• Point de rosée $\qquad \sum_{i=1}^{N} x_{i} = \sum_{i=1}^{N} \frac{y_{i} P}{ \gamma_{i} P_{i}^{sat}} = 1$.
• Flash Calculs : Déterminer les compositions de l'équilibre et les quantités relatives de chaque phase.

Flash Calculations:

• $z_{i} = x_{i}L + y_{i}V$ où $z_i$, $x_i$ et $y_i$ est la fraction molaire du composant i dans l’alimentation, la phase liquide et la phase vapeur respectivement.
• fraction molaire L+V=1 $F = L + V = 1$ et fraction molaire $F=1$
• Coefficient et calcul $ K_{i} = \frac{y_{i}}{x_{i}} = \frac{\gamma_{i} P_{i}^{sat}}{P}$

Raoult's law

• La loi de Raoult: facilite l'étude et la description des mélanges idéaux ainsi que des équilibres liquide-vapeurs.
• Elle décrit la pression partielle d'un constituant dans une phase gazeuse.